福建省泉州2027届九年级数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

福建省泉州2027届九年级数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，转盘的红色扇形圆心角为120°．让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的概率是（）A． B． C． D．2．在中，，，，则的值为（）A． B． C． D．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论:①abc＜0；②2a＋b＝0;③b2－4ac＜0；④9a+3b+c＞0;⑤c+8a＜0.正确的结论有（）.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．在半径等于5cm的圆内有长为cm的弦，则此弦所对的圆周角为A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或120°5．若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积为（）A．5 B．10 C．20 D．406．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，AD＝DB，若S△ADE＝3，则S四边形DBCE＝()A．12 B．15 C．24 D．277．设A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是双曲线上的三点，则（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y28．下列命题中，为真命题的是（）A．同位角相等 B．相等的两个角互为对顶角C．若a2＝b2，则a＝b D．若a＞b，则﹣2a＜﹣2b9．如图是胡老师画的一幅写生画，四位同学对这幅画的作画时间作了猜测.根据胡老师给出的方向坐标，猜测比较合理的是（）A．小明：“早上8点” B．小亮：“中午12点”C．小刚：“下午5点” D．小红：“什么时间都行”10．如图，在平面直角坐标系中，直线l的表达式是，它与两坐标轴分别交于C、D两点，且∠OCD＝60º，设点A的坐标为（m，0），若以A为圆心，2为半径的⊙A与直线l相交于M、N两点，当MN=时，m的值为（）A． B． C．或 D．或11．在，，，则的值是（）A． B． C． D．12．如图平行四边变形ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC=2∶3，AE交BD于F，则S△BFE∶S△FDA等于（）A．2∶5 B．4∶9 C．4∶25 D．2∶3二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=_____．14．如图，⊙O的半径为4，点B是圆上一动点，点A为⊙O内一定点，OA＝4，将AB绕A点顺时针方向旋转120°到AC，以AB、BC为邻边作▱ABCD，对角线AC、BD交于E，则OE的最大值为_____．15．若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________.16．在直角坐标平面内有一点A(3，4)，点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是_____．17．如图，在半径为5的⊙中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作的垂线交射线于点，当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为_____．18．写出一个顶点坐标是(1，2)且开口向下的抛物线的解析式________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知∠ABC＝90°，点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合)，分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F.试说明：（1）△ABP≌△AEQ；（2）EF＝BF20．（8分）已知如下图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位．（1）将图1中的格点，按照的规律变换得到，请你在图1中画出．（2）在图2中画出一个与格点相似但相似比不等于1的格点．（说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形．）21．（8分）如图，为固定一棵珍贵的古树，在树干处向地面引钢管，与地面夹角为，向高的建筑物引钢管，与水平面夹角为，建筑物离古树的距离为，求钢管的长．(结果保留整数，参考数据：)22．（10分）如图，已知是的外接圆，是的直径，为外一点，平分，且．（1）求证：；（2）求证：与相切．23．（10分）为了传承中华优秀传统文化，培养学生自主、团结协作能力，某校推出了以下四个项目供学生选择：.家乡导游；.艺术畅游；.体育世界；.博物旅行．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目．学校对某班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解答下列问题：（1）该班学生总人数是______人；（2）将条形统计图补充完整，并求项目所在扇形的圆心角的度数；（3）老师发现报名参加“博物旅行”的学生中恰好有两名男生，现准备从这些参加“博物旅行”的学生中任意挑选两名担任活动记录员，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率．24．（10分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝37°，∠DBH＝67°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（参考数据tan67°，tan37°）25．（12分）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．26．计算：2cos30°－tan45°－．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】画出树状图，由概率公式即可得出答案．【详解】解：由图得：红色扇形圆心角为120，白色扇形的圆心角为240°，∴红色扇形的面积：白色扇形的面积＝，画出树状图如图，共有9个等可能的结果，让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的结果有4个，∴让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的概率为；故选：C．本题考查了树状图和概率计算公式，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握树状图的画法步骤.2、A【分析】根据勾股定理求出AB，根据余弦的定义计算即可．【详解】由勾股定理得，，则，

