2026年九年级数学第五十七章知识点巩固习题

2026年九年级数学第五十七章知识点巩固习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在五十七章《圆》的几何性质中，关于圆的切线性质，下列说法正确的是（）A.圆的切线垂直于经过切点的半径B.圆的切线与经过切点的直径垂直C.圆的切线与圆心到切点的连线平行D.圆的切线与圆心到切点的连线成45°角参考答案：A解析：根据圆的切线性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径。选项B错误，因为切线与经过切点的直径不一定垂直；选项C错误，切线与圆心到切点的连线垂直；选项D错误，切线与圆心到切点的连线垂直，角度为90°，而非45°。2.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠APB=60°，则⊙O的半径OA与切线PA所成的锐角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°参考答案：A解析：连接OA、OB，由于PA、PB是切线，∠OAP=∠OBP=90°。在四边形OAPB中，∠APB=60°，∠OAP+∠APB+∠OBP=360°，即90°+60°+90°=360°，故∠AOB=120°。在△OAP中，∠OAP=90°，∠AOB=120°，∠APB=60°，∠PAO=30°，因此OA与PA所成的锐角为30°。3.在五十七章《圆》的弧长计算中，已知扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则扇形的弧长为（）A.6πcmB.8πcmC.10πcmD.12πcm参考答案：B解析：扇形的弧长公式为l=（n/360）×2πr，其中n为圆心角度数，r为半径。代入数据得l=（120/360）×2π×6=8πcm。4.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB⊥CD，垂足为E，且CE=2，DE=4，则⊙O的半径为（）A.3B.4C.5D.6参考答案：C解析：连接OC、OD，由于AB⊥CD，CE=2，DE=4，CD=CE+DE=6。在⊙O中，OC=OD=半径r，∠OCE=∠ODC=90°。根据勾股定理，OC²=OE²+CE²，OD²=OE²+DE²，且OE=OE，故r²=OE²+4，r²=OE²+16，解得OE=2，r=√(OE²+CE²)=√(4+4)=√8=2√2≈5。5.在五十七章《圆》的切线长定理中，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若PA=8cm，∠APB=120°，则⊙O的半径为（）A.4√3cmB.4√2cmC.8cmD.8√3cm参考答案：A解析：连接OA、OB，PA=PB=8cm，∠APB=120°，∠OAP=∠OBP=90°。在△OAP中，∠OAP=90°，∠APB=120°，∠AOP=30°，OA=OP×cos30°=8×√3/2=4√3cm。6.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠APB=80°，则∠AOB为（）A.40°B.80°C.100°D.140°参考答案：D解析：连接OA、OB，PA、PB是切线，∠OAP=∠OBP=90°。在四边形OAPB中，∠APB=80°，∠OAP+∠APB+∠OBP=360°，即90°+80°+90°=360°，故∠AOB=360°-260°=100°。7.在五十七章《圆》的圆心角与弧的关系中，若圆的半径为5cm，圆心角为72°，则对应的弧长为（）A.2πcmB.3πcmC.4πcmD.5πcm参考答案：B解析：弧长公式为l=（n/360）×2πr，代入数据得l=（72/360）×2π×5=3πcm。8.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB⊥CD，垂足为E，且CE=3，DE=6，则⊙O的半径为（）A.3√2B.4√2C.5√2D.6√2参考答案：C解析：连接OC、OD，AB⊥CD，CE=3，DE=6，CD=9。在⊙O中，OC=OD=r，∠OCE=∠ODC=90°。根据勾股定理，r²=OE²+CE²，r²=OE²+DE²，且OE=OE，故r²=OE²+9，r²=OE²+36，解得OE=3√2，r=√(OE²+CE²)=√(18+9)=√27=3√3≈5√2。9.在五十七章《圆》的切线长定理中，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若PA=10cm，∠APB=60°，则⊙O的半径为（）A.5√3cmB.5√2cmC.10cmD.10√3cm参考答案：A解析：连接OA、OB，PA=PB=10cm，∠APB=60°，∠OAP=∠OBP=90°。在△OAP中，∠OAP=90°，∠APB=60°，∠AOP=30°，OA=OP×cos30°=10×√3/2=5√3cm。10.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠APB=100°，则∠AOB为（）A.50°B.100°C.150°D.200°参考答案：C解析：连接OA、OB，PA、PB是切线，∠OAP=∠OBP=90°。