2027届广东省佛山市南海区南海实验中学九年级数学第一学期期末质量检测试题含解析

2027届广东省佛山市南海区南海实验中学九年级数学第一学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如下所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有()A．1组 B．2组 C．3组 D．4组2．在中，，，，则直角边的长是（）A． B． C． D．3．要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（）A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度4．已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则＝（）A．﹣6 B．2 C．16 D．16或25．在平面直角坐标系中，点M（1，﹣2）与点N关于原点对称，则点N的坐标为（）A．（﹣2，1） B．（1，﹣2） C．（2，-1） D．（-1，2）6．如图，在矩形ABCD中，点M从点B出发沿BC向点C运动，点E、F别是AM、MC的中点，则EF的长随着M点的运动（）A．不变 B．变长 C．变短 D．先变短再变长7．如图，中，点、分别在、上，，，则与四边形的面积的比为（）A． B． C． D．8．某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8.2 D．方差是1.29．某药品原价为100元，连续两次降价后，售价为64元，则的值为（）A．10 B．20 C．23 D．3610．在平面直角坐标系中，将抛物线绕着原点旋转，所得抛物线的解析式是（）A． B．C． D．11．如图，点E、F是边长为4的正方形ABCD边AD、AB上的动点，且AF＝DE，BE交CF于点P，在点E、F运动的过程中，PA的最小值为（）A．2 B．2 C．4﹣2 D．2﹣212．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sinB的值为（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出，若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，若每个每天收费再提高2元，则再减少10个伞租出，以此类推，为了投资少而获利大，每个遮阳伞每天应提高_______________。14．如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则sin∠OCB＝___________．15．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）．16．已知点A（a，1）与点A′（5，b）是关于原点对称，则a+b=________．17．如图，在中，，，点在边上，，．点是线段上一动点，当半径为的与的一边相切时，的长为____________．18．在中，，，，将沿轴依次以点、、为旋转中心顺时针旋转，分别得到图?、图②、…，则旋转得到的图2018的直角顶点的坐标为________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，AB是的弦，D为半径OA上的一点，过D作交弦AB于点E，交于点F，且求证：BC是的切线．20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CH⊥AB于H，∠CAB＝30°.(1)如图1，求证：AH＝3BH.(2)如图2，点D为AB下方⊙O上一点，点E为AD上一点，若∠BOE＝∠CAD，连接BD，求证：OE＝BD．(3)如图3，在(2)的条件下，连接CE，若CE⊥AD，OA＝14，求BD的长.21．（8分）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点A（2，a）．（1）求与的值；（2）画出双曲线的示意图；（3）设点是双曲线上一点（与不重合），直线与轴交于点，当时，结合图象，直接写出的值．22．（10分）如图，于，以直径作，交于点恰有，连接．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接分别交，于点连接试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的基础上，若，求的长．23．（10分）如图，抛物线与直线恰好交于坐标轴上A、B两点，C为直线AB上方抛物线上一动点，过点C作CD⊥AB于D．（1）求抛物线的解析式；（2）线段CD的长度是否存在最大值？若存在，请求出线段CD长度的最大值，并写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．（1）求证：AB＝AF；（2）当AB＝3，BC＝4时，求的值．25．（12分）参照学习函数的过程方法，探究函数的图像与性质，因为，即，所以我们对比函数来探究列表：…-4-3-2-11234……124-4-2-1……235-3-20…描点：在平面直角坐标系中以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示：（1）请把轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当时，随的增大而______；（“增大”或“减小”）②的图象是由的图象向______平移______个单位而得到的；③图象关于点______中心对称.（填点的坐标）（3）函数与直线交于点，，求的面积.26．如图，在中，，以为直径作交于点.过点作，垂足为，且交的延长线于点.（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】试题分析：根据中心对称图形与轴对称图形的概念依次分析即可．①②③是只是中心对称图形，④只是轴对称图形，故选C.考点：本题考查的是中心对称图形与轴对称图形点评：解答本题的关键是熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴；在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2、B【分析】根据余弦的定义求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，

