第一次月考重难点常考题型综合训练卷（测试范围：第1、2章）（含答案）北师大版2026-2027学年九年级数学上册

第一次月考重难点常考题型综合训练卷（测试范围：第1、2章）北师大版2026—2027学年九年级数学上册(考试时间:120分钟试卷满分:120分)一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，填写在答题卡上对应题目的标号内.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.测试范围:北师大版九年级上册第一章、第二章,考试时间:120分钟试卷满分:120分一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（

）A． B．C． D．2．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（

）A． B． C．D．3．解一元二次方程，配方后正确的是（

）A． B．C． D．4．已知是关于的一元二次方程，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．35．如图，已知四边形是平行四边形，对角线与交于点，添加下列条件后仍不能判定为矩形的是（）A． B．C． D．6．顺次连接下列各图形的各边中点，构成的图形一定是正方形的是（

）A．平行四边形 B．矩形C．菱形D．对角线互相垂直的等腰梯形7．如图，在中，点E、D、F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（

）A．四边形是平行四边形B．如果，那么四边形是矩形C．如果AD平分，那么四边形是菱形D．如果且，那么四边形是正方形8．已知一元二次方程的两根分别是，，则一元二次方程的根为（

）A． B． C． D．9．如表是代数式的部分值的情况．1.11.21.31.4－0.590.842.293.76根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（

）A． B． C．D．10．如图，在中，，点是的中点，与交于点，且，下列说法正确的个数是（

）①的垂直平分线交于点；②；③当时，；④当为中点时，．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题3分，满分18分）11．若，是方程的两个实数根，则的值为___________．12．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支．13．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OB＝2，∠ACB＝30°，则AB的长度为____．14．关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值为________．15．如图，将一张长方形纸片沿折起，重叠部分为，若，则重叠部分的面积为_____．16．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为_____．三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）17．解方程：(1)；(2)．18．在中，，D是的中点，过点A作，且，连接．(1)证明：四边形是菱形；(2)若，求菱形的面积．19．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米．（1）饲养场另一边BC=____米（用含x的代数式表示）．（2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值．20．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率；(2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？21．已知关于x的方程．(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；(2)若方程的两个实数根为，求代数式的值．22．如图，已知菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧分别相交于M、N两点，直线MN交CD于点F，交对角线AC于点E，连接BE、DE．(1)求证：BE＝CE；(2)若∠ABC＝72°，求∠ABE的度数．23．阅读与思考下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务．形如是常数，的多项式叫做关于x的二次三项式．我们已经学习了利用因式分解求解一些一元二次方程．反过来，是否可以利用求一元二次方程的根的方法，把一些二次三项式分解因式呢？根据下面的代数推理，可以得出结果：设一元二次方程的两个实数根为，，计算：解：即这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成的形式，即通过解一元二次方程可以将一些二次三项式分解因式．任务：(1)已知p，q是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是______；(2)已知是多项式的一个因式，则______；(3)请用阅读内容中的方法，在实数范围内分解因式：注：实数范围内分解因式是指因式中的系数和常数项是实数24．我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．

(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是（填序号）；(2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、．①求证：四边形是“神奇四边形”；②如图2，点M、N、P、Q分别是、、、的中点．试判断四边形是不是“神奇四边形”；如图3，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长．参考答案题号12345678910答案DCCCDDDDBC11．4【详解】解：∵，是方程的两个实数根，∴，∵是方程的根，满足方程等式，∴，即，∴．12．813．2【详解】解：∵矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∴AC＝2BO＝4，又∵∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，∴．故答案为：．14．【详解】解：与是“同族二次方程”，，，，解得：，，故答案为：．15．.【详解】∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，由折叠的性质可知，∠BAC＝∠B′AC，∵DC∥AB，∴∠BAC＝∠ECA，∴∠EAC＝∠ECA，∴EA＝EC，在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，即42+（6﹣EC）2＝EC2，解得，EC＝∴重叠部分的面积＝××4＝，故答案为．16．【详解】解：如图，的下方作，在上截取，使得，连接，．四边形是菱形，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为，故答案为．17．【详解】（1）∵，或（2）则或18．(1)证明：∵，D是的中点，，∴，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴平行四边形是菱形．（2）解：∵平行四边形是菱形，∴，∵D是的中点，∴，∴．19．【详解】（1）由题意得：（48-3x）米．故答案是：（48-3x）；（2）由题意得：x（48-3x）=180解得x1=6，x2=1020．【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：二、三这两个月的月平均增长率为；（2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：当商品降价5元时，超市获利4250元．21．(1)证明：∵，∴方程总有实数根；（2）解：由根与系数的关系可得，，，∴．22．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，∠ACB＝∠ACD，在△ECB和△ECD中，，∴△ECB≌△ECD（SAS），∴BE＝DE，由作图可知，MN垂直平分线段CD，∴EC＝ED，∴BE＝CE．（2）解：∵BA＝BC，∠ABC＝72°，∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣72°）＝54°，∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB＝54°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝18°．23．【详解】（1）解：一元二次方程的两个实数根为，，；故答案为：；（2）设多项式的另一个因式为，，即，，，解得，；故答案为：；（3）解方程，，，，，．24．【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，正方形是“神奇四边形”，故答案为：；(2)①证明：四边