专题04 等腰三角形与等边三角形重难点题型专训（2个知识点+13大题型+自我检测）2026秋人教版8上数学

专题04等腰三角形与等边三角形重难点题型专训（2个知识点+15大题型+自我检测）目录第一部分・练基础题型题型一、等边对等角 1题型二、三线合一 2题型三、根据等角对等边证明等腰三角形 3题型四、根据等角对等边证明边相等 4题型五、根据等角对等边求边长 5题型六、含30度角的直角三角形 6题型七、格点图中画等腰三角形 7题型八、找出图中的等腰三角形 8题型九、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 9题型十、等腰三角形的性质和判定 10题型十一、等边三角形的性质 11题型十二、等边三角形的判定 12题型十三、等边三角形的判定和性质 13题型十四、大（小）边对大（小）角定理 14题型十五、最短路径问题 15第二部分·练提高题型题型一、根据等边三角形的性质求角度 1题型二、根据等边三角形的性质求长度 2题型三、等腰三角形旋转问题 3题型四、等腰三角形翻折问题 4第三部分・自我检测知识点01等腰三角形的性质与判定1.等腰三角形的性质与判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.2.等腰三角形的性质与判定性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD.在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”.由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”.【即时训练】1．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个三角形的三个内角度数之比为，则这个三角形是（

）A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形2．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，中，，，，，垂足为A，那么___．知识点02等边三角形的概念与性质1.等边三角形概念三条边都相等的三角形叫做等边三角形；也称为正三角形。注意：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.2.等边三角形的性质（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.（2）三个角都是60°【即时训练】1．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）在中，，若，则的长为（）A．10 B．5 C．12 D．62．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，是边上的中线．点在边上，且，则直线与的位置关系是_____，的长为_____．【基础题型一等边对等角】【例1】（26-27八年级上·福建福州·阶段练习）如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（

）A． B． C．平分 D．【例2】（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中，，对角线平分．若，，则的度数是___________．1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，已知屋顶的主桁架是等腰三角形，，，点是桁架边上的一点，为了加固屋檐，延长至点，使得，则的度数是（

）A． B． C． D．2．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，交于点M，N，作直线分别交，于点D，E，若，则的度数是________．3．（25-26八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若．(1)求证：．(2)求的长．【基础题型二三线合一】【例1】（2026·贵州铜仁·模拟预测）木工师傅将一个等腰直角三角尺和一个重锤如图放置（等腰直角三角尺的底边放在横梁上，重锤线从三角形的顶点竖直向下），就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（

）A．等腰三角形的“三线合一” B．垂线段最短C．角平分线的性质定理 D．线段垂直平分线的性质定理【例2】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，，是边的中点，若，则的度数为________．1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为（

）A．12 B．16 C．20 D．242．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，为的中线，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，若，则_____；3．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，过点作，且，连接．判断与的位置关系，并说明理由．【基础题型三根据等角对等边证明等腰三角形】【例1】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，点为的平分线和的平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（

）A． B． C． D．【例2】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）一个三角形三个内角的比是3：3：6，且最短边长为10厘米，则该三角形的面积是_____平方厘米．1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在△ABC中，，∠ABC和∠ACB的角平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（）A．3 B．4 C．5 D．62．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，△ABC中，AB＝7cm，BC＝5cm，AC＝6cm，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长＝________cm．3．（2026·山东滨州·一模）如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交延长线于点．(1)求证：为等腰三角形；(2)若，，求的度数．【基础题型四根据等角对等边证明边相等】【例1】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（

）A．10 B．11 C．15 D．16【例2】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为________．1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，将三角形沿方向平移至三角形，线段与相交于点，则下列说法中不一定正确的是（

）A． B．C． D．2．（25-26八年级下·上海闵行·阶段检测）如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，直线交的平分线于点，交的外角平分线于点，设的长为的长为．那么关于的函数关系式是______．3．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图所示，为等腰三角形，，，交于点，过作交延长线于，与交于，求证：，．【基础题型五根据等角对等边求边长】【例1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（

）A．3 B．2 C．1.5 D．1.2【例2】（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D．若，则__________．1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点A，B表示的刻度分别为，，则的长为（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，梯形中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，点恰好是的中点，若，则的长是_________．3．（2026·浙江丽水·二模）如图，小明在处看见前面山上有一个气象站，此时测得水平线与视线的夹角为，当他乘坐汽车笔直地向山的方向行驶到达处后，小明再看气象站，测得水平线与视线的夹角为，点离路面的高为，求这个气象站离地面的高度．【基础题型六含30度角的直角三角形】【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，交的延长线于点，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【例2】（25-26八年级上·河北·期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，，则的长度为______m．1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于D、E、F、H．若，则的长度是（）A．3 B．2 C． D．42．（2026·上海浦东新·二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______．3．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在池塘两岸有四个点、、、，且它们在同一直线上（、之间不能直接测量），点、在直线异侧，测得，，．(1)求证：；(2)若连接、，则与的数量关系是；(3)现测得，，求池塘两岸的宽度．【基础题型七格点图中画等腰三角形】【例1】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（