在四边形OAPB中，∠APB=100°，∠OAP+∠APB+∠OBP=360°，即90°+100°+90°=360°，故∠AOB=360°-280°=80°。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若圆的半径为4cm，圆心角为45°，则对应的弧长为______cm。参考答案：π解析：弧长公式为l=（n/360）×2πr，代入数据得l=（45/360）×2π×4=πcm。2.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB⊥CD，垂足为E，且CE=5，DE=10，则⊙O的半径为______。参考答案：5√5解析：连接OC、OD，AB⊥CD，CE=5，DE=10，CD=15。在⊙O中，OC=OD=r，∠OCE=∠ODC=90°。根据勾股定理，r²=OE²+CE²，r²=OE²+DE²，且OE=OE，故r²=OE²+25，r²=OE²+100，解得OE=5√3，r=√(OE²+CE²)=√(75+25)=√100=5√5。3.在五十七章《圆》的切线长定理中，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若PA=12cm，∠APB=90°，则⊙O的半径为______cm。参考答案：6√2解析：连接OA、OB，PA=PB=12cm，∠APB=90°，∠OAP=∠OBP=90°。在△OAP中，∠OAP=90°，∠APB=90°，∠AOP=45°，OA=OP×cos45°=12×√2/2=6√2cm。4.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠APB=110°，则∠AOB为______°。参考答案：130°解析：连接OA、OB，PA、PB是切线，∠OAP=∠OBP=90°。在四边形OAPB中，∠APB=110°，∠OAP+∠APB+∠OBP=360°，即90°+110°+90°=360°，故∠AOB=360°-290°=70°。5.在五十七章《圆》的弧长计算中，若扇形的圆心角为150°，半径为9cm，则扇形的弧长为______cm。参考答案：15π解析：弧长公式为l=（n/360）×2πr，代入数据得l=（150/360）×2π×9=15πcm。6.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB⊥CD，垂足为E，且CE=7，DE=3，则⊙O的半径为______。参考答案：√65解析：连接OC、OD，AB⊥CD，CE=7，DE=3，CD=10。在⊙O中，OC=OD=r，∠OCE=∠ODC=90°。根据勾股定理，r²=OE²+CE²，r²=OE²+DE²，且OE=OE，故r²=OE²+49，r²=OE²+9，解得OE=4，r=√(OE²+CE²)=√(16+49)=√65。7.在五十七章《圆》的切线长定理中，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若PA=15cm，∠APB=120°，则⊙O的半径为______cm。参考答案：7.5√3解析：连接OA、OB，PA=PB=15cm，∠APB=120°，∠OAP=∠OBP=90°。在△OAP中，∠OAP=90°，∠APB=120°，∠AOP=30°，OA=OP×cos30°=15×√3/2=7.5√3cm。8.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠APB=130°，则∠AOB为______°。参考答案：140°解析：连接OA、OB，PA、PB是切线，∠OAP=∠OBP=90°。在四边形OAPB中，∠APB=130°，∠OAP+∠APB+∠OBP=360°，即90°+130°+90°=360°，故∠AOB=360°-310°=50°。9.在五十七章《圆》的弧长计算中，若扇形的圆心角为90°，半径为10cm，则扇形的弧长为______cm。参考答案：5π解析：弧长公式为l=（n/360）×2πr，代入数据得l=（90/360）×2π×10=5πcm。10.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB⊥CD，垂足为E，且CE=6，DE=4，则⊙O的半径为______。参考答案：5解析：连接OC、OD，AB⊥CD，CE=6，DE=4，CD=10。在⊙O中，OC=OD=r，∠OCE=∠ODC=90°。根据勾股定理，r²=OE²+CE²，r²=OE²+DE²，且OE=OE，故r²=OE²+36，r²=OE²+16，解得OE=2，r=√(OE²+CE²)=√(4+36)=√40=5。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.圆的切线垂直于经过切点的半径。（）参考答案：正确解析：根据圆的切线性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径。2.圆的切线长定理适用于任意三角形。（）参考答案：错误解析：圆的切线长定理适用于切线相交于圆外的情况，不适用于任意三角形。3.圆心角为120°的扇形，若半径为6cm，则弧长为12πcm。（）参考答案：错误解析：弧长公式为l=（n/360）×2πr，代入数据得l=（120/360）×2π×6=4πcm。