∴BC=10cos40°．

故选：B．本题考查解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．3、C【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】∵y＝2（x﹣4）2+1的顶点坐标为（4，1），y＝2x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y＝2x2向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1．故选：C．本题考查了二次函数图象与几何变换，求出顶点坐标并抓住点的平移规律是解题关键．4、D【分析】当a=b时，可得出=2；当a≠b时，a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，利用根与系数的关系可得出a+b=6，ab=2，再将其代入=中即可求出结论．【详解】当a=b时，=1+1=2；

当a≠b时，∵a、b满足a2-6a+2=0，b2-6b+2=0，

∴a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，

∴a+b=6，ab=2，

∴==1．

故选：D．此题考查根与系数的关系，分a=b及a≠b两种情况，求出的值是解题的关键．5、D【解析】解：点M（1，﹣2）与点N关于原点对称，点N的坐标为故选D.本题考查关于原点对称的点坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数.6、A【分析】由题意得EF为三角形AMC的中位线，由中位线的性质可得：EF的长恒等于定值AC的一半.【详解】解：∵E，F分别是AM，MC的中点，

∴，

∵A、C是定点，

∴AC的的长恒为定长，

∴无论M运动到哪个位置EF的长不变，

故选A．此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行且等于第三边的一半.7、C【分析】因为DE∥BC，所以可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∵AD：DB=1：2，

∴AD：AB=1：3，

∴，

∴△ADE的面积与四边形DBCE的面积之比=1：8，

故选：C．本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．8、D【分析】首先根据图形数出各环数出现的次数，在进行计算众数、中位数、平均数、方差.【详解】根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是方差是故选D本题主要考查统计的基本知识，关键在于众数、中位数、平均数和方差的概念.特别是方差的公式.9、B【解析】根据题意可列出一元二次方程100（1-）²=64，即可解出此题.【详解】依题意列出方程100（1-）²=64，解得a=20，（a=180,舍去）故选B.此题主要考察一元二次方程的应用，依题意列出方程是解题的关键.10、A【解析】试题分析：先将原抛物线化为顶点式，易得出与y轴交点，绕与y轴交点旋转180°，那么根据中心对称的性质，可得旋转后的抛物线的顶点坐标，即可求得解析式．解：由原抛物线解析式可变为：，∴顶点坐标为（-1，2），又由抛物线绕着原点旋转180°，∴新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点原点中心对称，∴新的抛物线的顶点坐标为（1，-2），∴新的抛物线解析式为：．故选A．考点：二次函数图象与几何变换．11、D【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取BC的中点O，连接OP、OA，然后求出OP＝CB＝1，利用勾股定理列式求出OA，然后根据三角形的三边关系可知当O、P、A三点共线时，AP的长度最小．【详解】解：在正方形ABCD中，∴AB＝BC，∠BAE＝∠ABC＝90°，在△ABE和△BCF中，∵，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠ABE＝∠BCF，∵∠ABE+∠CBP＝90°∴∠BCF+∠CBP＝90°∴∠BPC＝90°如图，取BC的中点O，连接OP、OA，则OP＝BC＝1，在Rt△AOB中，OA＝，根据三角形的三边关系，OP+AP≥OA，∴当O、P、A三点共线时，AP的长度最小，AP的最小值＝OA﹣OP＝﹣1．故选：D．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系.确定出AP最小值时点P的位置是解题关键，也是本题的难点.12、A【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝，∴sinB＝＝故选：A．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题（每题4分，共24分）13、4元或6元【分析】设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得利润为S，每个每天应收费（10+x）元，每天的租出量为（100-×10=100-5x）个，由此列出函数解析式即可解答．【详解】解：设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得利润为S，由此可得，