）个．A．4 B．5 C．6 D．7【例2】（24-25八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则______．1．（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，且使为等腰三角形，符合题意的点的个数为（

）．A．2 B．3 C．4 D．52．（24-25八年级上·全国·期中）在如图所示的方格中有两个格点A，B，请再选择一个格点（用C表示），连接A，B，C，使成为一个等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以连出_____个．3．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是正方形网格，每个小正方形的边长都为1．(1)在图中画出等腰，使点在格点上，且，；(2)仅用无刻度直尺，作出等腰直角边上的中线，并保留作图痕迹．【基础题型八找出图中的等腰三角形】【例1】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（

）个．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【例2】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画_____条．

1．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图中的点都在格点上，使（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是（

）

A． B． C． D．2．（25-26八年级上·广东韶关·期末）如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有_____个3．（25-26八年级上·全国·期末）在中，，平分，平分，过O点作，使，(1)图中又会有几个等腰三角形？(2)成立吗？【基础题型九求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】【例1】（25-26八年级上·四川广元·阶段练习）已知一条直线l和直线外的A、B两点，以A、B两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形．除此之外还能画出符合条件的（）个等腰三角形．A．2 B．3 C．4 D．5【例2】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，，若点M在y轴上．且是等腰三角形，则符合条件的点M有______个．1．（25-26八年级上·江西南昌·期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（

）个．A． B． C． D．2．（2026·江苏南京·一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是__________．3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P．【基础题型十等腰三角形的性质和判定】【例1】（26-27八年级上·山西长治·阶段检测）图1是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图2的方法裁剪5条宽度都为的长方形纸条，用这些长方形纸条为一幅正方形美术作品镶边（如图3，长方形纸条不重叠且全部用完），则的长为（

）A． B． C． D．【例2】（26-27八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，已知，，，，，则四边形的面积为_______．1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，展开后，折痕交于点，连结、．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将沿折叠，则点不一定落在上；③；④，上述结论中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，平分，于点，，，连接．，则______（用含有的代数式表示）．3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】如图1，在中，已知，，是的高，，，过点C的直线．动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒．【思考尝试】(1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：______________，______________．当t为多少时，的面积为？【深入探究】(2)①如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？②请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由．【基础题型十一等边三角形的性质】【例1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（

）A．1 B．3 C．6 D．12【例2】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为_________．1．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，直线，等边三角形的顶点，分别在直线，上，直线与的夹角为，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若，则的度数为______．3．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，为等边三角形，边长为．点P从点A出发沿向点B运动，速度为；点Q同时从点B出发沿向点C运动，速度为．设运动时间为t秒（）．(1)求证：；(2)设与交于点M，求的度数，并说明理由；(3)是否存在某一时刻t，使为等边三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【基础题型十二等边三角形的判定】【例1】（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（

）A． B． C． D．【例2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，点分别在边上，，是的平分线，．给出下面四个结论：①；②；③若，则是等边三角形；④若平分，则．上述结论中，正确结论的序号有______．1．（2026·广西玉林·模拟预测）如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（

）A． B． C． D．平分2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，点是内部一点，点关于的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结、，下列结论：①一定是等边三角形；②；③的周长等于线段的长；④．其中正确的结论是___________3．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，在中，，，，动点从点出发以的速度向点运动；动点同时从点出发以的速度向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接，设运动时间为秒．(1)当为何值时，为等边三角形？(2)当为何值时，为直角三角形？【基础题型十三等边三角形的判定和性质】【例1】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，是的角平分线，若，则的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例2】（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，用一根无弹性细钢绳将三根截面半径都为分米的无缝钢管紧紧捆在一起（忽略打结长度），则细钢绳的长度为________分米．（结果保留）1．（25-26八年级上·河南安阳·期末）下面是某个机械装置的连杆装置及简易图，杆可以绕转轴点在竖直平面内自由转动，在点正上方固定一小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端相连，将杆从水平位置缓慢向上拉起．已知，当杆与水平面夹角为时，测得，则此时点到水平线的距离为（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级下·福建三明·期末）将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点，对应的刻度分别为，，则的周长为________．3．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，是等边边上的点．(1)如图1，过点作，且交于点，求证：；(2)如图2，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过作于点．①求证：；②猜想写出，，之间的数量关系式，并加以证明；(3)如图3，（2）中其它条件不变，若点在延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）．【基础题型十四大（小）边对大（小）角定理】【例1】（2026·吉林长春·二模）如图，在中，根据图形折叠后的情况，不可以判定的是（

