初三【数学（北京版）】锐角三角函数（1）教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级九年级学期上课题锐角三角函数（1）教科书书名：义务教育教科书出版社：北京出版社出版日期：2019年7月教学人员姓名单位授课教师指导教师指导教师指导教师教学目标教学目标：1.认识锐角的正弦的概念，在直角三角形中能利用定义表示三角形的两边比；2.经历画图、测量、猜想、验证等过程，探索正弦函数的概念的形成过程，感受从特殊到一般的研究方法，进一步认识函数，体会函数中变化与对应的思想；3.通过探究过程，感受数学学科的严谨性，体会获得成功的喜悦.教学重点：锐角的正弦函数的概念教学难点：锐角的正弦函数的概念教学过程时间教学环节主要师生活动1分钟本章引入本节课是本章的初始课，我们一起来看一下本章主要内容.本章主要包括锐角三角函数的概念，以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容.解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用，比如在测量、建筑学、物理学中，人们常常遇到计算距离、高度、角度等问题.通过本章的学习，我们能运用所学的知识解决相关的实际问题.40秒问题情境【复习回顾】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，请你说出三边之间的关系、两锐角的关系.由勾股定理我们可以得出三边之间的关系，，即两直角边的平方和等于斜边的平方.两锐角相加等于90°.那么直角三角形中边角之间有什么关系呢？15分钟探究新知我们先从熟悉的特殊直角三角形入手.【问题1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=30°，你能说出边之间的关系吗？∠A=30°时，我们可以得出.这个结论是如何得出的呢？我们可以通过下面的方法.延长BC至点D，使得CD=BC，可证△ABD是等边三角形.所以，即这个比值会因为三角形的大小而变化吗？通过证明我们发现，这个比值与边的长度无关，因此不会因为三角形的大小而发生变化.小小结：∠A=30°时，这个比值只与∠A的大小有关，与三角形的大小无关.【问题2】在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=45°，那么∠A所对的边BC与斜边AB的比值是多少？请说明理由.已知∠A=45°，∠ACB=90°，可证△ABC是等腰直角三角形.设AC=BC=k，则.所以，即.小小结：∠A=45°时，这个比值只与∠A的大小有关.【问题3】如果∠A=60°，那么∠A所对的边BC与斜边AB的比值是多少？设AC=k，则AB=2k，BC=，可得小小结：∠A=60°时，这个比值只与∠A的大小有关，与三角形的大小无关.【问题4】刚刚我们研究了熟悉的30°，45°，60°角的情况，如果∠A是一个不等于30°，45°，60°的锐角时，∠A所对的对边BC与斜边AB的比值仍然固定不变吗？比值是否也只与∠A的大小有关呢？【实践】请同学们画出一个Rt△ABC，使得∠C=90°，∠A=50°，度量线段BC，AB的长，计算的值，并说出你的发现.教师展示计算机测量、计算的结果，引发猜想，再进行推理证明.小小结：只要∠A保持50°不变，那么∠A的对边与斜边的比值固定不变，且这个比值只与锐角的大小有关.【问题5】如果∠A是任意一个锐角时，那么∠A的对边与斜边的比值是否仍然具有上述性质呢？利用相似三角形的判定和性质进行证明，得出一般性结论.小小结：在Rt△ABC中，当∠C=90°时，对于∠A的任意一个确定的值，∠A的对边与斜边的比是一个固定不变的值.【问题6】那么当∠A的大小发生变化时，这个比值是否也发生变化呢？如图，设斜边的长度不变，可以观察到，随着∠A的变大，∠A的对边长度变大，B1C1>BC，所以当∠A变大时，比值也随之变大.小小结：在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A大小发生变化时，∠A的对边与斜边的比随∠A的变化而变化.回顾两个结论，从函数的角度再次理解比值与∠A的关系.对于∠A的任意一个确定的值，比值是一个固定不变的值，而∠A大小发生变化时，比值也随∠A的变化而变化，这让我们联想到函数的定义——一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，我们就说x是自变量，y是x的函数.我们发现∠A的度数与∠A的对边与斜边的比值存在这种对应关系，∠A的度数是自变量，而对边与斜边的比值是∠A的函数.这与我们以以前学习的一次函数、二次函数、反比例函数有所不同，它反映的不是数值与数值之间的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系.【形成概念】一般地，在Rt△ABC中，当∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，.注意：1.sinA是一个完整的符号，这里省去了∠的符号.单独写出sin是没有意义的，因为它离开了确定的锐角无法显示其含义.2.sinA表示的不再是角，而是∠A的对边与斜边的比值.3.如果我们的角是用三个字母表示的，则角的符号不可以省略，如sin∠BAC.而通过刚才的学习，我们知道这个比值是∠A的函数，因此我们也可以说sinA是∠A的正弦函数.例如，∠A=30°时，；∠A=45°时，；∠A=60°时，.【交流】当0°<sinA<90°时，sinA的值在什么范围内变化？为什么？由于，斜边是大于直角边的，即分母永远大于分子，因此这个比值永远小于1.因此sinA的范围是0<sinA<1.5分钟新知运用【例1】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求sinA和sinB的值.分析：sinA的值等于哪两条线段的比？结合定义我们知道sinA等于∠A的对边比斜边，∠A的对边为BC，因此sinA=.同理，sinB=.通过观察发现，已知中给出了两直角边的长，而斜边的长未知，因此我们利用勾股定理求解即可.【例2】已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CD=12，AD=9，BD=5，求sinA，sin∠ACD，sinB和sin∠BCD的值.类比例1完成.小小结：本题出现了两个直角三角形，我们只需要找到所求角所在的直角三角形，利用勾股定理得出边长，进而根据正弦定义求解即可.在解题过程中一定要找准角所在的直角三角形和角的对边.【例3】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=20，求AB的长.对比例3与前面两例题，你有什么发现吗？前面两个例题都是给出边长，让我们求出角的正弦，而本题是给出了角的正弦值，让我们求边长.我们仍然根据定义可得，，由于sinA和BC的值已知，代入即可求得AB的值.或者我们也可以这么解决，已知BC与AB的比值，设BC=4x，则AB=5x，因为BC=20，可知x=5，所以AB=5x=25.已知比值，利用比值设未知数，也是我们常用的求线段长的方法.小小结：通过本题，我们知道，直角三角形中，当给出一个角的正弦值和一条边时，可以求得另一边的长.1分钟课堂小结我们一起来回顾一下本节课内容.本节课我们先是由含30°的特殊直角三角形入手，初步感知了