故选：A．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．3、C【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：抛物线开口向下，得：a＜0；抛物线的对称轴为x=-=1，则b=-2a，2a+b=0，b=-2a，故b＞0；抛物线交y轴于正半轴，得：c＞0.∴abc＜0,①正确；2a+b=0，②正确；由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2-4ac＞0，故③错误；由对称性可知，抛物线与x轴的正半轴的交点横坐标是x=3，所以当x=3时，y=9a+3b+c=0,故④错误；观察图象得当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0∵b=-2a，∴4a+4a+c＜0即8a+c＜0，故⑤正确.正确的结论有①②⑤，故选:C主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的表达式求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．4、C【分析】根据题意画出相应的图形，由OD⊥AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，由AB的长求出AD与BD的长，且得出OD为角平分线，在Rt△AOD中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出∠AOD的度数，进而确定出∠AOB的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可求出弦AB所对圆周角的度数．【详解】如图所示，∵OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD=BD=，在Rt△AOD中，OA=5，AD=，∴sin∠AOD=，又∵∠AOD为锐角，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ACB=∠AOB=60°，又∵圆内接四边形AEBC对角互补，∴∠AEB=120°，则此弦所对的圆周角为60°或120°．故选C．此题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数定义，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．5、B【分析】利用圆锥面积=计算.【详解】=，故选：B.此题考查圆锥的侧面积公式，共有三个公式计算圆锥的面积，做题时依据所给的条件恰当选择即可解答.6、C【分析】根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB＝1：3，因而面积的比是1：9，则可求出S△ABC，问题得解.【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB＝1：2，∴AD：AB＝1：3，∴S△ADE：S△ABC是1：9，∵S△ADE＝3，∴S△ABC＝3×9＝27，则S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝27﹣3＝24.故选：C.本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．7、B【分析】将A、B、C的横坐标代入双曲线，求出对应的横坐标，比较即可．【详解】由题意知：A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）在双曲线上，将代入双曲线中，得∴．故选B．本题主要考查了双曲线函数的性质，正确掌握双曲线函数的性质是解题的关键．8、D【解析】根据同位角、对顶角和等式以及不等式的性质，逐一判断选项，即可．【详解】A、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；B、相等的两个角不一定互为对顶角，原命题是假命题；C、若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，原命题是假命题；D、若a＞b，则﹣2a＜﹣2b，是真命题；故选：D．本题主要考查真假命题的判断，熟练掌握常用的公理，定理，推论和重要结论，是解题的关键.9、C【解析】可根据平行投影的特点分析求解，或根据常识直接确定答案．解：根据题意：影子在物体的东方，根据北半球，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，可得应该是下午．故选C．本题考查了平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．10、C【分析】根据题意先求得、的长，分两种情况讨论：①当点在直线l的左侧时，利用勾股定理求得，利用锐角三角函数求得，即可求得答案；②当点在直线l的右侧时，同理可求得答案.【详解】令，则，点D的坐标为，∵∠OCD＝60º，∴，分两种情况讨论：①当点在直线l的左侧时：如图，过A作AG⊥CD于G，∵，MN=，∴，∴，在中，∠ACG＝60º，∴，∴，∴，②当点在直线l的右侧时：如图，过A作AG⊥直线l于G，∵，MN=，∴，∴，在中，∠ACG＝60º，∴，∴，∴，综上：m的值为：或.故选：C．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，锐角三角函数，分类讨论、构建合适的辅助线是解题的关键.11、B【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B=1解答．【详解】∵在Rt△ABC中,∠C=90，∴∠A+∠B=90，∴sin2A+sin2B=1，sinA>0，∵sinB=，∴sinA==.故选B.本题考查互余两角三角函数的关系.12、C【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BE，由平行得相似，即△BEF∽△DAF，再利用相似比解答本题．【详解】∵，

∴，∵四边形是平行四边形，

∴，∥，

∴，，

∴，，故选：C．本题考查了相似三角形的判定与性质．正确运用相似三角形的相似比是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、2【详解】解：在Rt△ABC中，∵AD=BD=4，∴CD=AB=4，∵AF=DF，AE=EC，∴EF=CD=2，故答案为2.14、2+2【分析】如图，构造等腰△OAF，使得AO＝AF，∠OAF＝120°，连接CF，OB，取AF的中点J，连接EJ．证明EJ是定值，可得点E的运动轨迹是以J为圆心，EJ为半径的圆，由此即可解决问题．【详解】如图，构造等腰△OAF，使得AO＝AF，∠OAF＝120°，连接CF，OB，取AF的中点J，连接EJ．∵∠BAC＝∠OAF＝120°，∴∠BAO＝∠CAF，∵ABAC，AO＝AF，∴△OAB≌△FAC（SAS），∴CF＝OB＝，∵四边形BCDA是平行四边形，∴AE＝EC，∵AJ＝JF，∴EJ＝CF＝，∴点E的运动轨迹是以J为圆心，EJ为半径的圆，易知OJ＝当点E在OJ的延长线上时，OE的值最大，最大值为OJ+JE＝，故答案为2+2．本题考查的是圆的综合，难度较大，解题关键是找出EJ是最大值.15、【分析】由题意关于x的方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac＞2．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．【详解】解：∵b2-4ac=22-4×2×a=4-4a＞2，解得：a＜2．∴a的取值范围是a＜2．故答案为：a＜2．本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞2⇔方程有两个不相等的实数根；△=2⇔方程有两个相等的实数根；△＜2⇔方程没有实数根．16、【解析】根据勾股定理求出OA的长度，根据余弦等于邻边比斜边求解即可.【详解】∵点A坐标为（3，4），∴OA==5，∴cosα=，故答案为本题主要考查锐角三角函数的概念，在直角三角形中，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边，熟练掌握三角函数的概念是解题关键.17、8或【解析】根据题意，以为腰的等腰三角形有两种情况，当AB=AP时，利用垂径定理及相似三角形的性质列出比例关系求解即可，当AB=BP时，通过角度运算，得出BC=AB=8即可．【详解】解：①当AB=AP时，如图，连接OA、OB，延长AO交BP于点G，故AG⊥BP，过点O作OH⊥AB于点H，∵在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∴，由垂径定理可知，∴，在Rt△OAH中，在Rt△CAP中，，且∴，在Rt△PAG与Rt△PCA中，∠GPA=∠APC，∠PGA=∠PAC，∴Rt△PAG∽Rt△PCA∴，则，∴；②当AB=BP时，如下图所示，∠BAP=∠BPA，∴在Rt△PAC中，∠C=90°-∠BPA=90°-∠BAP=∠CAB，∴BC=AB=8故答案为8或本题考查了圆的性质及圆周角定理、相似三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是灵活运用上述知识进行推理论证．18、y=-(x-1)1+1【分析】利用顶点式可设抛物线解析式为y=a(x-1)1+1，然后根据a的作用确定a的值即可．【详解】解：设抛物线解析式为y=a(x-1)1+1，∵抛物线y=ay=-(x-1)1+11+1的开口向下，∴可令a=-1，∴抛物线解析式y=-(x-1)1+1．故答案为y=-(x-1)1+1．本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．三、解答题（共78分）19、1．【解析】（1）根据等边三角形性质得出AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠EAQ，根据SAS证△BAP≌△EAQ，推出∠AEQ=∠ABC=90°；

