青岛理工大学高等数学练习教程答案

第一章函数与极限第一节映射与函数选择题1.已知函数的定义域是，满足则是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶D.不能确定2.已知，且，（）A.B.C.D.3.设，则（）A.B.C.D.4.已知直接函数的反函数是，则直接函数的定义域是（）A.B.C.D.5.是（）A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数6.设与分别为定义在上的偶函数与奇函数，则与分别（）A.都是偶函数B.都是奇函数C.是奇函数与偶函数D.是偶函数与奇函数7.设，则（）A.B.C.D.8.的定义域是，则的定义域是（）其中A.B.C.D.9.函数与其反函数的图形对称于直线（）A.B.C.D.答案ABACDADDC练习题1.设，求解：2.指出下列两个函数是否相同，并说明理由(1)(2)，(3)，解：(1)不同，对应法则不同(2)不同，定义域不同的是,的是(3)相同，定义域和对应法则都相同3.若，求解：4.（2001数学二考研题），则解5.求解6.设是定义在关于原点对称的某数集上的函数，证明必可表示成一个偶函数与一奇函数之和。解：=偶+奇7.且，，求解：第二节数列的极限选择题1.数列极限的几何意义是（）A.在点A的某一个邻域的内部含有中的无穷多个点B.在点A的某一个邻域的外部含有中的无穷多个点C.在点A的任何一个邻域的外部含有中的无穷多个点D.在点A的任何一个邻域的外部至多含有中的有限个点2.的等价定义是（）A.对于任意正数及任意正数，总存在正整数，使得当时，B.对于某个充分小的正数，总存在正整数，使得当时，C.对于任意正整数，总存在正数，使得当时，D.对于某个正整数，总存在正数，使得当时，3.对任意给定的，总存在正整数，当时，恒有是数列收敛于的（）A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件4.设但则（）A.都收敛于B.都收敛，但不一定收敛于C.可能收敛，也可能发散D.都发散5.若数列在邻域内有无穷多个数列的点则（）（其中为某一取定的正数）A.数列必有极限，但不一定等于B.数列的极限存在且一定等于C.数列不一定存在D.数列一定不存在极限6.若为数列的两个子列，且，则（）A.B.C.不存在D.7.下列命题中正确的有（）A.当越大时，越小，则数列必定以为极限B.当越大时，越接近于零，则数列必定以为极限C.对于任意给定的，存在自然数当时，仅有有限项不满足，则数列必定以为极限D.对于任意给定的，存在自然数当时，有无穷多项满足，则数列必定以为极限8.的一个子列，则（）A.不确定B.C.D.答案DACACCCB练习题1.对于数列，若，证明解：，，时，对上述，，，记，取，若，则，则，从而只要即2.证明其中证明：取，当即3.求解：4.求解：5.求解：6.设数列有界，又，证明证明：数列有界，有。由,所以第三节函数的极限选择题1.若已知，则必有（）A.在点连续B.在点有定义C.在点的某个邻域内有定义D.在点的某个去心邻域内有定义2.设，则下列命题中成立的是（）A.B.C.不存在D.3.(92103，92203)当时，函数的极限为（）A.2B.0C.D.不存在但不为4.=（）A.0B.2C.不存在D.15.（）A.不存在B.1C.D.06.当时，函数的极限（）A.2B.0C.D.不存在但不为7.（）A.B.0C.D.8.如果存在，则（）A.不一定存在B.无定义C.有定义D.为09.如果有意义，则（）A.存在B.不一定存在C.存在且为0D.一定不存在答案DDDCADCAB练习题1.用定义证明证明：当时，有故当时有所以2.用定义证明证明：要使不妨设则取当3.求极限(1)(2)(3)解：(1)不存在(2)不存在(3)不存在4.求极限解：不存在5.设求解：，6.求极限解：时，时，两个函数子列收敛于不同的数所以发散第四节无穷小与无穷大选择题1.无穷大量与有界量的关系是（）A.无穷大可能是有界量B.无穷大一定不是有界量C.有界量可能是无穷大量D.不是有界量，一定是无穷大量2.无穷小量是（）A.比零稍大一点的数B.