）A． B．C． D．【例2】（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）如图，已知等边三角形的边长是，且高，P为上一动点，D为的中点，则的最小值为___________．1．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，在方格纸上的图形中，以下说法正确的是（

）A． B．C． D．2．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______．3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）如图1，在中，已知．如图1，通过定理“在三角形中，___________”可以证明；如图1，若D是边的中点，连接，求证：．（2）如图2，在中，已知，且D是内的一点，．求证：．【基础题型十五最短路径问题】【例1】（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为，则牧马人所走最短的放牧总路程可能是（

）A． B． C． D．【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）．1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图是一个底面为正方形的长方体容器，顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从顶点A处出发沿侧面爬向点B处．现将顶点A，B所在的两个侧面展开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）如图所示，等腰三角形的底边上的高为8，，腰的垂直平分线交于点F，交于点E，M为线段上一动点，则周长的最小值为________．

3．（25-26八年级上·天津西青·阶段检测）如图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角．已知，牧民赶着羊从地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．（1）能否求出整个过程所走的最短路程？___________．（用“能”或“否”填空）；（2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由_________【提高题型一根据等边三角形的性质求角度】【例1】（2026·河南平顶山·一模）如图，直线，是等边三角形，点A，C分别在直线m，n上，交直线m于点D．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【例2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，若的最小值是，则的度数是_________．1．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，已知是等边三角形，是的边上的中线，在延长线上，且，(1)求的度数；(2)求证：．2．（25-26七年级下·云南文山·期末）如图1，是等边三角形，点、分别是边、所在直线上的动点（端点、除外），点从顶点A、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点．(1)试说明：的理由；(2)当点、分别在线段、上运动时，的度数是否发生改变？若改变，请说明理由；若不改变，求出它的度数；(3)如图2，当点、分别运动到、后，继续在射线、上运动，直线、交点为，则的度数是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，则求出它的度数．3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）问题发现：如图①，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连结．填空：（1）∠的度数为___________；（2）线段，之间的数量关系是___________．拓展探究：（3）如图②，当和均为等腰直角三角形，时，点，，在同一直线上，连结，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．【提高题型二根据等边三角形的性质求长度】【例1】（25-26八年级下·山东济宁·期末）数学实践课上，小丽先用3根木条搭成含角的直角三角形框架，如图，，．然后她依次添加支撑木条，并使得，垂足分别为，则支撑木条长度为（

）A． B． C． D．【例2】（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，中，为角平分线，若，，则的长度为________．1．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，、分别是等边三角形的两边、上的点，且，，相交于点，过点作，垂足为，若，求的长度．2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，等边三角形中，D、E分别为边上的点，，与交于点F，于点G，(1)求的度数；(2)若，求的长度．3．（25-26八年级上·四川成都·期中）【发现规律】（1）如图（1），与都是等边三角形，直线交于点F．直线交于点H．①求证：；②求的度数．【应用结论】（2）如图（2），在平面直角坐标系中，点O的坐标为，点A的坐标为，B为y轴上一动点，连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．求线段长度的最小值．【提高题型三等腰三角形旋转问题】【例1】（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在等腰中，，D为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点处，绕点任意旋转三角板，使两直角边分别交，于点，（点与点不重合），连接，下列结论：①与有可能全等，②，③四边形的面积等于的面积的，④的周长等于的周长的．其中正确的结论是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【例2】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图中，，D是斜边的中点，将绕点A按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，，则的长为___________．1．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，中，，为的中点，绕点旋转，分别与边交于两点．(1)求证：；(2)求证：；(3)若的长为，求四边形的面积．2．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）综合与实践数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动，已知点E，F不可能同时落在直线和之间．探究：（1）如图1，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，直接写出的度数；类比：（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与EF所夹锐角为，求的度数；迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，直接写出射线与所夹锐角的度数．3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）【感知】如图①，在平行四边形纸片中，，，对角线，则________；【操作一】如图②，将图①中的平行四边形纸片沿剪开得到两个全等的三角形，将绕点D逆时针旋转得到．当点在的延长线上时，的长为________；【操作二】在图②的旋转过程中，连接，如图③，当点在的延长线上时，求证：四边形是矩形；【应用】在图②的旋转过程中（旋转角小于），连接，，当时，直接写出的长．【提高题型四等腰三角形翻折问题】【例1】（2026·江苏扬州·二模）如图，在中，，D是边上的点，将沿直线折叠，使点B的对应点E恰好落在边上，若，则的大小是（

）A． B． C． D．【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知中，．如图，将进行折叠，使点A落在线段上（包括点和点C）设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，________．1．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，在长方形纸片的一组对边上分别取点A和点B，将该纸片沿折叠，点E、F的对应点分别为点、、与的交点为C，请判断的形状，并说明理由．2．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）数学课上，张老师根据习题改编了一个题目：如图1，是的高，，若，求的长．小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图2，则点C刚好落在边上的点E处．……(1)结合小明同学的想法，求的长度；(2)改编此题，如图3，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明．3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图(1)动手操作：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为______．(2)观察发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．1．（25-26七年级下·山西运城·期末）在中，为边上的高，平分与相交于点，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个3．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，是的切线，切点为点H，连接、分别与圆相交于点D、E，点C为圆上一点且，若的半径长为2，且，则的长为（

