2026年平面方程题库及答案

2026年平面方程题库及答案单项选择题（1）过点P(2,-1,3)，且在x轴上截距为4，y轴上截距为-2的平面方程是（）A.B.C.D.答案：C解析：设平面的截距式方程为，其中a为x轴截距，b为y轴截距，c为z轴截距，由题可知，，将点代入方程可得，整理得，即，说明平面不存在有限的z轴截距，因此平面平行于z轴，整理方程可得，同乘4化简得，因此选C。（2）已知平面过点，且同时平行于向量和，该平面方程是（）A.B.C.D.答案：C解析：平面的法向量同时垂直于两个平行于平面的向量a和b，因此法向量n=a根据点法式平面方程，代入过点可得，展开整理得，因此选C。（3）点到平面的距离是（）A.B.C.D.答案：B解析：点(x0,y0,因此选B。（4）平面和平面的位置关系是（）A.平行不重合B.重合C.相交不垂直D.垂直答案：B解析：两个平面的法向量分别为，，可得，说明两个平面的法向量平行，平面平行或重合；将的方程同除以2可得，与的方程完全一致，因此两个平面重合，选B。（5）平面和平面的夹角的余弦值为（）A.B.C.D.答案：A解析：两个平面的夹角范围为，因此夹角余弦值等于两个法向量夹角余弦的绝对值，公式为，代入法向量，可得：点积，，，因此，选A。2.填空题（1）过点且过x轴的平面方程为__________。答案：解析：平面过x轴，因此平面必过原点，且平面的法向量同时垂直于x轴的方向向量，以及原点与点连线构成的向量，因此法向量，代入原点可得平面方程为，整理得。（2）已知平面过点和点，且垂直于平面，则该平面方程为__________。答案：解析：所求平面的法向量同时垂直于向量和已知平面的法向量，其中，，因此，约去公因子得法向量，代入点A得，展开整理得。（3）两平行平面和之间的距离为__________。答案：解析：两平行平面和之间的距离公式为，代入数据可得。（4）若平面过点，则参数的值为__________。答案：解析：将点代入平面方程可得，整理得，解得。3.解答题（1）求过三点，，的平面方程。解：由三点坐标可得向量，，平面的法向量，计算叉乘得：约去公因子得法向量，代入点A根据点法式得：

展开整理得，即为所求平面方程。（2）一平面平行于已知平面，且过点，求该平面方程，并计算两个平面之间的距离。解：平行平面的法向量相同，因此所求平面的法向量为，代入点得点法式方程：展开整理得所求平面方程为。两平行平面的距离根据公式，代入，得：因此两个平面的距离为。（3）求通过直线，且过点的平面方程。解：采用平面束法求解，设过直线L的所有平面（除第二个平面外）可以表示为：整理得，由于平面过点，代入坐标得：

展开计算得，解得，将代入平面束方程得：

整理得，验证可知该平面确实包含直线L且过给定点，因此为所求平面方程。（4）已知正三棱锥，底面位于平面上，点，点，底面中心为，求顶点的轨迹方程。解：正三棱锥的高垂直于底面所在平面，且过底面中心，因此顶点必然在过点且垂直于底面平面的直线上，因此的轨迹就是这条直线。底面平面的法向量为，因此直线的方向向量与法向量共线，即方向向量为，直线过点，因此直线的对称式方程为：此即为顶点的轨迹方程。（5）设直线过点，且与平面和平面都平行，试求：①直线的方程；②过直线且平行于轴的平面方程。解：①因为直线与两个平面都平行，所以直线的方向向量同时垂直于两个平面的法向量和，因此：直线过点，因此直线的对称式方程为。②将直线化为一般式，由得，由得，因此过直线的平面束方程为，整理得。所求平面平行于轴，因此平面的法向量垂直于轴的方向向量，法向量点积，解得，代入平面束方程得：同乘7整理得，即为所求平面方程。（6）已知三个不同平面，，，其中为常数，证明：①三个平面交于同一点的充要条件是；②若，则三个平面相交于同一条直线。证明：①三个平面交于一点等价于线性方程组有唯一解，根据线性方程组解的判定定理，方程组有唯一解的充要条件是系数矩阵的行列式不等于0，计算系数行列式：将第二行和第三行都加到第一行，可得：对右侧行列式做行变换，第二列减第一列，第三列减第一列得：因此，由于三个平面不同，因此不可能全相等，即，因此等价于，即三个平面交于一点的充要条件是，①得证。②若，则，因此系数矩阵的秩小于3，假设系数矩阵的秩小于2，那么所有二阶子式都为0，即，，，三个式子相加得，即，可得，代入得，无法构