一个很小很小的数C.以零为极限的一个变量D.数零3.无穷多个无穷小量之和是（）A.必是无穷小量B.必是无穷大量C.必是有界量D.是无穷小或是无穷大或是有界量4.下列命题正确的是（）A.无穷小量是个绝对值很小很小的数B.无穷大量是个绝对值很大很大的数C.为无穷小量D.为无穷小量5.若，则必有（）A.B.C.D.6.当时，变量是（）（1991考研题）A.无穷小B.无穷大C.有界的，但不是无穷小量D.无界的，但不是无穷大7.“当时，是无穷小”是的（）A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件8.若当时，都是无穷小，则当时，下列表达式的那个不一定是无穷小。（）A.B.C.D.9.函数（）（1987考研题）A.在内有界B.当时为无穷大C.在内无界D.当时有限10.指出下列函数中当时（）为无穷大A.B.C.D.答案BCDDDDCDCD练习题1.为何值时，当时，为无穷小。解：矛盾，2.已知，求。解：3.已知解：，有即4.已知解：则5.求解：原式6.求解：第五节极限运算法则选择题1.（）A.1B.不存在C.D.02.（）A.0B.1C.2D.33.，则（）A.必不存在B.必存在C.必不存在D.必存在4.下列命题正确的是（）A.设与在邻域内分别为有界函数与无界函数，则在的小邻域内必是无界函数B.设在邻域内为无界函数，则C.设，且，则D.设，则5.若存在，则下列极限一定存在的是（）A.B.C.D.6.，下列式子成立的是（）A.B.C.D.7.下列极限存在的是（）A.B.C.D.8.（）A.B.C.D.不存在答案DACDBDAB练习题1.求极限(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：2.若，求解：，3.已知，其中是常数，求解：4.求解：=05.（97205）求极限解：第六节极限存在准则两个重要极限选择题1.下列格式等号成立的是（）A.B.C.D.2.下列各式中正确的是（）A.B.C.D.3.(2000年考研题)设对任意的，总有，且则（）A.存在且等于零B.存在但不等于零C.一定不存在D.不一定存在4.（）A.0B.1C.2D.35.（）A.B.1C.D.6.（）A.1B.0C.D.不存在7.（）A.1B.0C.D.不存在8.下列运算过程正确的是（）A.B.C.D.答案DADBCCAD练习题1.（96105，96205）设，，试证明数列极限存在，并求此极限。证明：设，则有归纳法知对一切，都有，即为单调下降数列又,为单调下降有下界的数列，存在，设，则从而，因为所以2.求解：夹逼性定理3.求解：4.求解：5.(90103，90203）设为非零常数，求解：=6.解：7.计算解：不存在8.(00105）求极限解：第七节无穷小的比较选择题1.设，，则时，结论成立的是（）A.与为等价无穷小B.是较为高阶的无穷小C.是较为低阶的无穷小D.与为同价无穷小，但不等价2.设，则当时（）A.与是等价无穷小量B.与是同阶但非等价无穷小量C.是比较高阶的无穷小量D.是比较低阶的无穷小量3.下列运算正确的是（）A.B.C.D.4.下列结论正确的是（）A.B.当时故C.当时故D.当时，5.设当时与均为的同阶无穷小则（）A.必是的同阶无穷B.必是的高阶无穷小C.必是的高阶无穷小D.必是的同阶无穷小6.设当时为同价无穷小则（）A.1B.2C.3D.47.两个无穷小量与之积仍是无穷小量且与或相比（）A.是高阶无穷小B.是同阶无穷小C.可能是高阶也可能是同阶无穷小D.与阶数较高的那个同阶8.设，则（）A.B.C.D.答案DBDCCCAA练习题1.设时，是无穷小，且，证明当时，与是等价无穷小。证明：显然时与是无穷小2.设时，是无穷小，且，证明当时与是等价无穷小证明：3.求解：4.解：5.证明设当时，是较的高阶无穷小，则。解：显然6.证明设当时，，又，则证明：7.(97103）求极限解利用等价无穷小8.求解：9.求解：第八节函数的连续性与间断点选择题1.设，则在（）A.都间断B.都连续C.连续，间断D.间断，连续2.下列函数中，在定义域内处处连续的函数是（）A.B.C.D.3.