S=（10+x）（100-×10），

整理得S=-5x2+50x+1000，

=-5（x-5）2+1125，

因为每天提高2元，则减少10个，所以当提高4元或6元的时候，获利最大，

又因为为了投资少而获利大，因此应提高6元；

故答案为：4元或6元．此题考查运用每天的利润=每个每天收费×每天的租出量列出函数解析式，进一步利用题目中实际条件解决问题．14、【分析】根据切线长定理得出，解直角三角形求得，即可求得，然后解Rt△OCD即可求得的值．【详解】解：连接，作于，与等边三角形的两边、都相切，，，，，在Rt△OCD中，．故答案为：．本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．15、y＝x2+2x（答案不唯一）．【解析】设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），令a＝1即可．【详解】∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），∴可设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），把a＝1代入，得y＝x2+2x．故答案为y＝x2+2x（答案不唯一）．本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．16、-1【解析】试题分析：根据关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数可知a＝－5，b＝－1，所以a＋b＝(－5)＋(－1)=－1，故答案为－1．17、或或【分析】根据勾股定理得到AB、AD的值，再分3种情况根据相似三角形性质来求AP的值．【详解】解：∵在中，，，，∴AD=在Rt△ACB中，，，，∴CB=6+10=16∵AB²=AC²+BC²AB=①当⊙P与BC相切时,设切点为E,连结PE,则PE=4，∠AEP=90°∵AD=BD=10∴∠EAP=∠CBA,∠C=∠AEP=90°∴△APE∽△ACB②当⊙P与AC相切时，设切点为F，连结PF,则PF=4，∠AFP=90°∵∠C=∠AFP=90°∠CAD=∠FAP∴△CAD∽△FAP③当⊙P与BC相切时，设切点为G，连结PG,则PG=4，∠AGP=90°∵∠C=∠PGD=90°∠ADC=∠PDG∴△CAD∽△GPD故答案为：或或5本题考查了利用相似三角形的性质对应边成比例来证明三角形边的长.注意分清对应边，不要错位．18、(8072,0)【分析】利用勾股定理得到AB的长度，结合图形可求出图③的直角顶点的坐标；根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合．【详解】∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4，∴AB===5，∴旋转得到图③的直角顶点的坐标为(12,0)；根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4=12，因为2018÷3=672…2所以图2018的直角顶点在x轴上，横坐标为672×12+3+5=8072，所以图2018的顶点坐标为(8072,0)，故答案是：(8072,0).本题考查了旋转的性质与规律的知识点，解题的关键是根据点的坐标找出规律.三、解答题（共78分）19、见解析【解析】试题分析：连接OB，要证明BC是⊙O的切线，即要证明OB⊥BC，即要证明∠OBA+∠EBC=90°，由OA=OB，CE=CB可得：∠OBA=∠OAB，∠CBE=∠CEB，所以即要证明∠OAB+∠CEB=90°，又因为∠CEB=∠AED，所以即要证明∠OAB+∠AED=90°，由CD⊥OA不难证明.试题解析：证明：连接OB，∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，∴∠OBA+∠ABC=90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线.点睛：本题主要掌握圆的切线的证明方法，一般我们将圆心与切点连接起来，证明半径与切线的夹角为90°.20、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)BD=2.