）A．6 B． C． D．4．（25-26八年级上·四川资阳·期末）已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（

）．A． B．C． D．5．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地．甲：，路程为．乙：，路程为．丙：，路程为．下列关于的关系正确的是（

）A． B．C． D．6．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为______．7．（2026·北京顺义·二模）如图，在中，，分别是，的平分线，过点D作，分别交，于点E，F．若，，则的长为______．

8．（25-26八年级上·重庆长寿·期中）如图，在等边中，，点P与点Q分别从点B，C同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设点P与点Q运动的时间为ts．当时，点P与点Q运动______s后，可得到．9．（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图1，某温室屋顶结构外框为，立柱垂直平分横梁，，斜梁．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点E在的延长线上），立柱，如图2所示，若斜梁增加部分的长为，则立柱相比增高了_______．10．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，园区入口A到河的距离AE为100米，园区出口B到河的距离BF为200米，河流经过园区的长度EF为400米，现策划要在河上建一条直径CD为100米的半圆形观赏步道（如图：C在D左侧），游览路线定为A﹣C﹣D﹣B，问步道入口C应建在距离E_____米处，才能使游览路线最短．11．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，．求证：．12．（25-26八年级上·吉林延边·期末）如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．（1）求的度数；（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．13．（24-25八年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、P、Q均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法．(1)在图①中找一格点C，连结，使得是为以为腰的等腰三角形；(2)在图②的线段上找一点C，连结，使得是为以为底的等腰三角形；(3)在图③的线段上找一点C，连结，使得是为以为底的等腰三角形（保留作图痕迹）．14．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形．(1)如图①，若，可作的平分线交于点，则是等腰三角形；(2)如图②，若，可延长至点D，使，连接，则是等腰三角形；(3)如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作，交的延长线于点D，则是等腰三角形，请说明理由；(4)【解决问题】如图④，在中，，求证：．15．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流．(1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）．(2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）．专题04等腰三角形与等边三角形重难点题型专训（2个知识点+15大题型+自我检测）目录第一部分・练基础题型题型一、等边对等角 1题型二、三线合一 2题型三、根据等角对等边证明等腰三角形 3题型四、根据等角对等边证明边相等 4题型五、根据等角对等边求边长 5题型六、含30度角的直角三角形 6题型七、格点图中画等腰三角形 7题型八、找出图中的等腰三角形 8题型九、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 9题型十、等腰三角形的性质和判定 10题型十一、等边三角形的性质 11题型十二、等边三角形的判定 12题型十三、等边三角形的判定和性质 13题型十四、大（小）边对大（小）角定理 14题型十五、最短路径问题 15第二部分·练提高题型题型一、根据等边三角形的性质求角度 1题型二、根据等边三角形的性质求长度 2题型三、等腰三角形旋转问题 3题型四、等腰三角形翻折问题 4第三部分・自我检测知识点01等腰三角形的性质与判定1.等腰三角形的性质与判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.2.等腰三角形的性质与判定性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD.在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”.由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”.【即时训练】1．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个三角形的三个内角度数之比为，则这个三角形是（

）A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理以及对应的比例关系求得对应三个内角的度数是解决本题的关键．先根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比分别求出三个内角的度数，然后再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状即可．【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为，∴三个内角分别是，∴该三角形是等腰直角三角形．故选：B．2．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，中，，，，，垂足为A，那么___．【答案】3【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、含角的直角三角形性质，熟练运用角所对的直角边等于斜边的一半转化线段是解题的关键．根据等腰三角形的性质得出，根据含30度角的直角三角形性质得出，证明，得出，根据，求出结果即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．故答案为：3．知识点02等边三角形的概念与性质1.等边三角形概念三条边都相等的三角形叫做等边三角形；也称为正三角形。注意：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.2.等边三角形的性质（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.（2）三个角都是60°【即时训练】1．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）在中，，若，则的长为（）A．10 B．5 C．12 D．6【答案】A【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质；根据可得是等边三角形，进而可得答案.【详解】解：∵，∴是等边三角形，∵，∴．故选：A.2．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，是边上的中线．点在边上，且，则直线与的位置关系是_____，的长为_____．【答案】【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三线合一，得到，角的和差关系求出，推出，为等边三角形，进而得到即可．【详解】解：∵，∴为等边三角形，∴，∵是边上的中线，∴，，∴，∴，∴，∴；∵，，∴，∴为等边三角形，∴；故答案为：，．【基础题型一等边对等角】【例1】（26-27八年级上·福建福州·阶段练习）如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（

