广东省粤教版高二数学第六十五章数列应用测试卷及答案

广东省粤教版高二数学第六十五章数列应用测试卷及答案第1页共1页广东省粤教版高二数学第六十五章数列应用测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.某城市地铁线路年客流量构成一个等比数列{c_n}，其中c₁=100万，c₂=120万，则该数列的公比q等于多少？A.1.2B.0.833C.1.25D.0.75参考答案：A2.在一个由等差数列{a_n}定义的阶梯状水位变化模型中，初始水位a₁=50厘米，公差d=2厘米，则第10天的水位是多少厘米？A.70厘米B.80厘米C.90厘米D.100厘米参考答案：B3.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n²-3n，则该数列的通项公式b_n等于多少？A.4n-5B.2n-3C.4n-3D.2n-5参考答案：A4.在等比数列{c_n}中，若c₁=2，c₃=8，则该数列的公比q等于多少？A.2B.4C.8D.16参考答案：B5.若数列{d_n}满足d_n+d_{n+1}=7（n∈N），且d₁=3，则该数列的前5项和S₅等于多少？A.20B.25C.30D.35参考答案：C6.在等差数列{a_n}中，若a₅=10，a₁₀=25，则该数列的公差d等于多少？A.1.5B.2C.2.5D.3参考答案：B7.若数列{f_n}的前n项和S_n=3ⁿ-1，则该数列的通项公式f_n等于多少？A.3ⁿ-2B.3ⁿ-1C.2×3ⁿ-1D.3ⁿ-3参考答案：A8.在等比数列{c_n}中，若c₂=6，c₄=54，则该数列的公比q等于多少？A.3B.9C.27D.81参考答案：A9.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n(n+4)，则该数列的通项公式e_n等于多少？A.n+4B.2n+3C.2n+4D.n+3参考答案：C10.在等差数列{a_n}中，若a₁=5，a₃=11，则该数列的前10项和S₁₀等于多少？A.150B.160C.170D.180参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在等差数列{a_n}中，若a₅=10，a₁₀=25，则该数列的公差为______。参考答案：52.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3ⁿ-1，则该数列的通项公式b_n=______。参考答案：2^(n-1)3.若数列{c_n}满足c_n+c_{n+2}=10（n∈N），且c₁=2，c₂=4，则c₅=______。参考答案：64.在等比数列{d_n}中，若d₁=2，d₃=8，则该数列的公比为______。参考答案：25.若数列{e_n}的前n项和S_n=n(n+4)，则该数列的通项公式e_n=______。参考答案：2n+46.已知数列{f_n}是等差数列，且f₁=5，f₅=15，则该数列的通项公式f_n=______。参考答案：5+2(n-1)7.若数列{g_n}是等比数列，且g₁=1，g₄=16，则该数列的通项公式g_n=______。参考答案：2^(n-1)8.在等差数列{h_n}中，若h₅=10，h₁₀=25，则该数列的前10项和S₁₀=______。参考答案：1259.已知数列{i_n}的前n项和S_n=2n²+3n，则该数列的通项公式i_n=______。参考答案：4n+310.若数列{j_n}满足j_n+j_{n+1}=7（n∈N），且j₁=3，则j₁₀=______。参考答案：4三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=3n²-2n，则该数列一定是等差数列。参考答案：×2.在等比数列{b_n}中，若b₁=2，b₄=16，则该数列的公比q=2。参考答案：×3.某工厂计划从今年起每年比上一年增加10%的产量，如果今年产量为100万件，则5年后该工厂的年产量将超过200万件。参考答案：×4.在等差数列{c_n}中，若a₅=10，a₁₀=25，则该数列的通项公式为a_n=3n-5。参考答案：×5.判断下列说法是否正确：如果一个数列是等差数列，那么它的奇数项也构成一个等差数列。参考答案：√6.若数列{c_n}满足c_n+c_{n+2}=10（n∈N），则该数列可能是等差数列，也可能是等比数列。参考答案：×7.在等比数列{d_n}中，若d₁=2，d₃=8，则该数列的公比q=2。参考答案：√8.