4.若AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD，则CE=DE。（）参考答案：正确解析：由于AB⊥CD，CE和DE是垂线段，根据垂径定理，CE=DE。5.圆的切线与圆心到切点的连线成90°角。（）参考答案：正确解析：根据圆的切线性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径，即与圆心到切点的连线成90°角。6.圆心角为90°的扇形，若半径为10cm，则弧长为10πcm。（）参考答案：错误解析：弧长公式为l=（n/360）×2πr，代入数据得l=（90/360）×2π×10=5πcm。7.圆的切线长定理适用于切线相交于圆内的情况。（）参考答案：错误解析：圆的切线长定理适用于切线相交于圆外的情况，不适用于切线相交于圆内的情况。8.若AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD，则∠ACD=45°。（）参考答案：正确解析：由于AB⊥CD，∠ACD是直角三角形的一条边，根据直角三角形性质，∠ACD=45°。9.圆的切线长定理中，若PA=PB，则∠APB=90°。（）参考答案：错误解析：圆的切线长定理中，若PA=PB，则∠APB不一定为90°，只有在切线相交于圆外且∠APB为直角时才成立。10.圆心角为60°的扇形，若半径为8cm，则弧长为4πcm。（）参考答案：错误解析：弧长公式为l=（n/360）×2πr，代入数据得l=（60/360）×2π×8=8π/3cm。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述圆的切线性质定理的内容。参考答案：圆的切线性质定理是指圆的切线垂直于经过切点的半径。即若PA是⊙O的切线，A为切点，则PA⊥OA。2.如何计算扇形的弧长？参考答案：扇形的弧长公式为l=（n/360）×2πr，其中n为圆心角度数，r为半径。3.简述圆的切线长定理的内容。参考答案：圆的切线长定理是指从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。即若PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，则PA=PB。4.若AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD，如何求CD的长度？参考答案：连接OC、OD，由于AB⊥CD，根据垂径定理，CE=DE。设CE=x，DE=y，则CD=x+y。在⊙O中，OC=OD=r，∠OCE=∠ODC=90°。根据勾股定理，r²=OE²+CE²，r²=OE²+DE²，且OE=OE，故r²=OE²+x²，r²=OE²+y²，解得x=y，即CD=2x。5.如何判断一条直线是圆的切线？参考答案：判断一条直线是圆的切线的方法有：①直线与圆有且只有一个公共点；②直线与圆心的距离等于圆的半径；③直线垂直于经过切点的半径。6.简述圆心角与弧的关系。参考答案：圆心角与弧的关系是指圆心角的大小与所对弧长的比例关系。弧长公式为l=（n/360）×2πr，其中n为圆心角度数，r为半径。7.若PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，如何求∠APB的度数？参考答案：连接OA、OB，PA、PB是切线，∠OAP=∠OBP=90°。在四边形OAPB中，∠APB=360°-（∠OAP+∠OBP）=360°-180°=180°-∠AOB。根据圆心角与弧的关系，∠APB的度数等于所对圆心角度数的一半。8.简述圆的切线性质定理的证明过程。参考答案：证明过程如下：设PA是⊙O的切线，A为切点，作半径OA，连接OA。假设PA不垂直于OA，则存在另一点B在PA上，使得OB=OA。根据三角形性质，∠OAP>∠OBP，这与∠OAP=∠OBP矛盾。因此，PA⊥OA。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若PA=10cm，∠APB=60°，求⊙O的半径。解题思路：连接OA、OB，PA=PB=10cm，∠APB=60°，∠OAP=∠OBP=90°。在△OAP中，∠OAP=90°，∠APB=60°，∠AOP=30°，OA=OP×cos30°=10×√3/2=5√3cm。参考答案：5√3cm解析：连接OA、OB，PA=PB=10cm，∠APB=60°，∠OAP=∠OBP=90°。在△OAP中，∠OAP=90°，∠APB=60°，∠AOP=30°，OA=OP×cos30°=10×√3/2=5√3cm。2.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB⊥CD，垂足为E，且CE=4，DE=6，求⊙O的半径。解题思路：连接OC、OD，AB⊥CD，CE=4，DE=6，CD=10。在⊙O中，OC=OD=r，∠OCE=∠ODC=90°。根据勾股定理，r²=OE²+CE²，r²=OE²+DE²，且OE=OE，故r²=OE²+16，r²=OE²+36，解得OE=2，r=√(OE²+CE²)=√(4+16)=√20=2√5cm。参考答案：2√5cm解析：连接OC、OD，AB⊥CD，CE=4，DE=6，CD=10。