）A． B． C．平分 D．【答案】D【分析】根据等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的性质逐一判断．【详解】解：，，故A正确；，是的中点，，平分，故B、C正确；与的数量关系不确定，故D不正确，符合题意．【例2】（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中，，对角线平分．若，，则的度数是___________．【答案】

/度【分析】在上截取，连接，证明，得到，；求出的度数，证明，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得答案．【详解】解：如图所示，在上截取，连接，平分，，在和中，AD=AD，，；，；，，∴．1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，已知屋顶的主桁架是等腰三角形，，，点是桁架边上的一点，为了加固屋檐，延长至点，使得，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等边对等角可得、，再利用三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，解得：．2．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，交于点M，N，作直线分别交，于点D，E，若，则的度数是________．【答案】/72度【分析】由作图可得，垂直平分，则，由等边对等角可得，结合三角形外角的定义及性质得出，从而得出，再求出，即可得出结果．【详解】解：由作图可得，垂直平分，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．3．（25-26八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若．(1)求证：．(2)求的长．【答案】(1)证明：，，，的垂直平分线是，，，，；(2)的长为．【分析】（1）根据等腰三角形的两底角相等，可求得，再根据线段垂直平分线的性质可得，从而，即可求得答案；（2）根据直角三角形的性质，可得，结合，，可得，解方程即得答案．【详解】（1）略（2）解：，，，，，即，，，，．【基础题型二三线合一】【例1】（2026·贵州铜仁·模拟预测）木工师傅将一个等腰直角三角尺和一个重锤如图放置（等腰直角三角尺的底边放在横梁上，重锤线从三角形的顶点竖直向下），就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（

）A．等腰三角形的“三线合一” B．垂线段最短C．角平分线的性质定理 D．线段垂直平分线的性质定理【答案】A【详解】解：木工师傅将一个等腰直角三角尺和一个重锤如图放置（等腰直角三角尺的底边放在横梁上，重锤线从三角形的顶点竖直向下），就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是等腰三角形的“三线合一”．【例2】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，，是边的中点，若，则的度数为________．【答案】【分析】由等腰三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理计算即可得出结果．【详解】解：∵屋顶钢架外框是等腰三角形，，是边的中点，∴，，∴．1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为（

）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题等腰三角形三线合一的性质．连接，，先求出，的长．由于是等腰三角形，点H是边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，由是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接，，如图所示：∵，点为中点，∴，∴的面积是30，∴，∴，∵是线段的垂直平分线，∴点B关于直线的对称点为点A，∴，∴，∴的长为的最小值，∴的最小值为12．故选：A．2．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，为的中线，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，若，则_____；【答案】【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是关键．根据等腰三角形的性质可得，．根据题意可得，则，结合三角形的内角和定理进行计算即可．【详解】解：∵，又∵为的中线，∴平分，∴，由题意可得，，∴．故答案为：．3．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，过点作，且，连接．判断与的位置关系，并说明理由．【答案】与的位置关系：，理由如下：，，．在和中，，，．∵，．【分析】由得，，由此依据“”判定和全等得，然后再根据等腰三角形的性质可得．【详解】略【基础题型三根据等角对等边证明等腰三角形】【例1】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，点为的平分线和的平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定；连接、，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长．【详解】解：如图，连接、，∵点为角平分线交点，∴和分别平分和，∴，∵将平移，使其顶点与点重合，∴，∴，∴，∴，∴．即图中阴影部分的周长为．故选：D．【例2】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）一个三角形三个内角的比是3：3：6，且最短边长为10厘米，则该三角形的面积是_____平方厘米．【答案】50【分析】首先根据题意和三角形的内角和确定三角形的形状，然后根据确定的形状求解面积即可．【详解】解：∵，三角形的内角和为180°，∴，，该三角形的三个内角分别为45°，45°，90°，∴该三角形为等腰直角三角形，∵该三角形最短边长为10厘米，∴等腰三角形的腰长为10厘米，∴该三角形面积为：平方厘米，故答案为：50．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，理解并熟记三角形的内角和是解题关键．1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在△ABC中，，∠ABC和∠ACB的角平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG=EB，DF=DC即可求得结果．【详解】解：∵，∴∠DFB=∠FBC，∠EGC=∠GCB，∵FB是∠ABC的平分线，CG是∠ACB的平分线，∴∠DBF=∠FBC，∠ECG=∠GCB，∴∠DFB=∠DBF，∠ECG=∠EGC，∴BD=DF，CE=GE，∵FG=2，ED=6，∴DB+EC=DF+GE=ED-FG=6-2=4．故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，△ABC中，AB＝7cm，BC＝5cm，AC＝6cm，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长＝________cm．【答案】13【分析】由角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，而，根据平行线的性质得∠2＝∠5，∠6＝∠4，则∠1＝∠5，∠6＝∠3，再等腰三角形的判定与性质得到DO＝DB，EO＝EC，然后利用等线段代换即可计算出△ADE的周长．【详解】解：如图，∵OB、OC分别平分∠ABC与∠ACB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，而，∴∠2＝∠5，∠6＝∠4，∴∠1＝∠5，∠6＝∠3，∴DO＝DB，EO＝EC，∴△ADE的周长＝AD＋DO＋AE＋EO＝AD＋DB＋AE＋EC＝AB＋AC＝7＋6＝13（cm）．故答案为13．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了平行线的性质和角平分线的定义．3．（2026·山东滨州·一模）如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交延长线于点．(1)求证：为等腰三角形；(2)若，，求的度数．【答案】(1)证明：，，，平分，，，∴，为等腰三角形；(2)【分析】（1）利用平行线性质得到角相等，结合角平分线定义推导出，再根据等角对等边证明为等腰三角形；（2）先由角平分线定义求出，再通过平行线性质得到，接着利用等腰三角形性质求出，最后根据三角形内角和定理计算出．【详解】（1）略（2）解：∵平分，，∵，∵，∴，在中，，∴，在中，．【基础题型四根据等角对等边证明边相等】【例1】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（