若数列{e_n}的前n项和S_n=n(n+4)，则该数列的通项公式为a_n=2n+4。参考答案：×9.已知数列{f_n}是等差数列，且f₁=5，f₅=15，则该数列的第四项f₄=10。参考答案：√10.若数列{g_n}是等比数列，且g₁=1，g₄=16，则该数列的第三项g₃=4。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a₁₀=25，求该数列的通项公式。参考答案：a_n=3n+22.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3n^2+2n，求该数列的通项公式。参考答案：b_n=6n-33.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_6=729，求该数列的公比。参考答案：q=34.若数列{d_n}的前n项和S_n=2^n-1，求该数列的通项公式。参考答案：d_n=2^n-2^(n-1)5.某城市地铁线路年客流量（万人次）构成一个等差数列，已知2020年客流量为2000万人次，2021年客流量为2200万人次，求2022年该城市地铁线路的年客流量。参考答案：2400万人次6.某工厂生产某种产品，每月产量（件）构成一个等差数列，当月产量为1000件时，累计产量为5000件，求该工厂生产该产品的第一个月的产量。参考答案：900件7.在等比数列{e_n}中，若e₁=2，e₃=8，求该数列的前五项和。参考答案：628.若数列{f_n}的前n项和S_n=n(n+4)，求该数列的前六项和。参考答案：55五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某工厂生产一种零件，每月生产的零件数量构成等差数列{a_n}，其中首月生产了100个零件，每月比上月多生产5个零件。求该工厂第10个月生产的零件数量。参考答案：155个零件2.某城市地铁线路年客流量构成等比数列{b_n}，其中第一年客流量为500万人次，每年比上一年增长10%。求该城市地铁线路第三年的客流量。参考答案：661.5万人次3.某人从银行贷款10万元购买汽车，贷款期限为5年，年利率为6%，按等额本息方式还款。求该人每年需还款多少元。参考答案：23869.44元4.某物体做自由落体运动，初始速度为0，加速度为9.8m/s²。求该物体从高度为20米处自由落下3秒后的速度。参考答案：29.4m/s5.某工厂生产一种产品，每月生产成本构成等差数列{c_n}，其中首月生产成本为5000元，每月比上月增加200元。求该工厂第8个月的生产成本。参考答案：6400元6.某城市人口增长构成等比数列{d_n}，其中2000年人口为100万，每年比上一年增长1%。求该城市2010年的人口数量。参考答案：121.05万7.某人投资一种理财产品，年收益率为8%，每年复利一次。求该人投资10万元10年后的本息和。参考答案：186641.76元8.某物体做匀速直线运动，速度为5m/s。求该物体从时间t=0到t=10秒内通过的路程。参考答案：50米标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：A解析：本题考查等比数列的通项公式。由题意知，c₁=100万，c₂=120万，根据等比数列的性质，公比q=c₂/c₁=120万/100万=1.2。故正确答案为A。B选项0.833是错误的，因为120万/100万不等于0.833。C选项1.25是错误的，因为120万/100万不等于1.25。D选项0.75是错误的，因为120万/100万不等于0.75。2.参考答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式。由题意知，a₁=50厘米，公差d=2厘米，根据等差数列的通项公式a_n=a₁+(n-1)d，则第10天的水位a₁₀=50+(10-1)×2=50+18=68厘米。故正确答案为B。A选项70厘米是错误的，因为计算结果为68厘米。C选项90厘米是错误的，因为计算结果为68厘米。D选项100厘米是错误的，因为计算结果为68厘米。3.参考答案：A解析：本题考查由数列的前n项和求通项公式。由题意知，S_n=2n²-3n，根据数列的前n项和与通项公式的关系，b_n=S_n-S_{n-1}。当n=1时，b₁=S₁=2×1²-3×1=-1。当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(2n²-3n)-[2(n-1)²-3(n-1)]=2n²-3n-[2n²-4n+2-3n+3]=2n²-3n-2n²+4n-2+3n-3=4n-5。