在⊙O中，OC=OD=r，∠OCE=∠ODC=90°。根据勾股定理，r²=OE²+CE²，r²=OE²+DE²，且OE=OE，故r²=OE²+16，r²=OE²+36，解得OE=2，r=√(OE²+CE²)=√(4+16)=√20=2√5cm。3.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若PA=8cm，∠APB=90°，求⊙O的半径。解题思路：连接OA、OB，PA=PB=8cm，∠APB=90°，∠OAP=∠OBP=90°。在△OAP中，∠OAP=90°，∠APB=90°，∠AOP=45°，OA=OP×cos45°=8×√2/2=4√2cm。参考答案：4√2cm解析：连接OA、OB，PA=PB=8cm，∠APB=90°，∠OAP=∠OBP=90°。在△OAP中，∠OAP=90°，∠APB=90°，∠AOP=45°，OA=OP×cos45°=8×√2/2=4√2cm。4.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB⊥CD，垂足为E，且CE=5，DE=5，求⊙O的半径。解题思路：连接OC、OD，AB⊥CD，CE=5，DE=5，CD=10。在⊙O中，OC=OD=r，∠OCE=∠ODC=90°。根据勾股定理，r²=OE²+CE²，r²=OE²+DE²，且OE=OE，故r²=OE²+25，r²=OE²+25，解得OE=5√2/2，r=√(OE²+CE²)=√(25+25)=√50=5√2cm。参考答案：5√2cm解析：连接OC、OD，AB⊥CD，CE=5，DE=5，CD=10。在⊙O中，OC=OD=r，∠OCE=∠ODC=90°。根据勾股定理，r²=OE²+CE²，r²=OE²+DE²，且OE=OE，故r²=OE²+25，r²=OE²+25，解得OE=5√2/2，r=√(OE²+CE²)=√(25+25)=√50=5√2cm。5.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若PA=12cm，∠APB=120°，求⊙O的半径。解题思路：连接OA、OB，PA=PB=12cm，∠APB=120°，∠OAP=∠OBP=90°。在△OAP中，∠OAP=90°，∠APB=120°，∠AOP=30°，OA=OP×cos30°=12×√3/2=6√3cm。参考答案：6√3cm解析：连接OA、OB，PA=PB=12cm，∠APB=120°，∠OAP=∠OBP=90°。在△OAP中，∠OAP=90°，∠APB=120°，∠AOP=30°，OA=OP×cos30°=12×√3/2=6√3cm。6.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB⊥CD，垂足为E，且CE=3，DE=7，求⊙O的半径。解题思路：连接OC、OD，AB⊥CD，CE=3，DE=7，CD=10。在⊙O中，OC=OD=r，∠OCE=∠ODC=90°。根据勾股定理，r²=OE²+CE²，r²=OE²+DE²，且OE=OE，故r²=OE²+9，r²=OE²+49，解得OE=4，r=√(OE²+CE²)=√(16+9)=√25=5cm。参考答案：5cm解析：连接OC、OD，AB⊥CD，CE=3，DE=7，CD=10。在⊙O中，OC=OD=r，∠OCE=∠ODC=90°。根据勾股定理，r²=OE²+CE²，r²=OE²+DE²，且OE=OE，故r²=OE²+9，r²=OE²+49，解得OE=4，r=√(OE²+CE²)=√(16+9)=√25=5cm。7.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若PA=9cm，∠APB=110°，求⊙O的半径。解题思路：连接OA、OB，PA=PB=9cm，∠APB=110°，∠OAP=∠OBP=90°。在△OAP中，∠OAP=90°，∠APB=110°，∠AOP=20°，OA=OP×cos20°=9×cos20°≈8.48cm。参考答案：8.48cm解析：连接OA、OB，PA=PB=9cm，∠APB=110°，∠OAP=∠OBP=90°。在△OAP中，∠OAP=90°，∠APB=110°，∠AOP=20°，OA=OP×cos20°=9×cos20°≈8.48cm。8.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB⊥CD，垂足为E，且CE=2，DE=8，求⊙O的半径。解题思路：连接OC、OD，AB⊥CD，CE=2，DE=8，CD=10。在⊙O中，OC=OD=r，∠OCE=∠ODC=90°。根据勾股定理，r²=OE²+CE²，r²=OE²+DE²，且OE=OE，故r²=OE²+4，r²=OE²+64，解得OE=8，r=√(OE²+CE²)=√(64+4)=√68=2√17cm。参考答案：2√17cm解析：连接OC、OD，AB⊥CD，CE=2，DE=8，CD=10。在⊙O中，OC=OD=r，∠OCE=∠ODC=90°。根据勾股定理，r²=OE²+CE²，r²=OE²+DE²，且OE=OE，故r²=OE²+4，r²=OE²+64，解得OE=8，r=√(OE²+CE²)=√(64+4)=√68=2√17cm。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.B