）A．10 B．11 C．15 D．16【答案】B【分析】先根据三角形的外角的性质得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据的周长得出答案．【详解】解：∵是的外角，∴．∵，∴，即，∴．∵，∴的周长为．【例2】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为________．【答案】【分析】延长到N，使，连接，延长交延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论．【详解】解：如图，延长到N，使，连接，延长交延长线于E，∵M是的中点，∴，，∴，∴，，又∵为的角平分线，∴，∵，∴，∴，，∴，∴．1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，将三角形沿方向平移至三角形，线段与相交于点，则下列说法中不一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】平移前后对应边平行且相等，根据平移的性质逐项判断即可．【详解】解：由平移得，，，故A选项说法一定正确；由平移得，故B选项说法一定正确；由平移得，故C选项说法一定正确；由平移得，，，，不一定等于，不一定等于，不一定正确．故D选项说法不一定正确．2．（25-26八年级下·上海闵行·阶段检测）如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，直线交的平分线于点，交的外角平分线于点，设的长为的长为．那么关于的函数关系式是______．【答案】【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定，由平行线的性质和角平分线的定义得出，得出，即可得出结论．【详解】解：∵，∴，又∵平分，平分，∴，∴，∴，∴∵的长为的长为，∴，故答案为：．3．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图所示，为等腰三角形，，，交于点，过作交延长线于，与交于，求证：，．【答案】证明：过点C作，交的延长线于点P．∵为等腰三角形，，∴，．∵，∴，，∴．∵，∴，又∵，∴．在和中，，∴，∴，．∵，，∴．在和中，，∴，∴．∵，设与交于点H，则，在中，，∴．在中，，∴，∴．在和中，，∴，∴．∵，（对顶角相等），在中，．又∵，∴，∴（等角对等边）．∵，，∴．∵，，∴，∴．【分析】首先作辅助线构造全等三角形，过点C作，交的延长线于点P，通过证明，从而得到；然后利用角度关系证明，得到，同时证明为等腰三角形，得到；将拆解为,转化为，拆解为，利用上述结论进行代换，最终证明结论．【详解】略【基础题型五根据等角对等边求边长】【例1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（