故通项公式b_n=4n-5。故正确答案为A。B选项2n-3是错误的，因为计算结果为4n-5。C选项4n-3是错误的，因为计算结果为4n-5。D选项2n-5是错误的，因为计算结果为4n-5。4.参考答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式。由题意知，c₁=2，c₃=8，根据等比数列的性质，公比q=c₃/c₁=8/2=4。故正确答案为B。A选项2是错误的，因为8/2不等于2。C选项8是错误的，因为8/2不等于8。D选项16是错误的，因为8/2不等于16。5.参考答案：C解析：本题考查等差数列的性质。由题意知，d_n+d_{n+1}=7，且d₁=3，根据等差数列的性质，d₂=7-d₁=7-3=4，d₃=7-d₂=7-4=3，d₄=7-d₃=7-3=4，d₅=7-d₄=7-4=3。则前5项和S₅=3+4+3+4+3=17。故正确答案为C。A选项20是错误的，因为计算结果为17。B选项25是错误的，因为计算结果为17。D选项35是错误的，因为计算结果为17。6.参考答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式。由题意知，a₅=10，a₁₀=25，根据等差数列的性质，a₁₀=a₅+(10-5)d，则25=10+5d，解得d=3。故正确答案为B。A选项1.5是错误的，因为计算结果为3。C选项2.5是错误的，因为计算结果为3。D选项3是错误的，因为计算结果为3。7.参考答案：A解析：本题考查由数列的前n项和求通项公式。由题意知，S_n=3ⁿ-1，根据数列的前n项和与通项公式的关系，b_n=S_n-S_{n-1}。当n=1时，b₁=S₁=3¹-1=2。当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(3ⁿ-1)-[3^{n-1}-1]=3ⁿ-1-3^{n-1}+1=3ⁿ-3^{n-1}=3^{n-1}(3-1)=2×3^{n-1}。故通项公式b_n=2×3^{n-1}。故正确答案为A。B选项3ⁿ-1是错误的，因为计算结果为2×3^{n-1}。C选项2×3ⁿ-1是错误的，因为计算结果为2×3^{n-1}。D选项3ⁿ-3是错误的，因为计算结果为2×3^{n-1}。8.参考答案：A解析：本题考查等比数列的通项公式。由题意知，c₂=6，c₄=54，根据等比数列的性质，公比q=c₄/c₂=54/6=9。故正确答案为A。B选项9是错误的，因为54/6不等于9。C选项27是错误的，因为54/6不等于27。D选项81是错误的，因为54/6不等于81。9.参考答案：C解析：本题考查由数列的前n项和求通项公式。由题意知，S_n=n(n+4)，根据数列的前n项和与通项公式的关系，e_n=S_n-S_{n-1}。当n=1时，e₁=S₁=1×(1+4)=5。当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=n(n+4)-[(n-1)(n-1+4)]=n²+4n-n²+5n-4=9n-4。故通项公式e_n=9n-4。故正确答案为C。A选项n+4是错误的，因为计算结果为9n-4。B选项2n+3是错误的，因为计算结果为9n-4。D选项n+3是错误的，因为计算结果为9n-4。10.参考答案：B解析：本题考查等差数列的前n项和公式。由题意知，a₁=5，a₃=11，根据等差数列的性质，a₃=a₁+(3-1)d，则11=5+2d，解得d=3。根据等差数列的前n项和公式S_n=n/2(a₁+a_n)，则S₁₀=10/2(5+a₁₀)=5(5+a₁₀)。又因为a₁₀=a₁+(10-1)d=5+9×3=32，则S₁₀=5(5+32)=5×37=185。故正确答案为B。A选项150是错误的，因为计算结果为185。C选项170是错误的，因为计算结果为185。D选项180是错误的，因为计算结果为185。二、填空题1.参考答案：5解析：本题考查等差数列的通项公式。由等差数列的性质，a₅=a₁+4d，a₁₀=a₁+9d。联立方程组：a₁+4d=10，a₁+9d=25。解得a₁=0，d=5/4。故公差为5/4。注意，不能直接用a₁₀-a₅=15-10=5得出公差，因为a₁₀=a₁+9d，a₅=a₁+4d，所以a₁₀-a₅=5d，故d=5/4。2.参考答案：2^(n-1)解析：本题考查等比数列的通项公式。由等比数列的性质，S_n=b₁(1-q^n)/(1-q)。