在点处左右极限存在并相等是在点处连续的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.前三者都不对4.设讨论的间断点，其结论为（）A.不存在间断点B.存在间断点C.存在间断点D.存在间断点5.已知，在上连续。且，则必有（）A.B.C.D.6.在连续是在连续的（）A.充分条件非必要条件B.必要条件非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要7.与存在，则（）A.存在且B.，但不一定有C.不一定存在D.一定不存在8.在处连续，则常数（）A.B.C.D.9.函数点间断是因为（）A.B.都不存在C.不存在D.10.函数的间断点为（）A.B.C.D.答案DCBBAABACB练习题1.设，求解：，，2.（2000年考研题）求极限，解：，3.研究的连续性解：分断点。为第一类间断点连续区间4.求函数的间断点，并判断其类型。解：是间断点，为第一类间断点为第二类（无穷）间断点5.判别的间断点的类型，如有可去间断点，为使在可去间断点处连续，应如何定义的值解：为可去间断点，若令在处连续。为无穷间断点6.证明：若函数在处连续，且，则必存在一个正数，使当时，。证明：由于在处连续，对于，当有由于故必有7.设解：，第九节连续函数的运算与初等函数的连续性选择题1.设对一切满足，在处连续，设小为不等于0的任意实数，则（）A.不存在B.存在，但在处不连续C.在处连续D.在处的连续性不确定2.设在不连续，则（）A.和在都不连续B.在连续在不连续C.在不连续在连续D.和在的连续性不确定3.在其定义区间上连续函数是（）A.B.C.D.4.设，则（）A.1B.C.2D.5.下列命题（）正确A.若在点处连续在点处不连续，则在点处必不连续B.若在点处连续，在点处也连续C.若在点处连续，在点处也连续D.若在点处连续，在点处也连续6.在内是（）A.连续的偶函数B.连续的奇函数C.连续的有界函数D.连续且非奇非偶函数7.设，它的连续区间是（）A.B.处其中为正整数C.D.处8.设的连续区间为则的连续区间为（）A.B.C.D.9.设处处连续，则=（）A.B.C.D.答案CDABCADAD练习题1.计算(1)求解：原式极限不存在(2)解：连续函数的极限为(3)解：(4)解：2.讨论函数的连续性解：在内是连续的3.设求的值，使在其定义域内连续解：时在其定义域内连续4.设为连续函数试确定解;因为5.已知，求常数解：6.求的连续区间解：无意义连续区间7.设连续，证明也连续解：连续连续，所以连续第十节闭区间上连续函数的性质选择题1.方程在内（）A.只有一个实根B.有两个实根C.无实根D.至少有一个实根2.方程至少有一个根的区间是（）A.B.C.D.答案DD练习题1.若在[]上连续，且，证明在[]内至少存在一点，使得证明：构造函数，由零点定理知结论成立。2.设在上连续，且，且满足证明至少存在一点，使证明：在上连续，，，有闭区间上连续函数的介值定理可得至少存在一点使3.证明方程恰有三个实根证明：在是连续函数考虑三个区间可知在中各有一个零点，而为三次函数故至多有三个实根，因此恰有三个实根。4.设在上连续，。证明在上有界。证明：在上在上，在上连续，由闭区间上连续函数的性质知有解取，则得证5.若在上连续，且，证明方程在内至少有一个实根。解：，当时有界值定理可知存在6.证明方程至少有一个小于1的正根证明：方程有根的问题转化为函数有零点的问题令则处处连续，当然在上连续，又有零点存在定理知至少存在一点，即方程至少有一个小于1的正根单元综合题一、填空1.若，则2.设3.4.5.6.已知，则7.当在连续答案1.1；2.；3.；4.；5.；6.任意实数6；7.任意实数二、计算1.解：2.解：三、求极限1.2.3.4.5.当时，6.7.8.解：1.2；2.；3.；4.1；5.；6.；7.；8.0四、设有函数试确定的值使在连续解：五、讨论函数的连续性，并判断其间断点的类型解：可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,为其它实数时连续.六、解：单元自测题一、选择（每题4分）1.(1998考研）设数列满足则下列断言