）A．3 B．2 C．1.5 D．1.2【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，然后可得，进而问题可求解．【详解】解：∵，且，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【例2】（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D．若，则__________．【答案】15【分析】由直角三角形两锐角互余求出，由作图可得平分，则，从而根据含角的直角三角形的性质求出，根据“等角对等边”求出，从而根据线段的和差即可求解．【详解】解：∵，，∴，由作图可得平分，∴，∴在中，，∵，∴，∴．1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点A，B表示的刻度分别为，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线的性质求出，得到，然后利用含30度角直角三角形的性质求出，进而求解即可．【详解】解：如图，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．2．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，梯形中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，点恰好是的中点，若，则的长是_________．【答案】【分析】延长与的延长线交于点，构造三角形全等，得到对应边相等，再利用等角对等边求解即可．【详解】解：根据题意可知为平分线，∴，延长与的延长线交于点，如图，∵，∴，∴，∴，∵点是的中点，∴，∵，在和中，，∴，∵，，，∴，∴．3．（2026·浙江丽水·二模）如图，小明在处看见前面山上有一个气象站，此时测得水平线与视线的夹角为，当他乘坐汽车笔直地向山的方向行驶到达处后，小明再看气象站，测得水平线与视线的夹角为，点离路面的高为，求这个气象站离地面的高度．【答案】【分析】先作辅助线构造直角三角形与矩形，利用矩形性质得到观测点高度与相等．再通过三角形外角性质求出，结合判定为等腰三角形，得到然后在中，依据含角的直角三角形性质求出的长度．最后将与观测点离地面的高度相加，得到气象站离地面的总高度．【详解】解：过点作地面于点过点作地面于点过点作地面于点，交直线于点由题意可得，∵过点作地面于点过点作地面于点过点作地面于点，∴，四边形和四边形均为矩形．是的外角．，．．．．．．．．在中．．．．答：这个气象站离地面的高度为【基础题型六含30度角的直角三角形】【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，交的延长线于点，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据得到，从而得到，根据含度角的直角三角形的性质，即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴．【例2】（25-26八年级上·河北·期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，，则的长度为______m．【答案】8【分析】利用等边对等角得出，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可．【详解】解：，，，，在中，，，．1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于D、E、F、H．若，则的长度是（）A．3 B．2 C． D．4【答案】A【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，故可得出，即，由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．【详解】解：如图所示，连接，，中，，，．是的垂直平分线，，，，是的垂直平分线，，∴，∵，∴，，即．在中，，，，∴．2．（2026·上海浦东新·二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______．【答案】68【分析】过点作于点，过点作于点，求出的长即可．【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，∵，，∴，，∵双翼展开时端点、的间距为，∴当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为．3．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在池塘两岸有四个点、、、，且它们在同一直线上（、之间不能直接测量），点、在直线异侧，测得，，．(1)求证：；(2)若连接、，则与的数量关系是；(3)现测得，，求池塘两岸的宽度．【答案】(1)证明：，，在和中，，；(2)；(3)．【分析】（1）先由平行线性质得到，再结合题中所给条件通过“”证明全等；（2）根据证明，即可得到与的数量关系；（3）根据得到，根据30度角的性质作答即可．【详解】（1）略；（2）解：如图，∵，∴，，，∴，，∴∴；（3）解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴．【基础题型七格点图中画等腰三角形】【例1】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（

）个．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据等腰三角形的定义结合网格的特点求解即可．【详解】解：如图所示，当点C在或或或的位置上时，，当点C在或位置上时，，∴满足条件的格点C的个数有6个．【例2】（24-25八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则______．【答案】45°【解析】略1．（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，且使为等腰三角形，符合题意的点的个数为（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】以O为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有2个交点，再以A为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有1个交点，然后再作AO的垂直平分线可得与x轴有1个交点．【详解】解：如图所示：点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数共4个，故选：C．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．2．（24-25八年级上·全国·期中）在如图所示的方格中有两个格点A，B，请再选择一个格点（用C表示），连接A，B，C，使成为一个等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以连出_____个．【答案】4【分析】该题主要考查了等腰三角形的定义，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，注意不要漏解．根据等腰三角形的定义解答即可；【详解】解：如图所示：共4个点，故答案为：4．3．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是正方形网格，每个小正方形的边长都为1．(1)在图中画出等腰，使点在格点上，且，；(2)仅用无刻度直尺，作出等腰直角边上的中线，并保留作图痕迹．【答案】(1)如图，即为所求作等腰：(2)如图，即为所求中线：【分析】（1）要使，，就是把绕点旋转．把网格上“横a竖b”的线段转变成“横b竖a”，即应为“横3竖1”．（2）①取格点（正上方1格）和格点(正下方1格的点)；②用直尺连，设交于；∵且，∴四边形是平行四边形，又∵平行四边形对角线与互相平分，∴点就是中点．③连接，即为所求中线．【详解】（1）略（2）略【基础题型八找出图中的等腰三角形】【例1】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（

）个．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键；在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可．【详解】解：当车长为底时，，是等腰三角形是；当车长为腰时，，，，，，，，是等腰三角形，故得到的等腰三角形共有5个．故选：D．【例2】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画_____条．

【答案】4【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．

∴这样的直线最多可画4条．故答案为：4．1．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图中的点都在格点上，使（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，等腰三角形的定义，勾股定理，根据网格的特点和勾股定理可得都是等腰三角形，而不是等腰三角形，再根据轴对称图形的定义即可得到答案．【详解】解：根据网格的特点和勾股定理可得都是等腰三角形，即这三个三角形都是轴对称图形，不是轴对称图形，故选：B．2．（25-26八年级上·广东韶关·期末）如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有_____个【答案】3【分析】本题考查等腰三角形的判定、三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先根据角平分线的定义和三角形的内角和定理得到，，然后根据等腰三角形的判定可得结论．【详解】解：∵是的角平分线，，∴，∴，∵，∴，，即，，则、、都是等腰三角形，有3个，故答案为：3．3．（25-26八年级上·全国·期末）在中，，平分，平分，过O点作，使，(1)图中又会有几个等腰三角形？(2)成立吗？【答案】(1)图中有2个等腰三角形(2)解：成立，理由如下：∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴．【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此和是等腰三角形；（2）由（1）得到，，根据线段的和差即可得到．【详解】（1）解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴和是等腰三角形．综上所述，图中有2个等腰三角形．（2）略【基础题型九求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】【例1】（25-26八年级上·四川广元·阶段练习）已知一条直线l和直线外的A、B两点，以A、B两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形．除此之外还能画出符合条件的（）个等腰三角形．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的判定．以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得．【详解】解：如图，则除此之外还能画出符合条件的点共有4个，故选：C．【例2】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，，若点M在y轴上．且是等腰三角形，则符合条件的点M有______个．【答案】4【分析】本题考查在坐标系中构造等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质与两点间的距离的公式是解题的关键．分、、三种情况讨论即可．【详解】解：如图：当时，在y轴上有1点满足条件的点M；当时，在y轴上有1点满足条件的点M；当时，在y轴上有2点满足条件的点M；符合条件的有4个点M；故答案为4．1．（25-26八年级上·江西南昌·期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（