当n=1时，S₁=b₁=3¹-1=2，故b₁=2。当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=3ⁿ-1-(3^(n-1)-1)=2×3^(n-1)。验证n=1时成立，故通项公式为b_n=2^(n-1)。3.参考答案：6解析：本题考查等差数列的性质。由等差数列的性质，c_n+c_{n+2}=2c_{n+1}。故c₅=c₂+3d=4+3×(4-2)=6。4.参考答案：2解析：本题考查等比数列的通项公式。由等比数列的性质，d₃=d₁q²。故8=2q²，解得q=±2。当q=2时，数列为2,4,8,16,...；当q=-2时，数列为2,-4,8,-16,...。由于题目未指明公比，默认取正数，故公比为2。5.参考答案：2n+4解析：本题考查等差数列的通项公式。由等差数列的性质，S_n=n(a₁+a_n)/2。当n=1时，S₁=e₁=1×(a₁+a₁)/2=2a₁=1+4，解得a₁=-3/2。当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=n(n+4)-(n-1)(n+3)=2n+4。验证n=1时成立，故通项公式为e_n=2n+4。6.参考答案：5+2(n-1)解析：本题考查等差数列的通项公式。由等差数列的性质，a₅=a₁+4d。故15=5+4d，解得d=2.5。故通项公式为a_n=5+2.5(n-1)=5+2.5n-2.5=2.5n+2.5。7.参考答案：2^(n-1)解析：本题考查等比数列的通项公式。由等比数列的性质，q^(n-1)=g₁/g₀。当n=1时，g₁=2^(1-1)=1=1，成立。当n≥2时，g_n=g₁q^(n-1)=2×(±2)^(n-1)。验证n=1时成立，故通项公式为g_n=2^(n-1)。8.参考答案：125解析：本题考查等差数列的前n项和公式。由等差数列的性质，S_n=n(a₁+a_n)/2。故S₁₀=10(a₁+a₁₀)/2=10(5+15)/2=125。9.参考答案：4n+3解析：本题考查等差数列的通项公式。由等差数列的性质，S_n=n(a₁+a_n)/2。当n=1时，S₁=i₁=2×1²+3×1=5，故i₁=5。当n≥2时，i_n=S_n-S_{n-1}=2n²+3n-[2(n-1)²+3(n-1)]=4n+3。验证n=1时成立，故通项公式为i_n=4n+3。10.参考答案：4解析：本题考查等差数列的性质。由等差数列的性质，j_n+j_{n+1}=2j_{n+1}=7，故j_{n+1}=7/2。故j₁₀=j₉+1d=7/2+1×(7/2-3)=4。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查〈等差数列与等比数列的判定〉。数列{a_n}的前n项和S_n=3n²-2n，则a_n=S_n-S_{n-1}=(3n²-2n)-[3(n-1)²-2(n-1)]=6n-5（n≥2），当n=1时，a₁=S₁=1，所以数列{a_n}的通项公式为a_n=6n-5（n∈N），因此该数列是等差数列。但题干说法“一定是等差数列”过于绝对，因为如果n=1时a₁≠6-5=1，则数列可能不是等差数列，故该说法错误。2.参考答案：×解析：本题考查〈等比数列的通项公式〉。在等比数列{b_n}中，若b₁=2，b₄=16，则根据等比数列的通项公式b_n=b₁q^{n-1}，可得b₄=b₁q³，即16=2q³，解得q³=8，所以q=2，故该数列的公比q=2，该说法正确。3.参考答案：×解析：本题考查〈等比数列的应用〉。设今年产量为a₁=100万件，年增长率为q=1+10%=1.1，则5年后的年产量为a₅=a₁q⁵=100×1.1⁵≈161.051万件，显然小于200万件，故该说法错误。4.参考答案：×解析：本题考查〈等差数列的通项公式〉。在等差数列{c_n}中，若a₅=10，a₁₀=25，则根据等差数列的通项公式a_n=a₁+(n-1)d，可得a₅=a₁+4d=10，a₁₀=a₁+9d=25，联立解得a₁=2，d=2，所以a_n=2+2(n-1)=2n，故该数列的通项公式为a_n=2n，该说法错误。5.参考答案：√解析：本题考查〈等差数列的性质〉。如果一个数列是等差数列，设其公差为d，则其奇数项构成的数列为a₁,a₃,a₅,…，其通项为a_{2k-1}=a₁+(2k-2)d=a₁+2(k-1)d，这也是一个等差数列，公差为2d，故该说法正确。6.参考答案：×解析：本题考查〈数列的递推关系〉。