（1）根据等边三角形性质求出∠ABE=∠AEB=60°，根据∠ABC=90°=∠AEQ求出∠BEF=∠EBF=30°，即可得出答案．（1）解：△BEC是等腰三角形，理由是：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECB，∵CE平分∠DEB，∴∠DEC＝∠BEC，∴∠BEC＝∠ECB，∴BE＝BC，∴△BEC是等腰三角形．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵∠ABE＝45°，∴∠AEB＝45°＝∠ABE，∴AE＝AB＝，由勾股定理得：BE＝，即BC＝BE＝1．“点睛”本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用．20、（2）详见解析；（2）详见解析【分析】（2）按题中要求，把图形上的每个关键点图2中的格点△ABC，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A2B2C2单位后，依次连接各个关键点，即可得出要画的图形；（2）根据平移作图的规律作图即可做个位似图形即可，相似比可以是2：2．【详解】（2）如图2．（2）如图2．（答案不唯一）本题考查了作图-平移变换、作图-位似图形，根据要求作图是解题的关键．21、钢管AB的长约为6m【分析】过点C作CF⊥AD于点F，于是得到CF=DE=6，AF=CFtan30°．在Rt△ABD中，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】过点C作CF⊥AD于点F，则CF=DE=6，AF=CFtan30°=62，∴AD=AF+DF=21.5，在Rt△ABD中，AB(21.5)46(m)．答：钢管AB的长约为6m．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．22、（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）由角平分线的定义得出，再根据即可得出；（2）由相似三角形的性质可得出，然后利用等腰三角形的性质和等量代换得出，从而有，根据平行线的性质即可得出，则结论可证．【详解】（1）∵平分，∴∴（2）连接OC∵是的直径，∵∵∴与相切．本题主要考查相似三角形的判定及性质，切线的判定，掌握相似三角形的判定及性质，切线的判定方法是解题的关键．23、（1）50；（2）作图见解析，；（3）．【分析】（1）利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）用总人数减去其它项目的人数求出C项目的人数，然后补全条形统计图；用360乘以B项目所占的百分比即可求出B项目所在扇形的圆心角的度数；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】（1）调查的总人数为(人)．故答案为：50.．（2）项目的人数为(人)．补全条形统计图如图，项目所在扇形的圆心角的度数为．（3）画树状图如图，，∴．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．24、GH的长为10m．【分析】延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，设DE=xm，则CE=（x+2）m，通过解直角三角形可得出AE=，BE=，结合AE-BE=10可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再将其代入GH=CE=CD+DE中即可求出结论．【详解】解：延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，如图所示．设DE＝xm，则CE＝（x+2）m，在Rt△AEC和Rt△BED中，tan37°＝，tan67°＝，∴AE＝，BE＝．∵AE﹣BE＝AB，tan67°，tan37°∴﹣＝10，即﹣＝10，解得：x＝8，∴DE＝8m，∴GH＝CE＝CD+DE＝2m+8m＝10m．答：GH的长为10m．本题考查了解直角三角形的应用，由AE-BE=10，找出关于DE的长的一元一次方程是解题的关键．25、（1）证明见解析；（1）CF﹣CD=BC；（3）①CD﹣CF=BC；②1．【分析】（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得．（1）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC．（3）①同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CD﹣CB=CF．②证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根