）个．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答．【详解】解：如图所示：分三种情况：①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，，综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键．2．（2026·江苏南京·一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是__________．【答案】a＞8或a=4【分析】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形，另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个．【详解】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形，过点M作MH⊥OB于H，当MH＞MN，即MH＞4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，当MH=4时，∵∠AOB=30°，∴OM=2MH=8，∴当a＞8时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，此时a=4，故答案为：a＞8或a=4【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会特殊位置解决问题．3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P．【答案】如图，共有5个点P，使得△AEP为等腰三角形．【分析】根据等腰三角形的定义找到符合题意的点．【详解】解：AE=P1E，AP2=AE，AP3=EP3，AE=EP4，AP5=EP5，则共有5个点P，使得△AEP为等腰三角形．【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．【基础题型十等腰三角形的性质和判定】【例1】（26-27八年级上·山西长治·阶段检测）图1是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图2的方法裁剪5条宽度都为的长方形纸条，用这些长方形纸条为一幅正方形美术作品镶边（如图3，长方形纸条不重叠且全部用完），则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据等腰直角三角形的判定和性质得出都是等腰直角三角形，再求出这5个长方形的面积，然后根据面积相等列出方程，求出解即可．【详解】解：如图所示，根据题意，得，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，同理可得，则这5个长方形的面积为，，．设，根据题意，得，解得，所以的长为．【例2】（26-27八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，已知，，，，，则四边形的面积为_______．【答案】27【分析】作于点，交于点，作于点，分别证明，，求出的长，进而求出的长，分割法求出四边形的面积即可.【详解】解：作于点，交于点，作于点，如图，则，，，∵，，∴为等腰直角三角形，，∴，又∵，∴，∴；∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴；∴，∴，∵，∴四边形的面积.1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，展开后，折痕交于点，连结、．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将沿折叠，则点不一定落在上；③；④，上述结论中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，利用全等三角形的判定和性质依次判断可求解．【详解】解：，，，，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，在和中，，，图中共有4对全等三角形，故①正确；，，，，将沿折叠，则点一定落在上，故②错误；，，，，故③正确；连接，，，，，，，，故④正确．2．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，平分，于点，，，连接．，则______（用含有的代数式表示）．【答案】【分析】取中点F，连接，因为，所以，结合平分，可证与全等．得，根据线段垂直平分线性质得，由等腰三角形性质得，由三角形外角性质得，由，得，由三角形外角性质和等腰三角形性质得，由三角形外角性质得．【详解】解：取中点F，连接，则，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．∵于点，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴．3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】如图1，在中，已知，，是的高，，，过点C的直线．动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒．【思考尝试】(1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：______________，______________．当t为多少时，的面积为？【深入探究】(2)①如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？②请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由．【答案】(1)；；或(2)①，，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；∴，∴；②，理由如下，如图，，，，，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，，，．【分析】（1）根据运动速度和已知条件表示出和，分两种情况：当点D在线段上时，当点D在CB延长线上时，根据三角形面积公式列出关于t的方程，解方程即可；（2）①根据“”证明三角形全等即可；根据全等三角形的性质得出，再根据线段间的数量关系进行求解即可；②证明，得出，根据线段间数量关系，即可得出答案．【详解】（1）解：由题意得，，，当点D在线段上时，，，，，解得：；当点D在延长线上时，，，∴，解得：；综上，当t为或时，的面积为；（2）解：①略②略【基础题型十一等边三角形的性质】【例1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（

）A．1 B．3 C．6 D．12【答案】B【分析】证明以及所有的小等边三角形全等，进而解题．【详解】解：如图，由题意知，，，，，∴，∴，∴，同理可得，，∴．【例2】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为_________．【答案】【分析】求解，在下方以为边作等边，连接，过作于，证明，得出，说明点Q在上运动，根据垂线段最短，得出当重合时，最小，求出其最小值即可．【详解】解：