若数列{c_n}满足c_n+c_{n+2}=10（n∈N），则当q=1时，数列{c_n}为常数列，此时c_n=c_{n+2}=10，满足条件，但常数列既不是等差数列也不是等比数列（除非所有项都相等），故该说法错误。7.参考答案：√解析：本题考查〈等比数列的通项公式〉。在等比数列{d_n}中，若d₁=2，d₃=8，则根据等比数列的通项公式b_n=b₁q^{n-1}，可得d₃=d₁q²，即8=2q²，解得q²=4，所以q=2，故该数列的公比q=2，该说法正确。8.参考答案：×解析：本题考查〈数列的递推关系与前n项和的关系〉。若数列{e_n}的前n项和S_n=n(n+4)，则当n=1时，a₁=S₁=5，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n(n+4)-[(n-1)(n+3)]=2n+3，由于a₁=5≠7，所以数列{e_n}的通项公式为a_n=2n+3（n∈N），该说法错误。9.参考答案：√解析：本题考查〈等差数列的通项公式〉。在等差数列{f_n}中，若f₁=5，f₅=15，则根据等差数列的通项公式a_n=a₁+(n-1)d，可得f₅=f₁+4d=15，即5+4d=15，解得d=2.5，所以f₄=f₁+3d=5+3×2.5=12.5，该说法正确。10.参考答案：√解析：本题考查〈等比数列的通项公式〉。若数列{g_n}是等比数列，且g₁=1，g₄=16，则根据等比数列的通项公式b_n=b₁q^{n-1}，可得g₄=g₁q³，即16=1q³，解得q³=16，所以q=2，故该数列的第三项g₃=g₁q²=1×2²=4，该说法正确。四、简答题1.参考答案：a_n=3n+2解析：本题考查等差数列的通项公式。由题意知，a_5=10，a₁₀=25，设公差为d，则有a₁₀=a_5+5d，即25=10+5d，解得d=3。因此，通项公式为a_n=a_5+(n-5)d=10+3(n-5)=3n-5+10=3n+2。2.参考答案：b_n=6n-3解析：本题考查数列的通项公式。由题意知，S_n=3n^2+2n，则b_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2+2n)-[3(n-1)^2+2(n-1)]=3n^2+2n-3n^2+6n-3-2n+2=6n-3。3.参考答案：q=3解析：本题考查等比数列的公比。由题意知，c_2=6，c_6=729，设公比为q，则有c_6=c_2q^4，即729=6q^4，解得q^4=121.5，由于q为整数，故q=3。4.参考答案：d_n=2^n-2^(n-1)解析：本题考查数列的通项公式。由题意知，S_n=2^n-1，则d_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}(2-1)=2^{n-1}。5.参考答案：2400万人次解析：本题考查等差数列的通项公式。由题意知，2020年客流量为2000万人次，2021年客流量为2200万人次，设公差为d，则有d=2200-2000=200万人次。因此，2022年该城市地铁线路的年客流量为2200+200=2400万人次。6.参考答案：900件解析：本题考查等差数列的通项公式。由题意知，当月产量为1000件时，累计产量为5000件，设第一个月的产量为a₁，公差为d，则有5000=a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)+...+(a₁+11d)，即5000=12a₁+66d，又因为a₁+11d=1000，解得a₁=900件。7.参考答案：62解析：本题考查等比数列的前n项和。由题意知，e₁=2，e₃=8，设公比为q，则有e₃=e₁q^2，即8=2q^2，解得q=2。因此，前五项和为S_5=e₁(q^5-1)/(q-1)=2(2^5-1)/(2-1)=62。8.参考答案：55解析：本题考查数列的前n项和。由题意知，S_n=n(n+4)，则S_6=6(6+4)=60，S_5=5(5+4)=45，因此，前六项和为S_6-S_5=60-45=55。五、应用题1.参考答案：155个零件解析：本题考查等差数列的通项公式。等差数列{a_n}的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1为首项，d为公差。由题意知，a_1=100，d=5，n=10。代入公式得a_10=100+(10-1)×5=155。所以该工厂第10个月生产的零件数量为155个零件。2.参考答案：661.5万人次解析：本题考查等比数列的通项公式。等比数列{b_n}的通项公式为b_n=b_1×q