【分析】(1)连接BC，根据直角三角形中，30度所对的直角边是斜边的一半，可得：AB＝2BC，BC＝2BH，可得结论；(2)由(1)得AB＝2BC，AB＝2OA，得OA＝BC，利用ASA证明△OAE≌△BCD，可得结论；(3)过O作OM⊥AD于M，先证明∠OEA＝∠BAC＝30°，设OM＝x，则ME＝x，由△OAE≌△BCD，则∠DCE＝30°，设AM＝MD＝y，则AE＝y+x，DE＝y﹣x，根据AE＝2DE列等式得：y＝3x，根据勾股定理列方程可得x的值，可得：BD＝2OM＝2.【详解】(1)证明：如图1，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°，AB＝2BC，∵CH⊥AB，∴∠BCH＝30°，∴BC＝2BH，∴AB＝4BH，∴AH＝3BH，(2)证明：连接BC、DC，∵∠CAD+∠CBD＝180°，∠BOE＝∠CAD，∴∠BOE+∠CBD＝180°，∵∠BOE+∠AOE＝180°，∴∠AOE＝∠CBD，∵∠OAE，∠BCD是弧BD所对的圆周角∴∠OAE＝∠BCD，由(1)得AB＝2BC，AB＝2OA，∴OA＝BC，∴△OAE≌△BCD，∴OE＝BD；(3)解：过O作OM⊥AD于M，∴AM＝MD，∵AO＝OB，∴BD＝2OM，∵∠BOE＝∠CAD，∠BOE＝∠BAE+∠OEA，∠CAD＝∠BAE+∠BAC，∴∠OEA＝∠BAC＝30°，设OM＝x，则ME＝x，由(2)得：△OAE≌△BCD，∴AE＝CD，∵∠ADC，∠ABC是弧AC所对的圆周角，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∵CE⊥AD，∴∠DCE＝30°，∴CD＝2DE，AE＝CD，∴AE＝2DE，设AM＝MD＝y，则AE＝y+x，DE＝y﹣x，∴y+x＝2(y﹣x)，y＝3x，在Rt△OAM中，OA＝14，AM＝3x，OM＝x，OM2+AM2＝OA2，，解得：x1＝，x2＝﹣(舍)，∴OM＝，∴BD＝2OM＝2.本题主要考查圆的性质和三角形的性质的综合问题，添加合适的辅助线，综合应用直角三角形的性质和圆周角定理，垂径定理和圆内接四边形的性质，是解题的关键.21、（1），；（2）示意图见解析；（3）6，．【分析】（1）把点A（2，a）代入直线解析式求出a,再把A（2，a）代入双曲线求出k即可；（2）先列表，再描点，然后连线即可；（3）利用数形结思想观察图形即可得到答案.【详解】（1）∵直线过点，∴．又∵双曲线（）过点A（2，2），∴．（2）列表如下：x…-4-2-1124…y…-1-2-4421…描点，连线如下：（3）6，．①当点P在第一象限时，如图，过点A作AC⊥y轴于点C，过点P作PD⊥y轴于点D，则△BDP∽△BCA，∴=∵点A（2，2），∴AC=2,OC=2.∴PD=1.即m=1，当m=1时，n=.即OD=4，∴CD=OD-OC=2.∴BD=CD=2.∴OB=BD+OD=6即b=6.②当点p在第三象限时，如图，过点A作AC⊥y轴于点C，过点P作PD⊥y轴于点D，则△BDP∽△BCA，∴=∵点A（2，2），∴AC=2,OC=2.∴PD=1.∵点p在第三象限，∴m=-1,当m=-1时，n=-4，∴OD=4，∵BD=OD-OB=4+b,CD=OC+OB=2-b,∴解得，b=-2.综上所述，b的值为6或-2.本题考查了一次函数与反比例函数的综合，掌握相关知识是解题的关键.22、（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）．【分析】（1）由直径所对圆周角等于90度可得，进而易证，再根据即可证明；（2）由，可得，进而可知，再由同弧所对圆周角相等可得，再分别证明，，从而可得，即可解决问题；（3）设，，由，可得，可得，由，可得，设，，根据，可得，求出即可解决问题．【详解】解：（1）证明：是直径，，∵，，，，，又∵，（AAS）．（2）结论：．理由如下：由（1）可得：，，，是直径，∴，，，又∵，∴，∴，，，，，．（3）解：设，，，，整理得，或（舍弃），，，又∵由（2）可知，，，∵，∴，∴，设，，，，，本题综合考查了圆与相似，涉及了圆的性质、切线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．23、（1）y=-x2+2x+3；（2）存在，CD的最大值为，C（）【分析】（1）已知一次函数的解析式，分别令x、y等于0，可以求出点A、B的坐标，分别代入二次函数解析式，求出b、c，即可求出二次函数的解析式；（2）过点C作y轴的平行线交AB于点E，由△AOB是等腰直角三角形可推出△CDE也为等腰直角三角形，设出点C和点E的坐标，用含x的坐标表式线段CE的长度，再根据CD=，可以用x表示CD的长度，构造二次函数，当x=时，求二次函数的最大值即可．【详解】解：（1）在y=-x+3中，当x=0时，y=3；当y=0时，x=3，可得A(3，0)，B(0，3)将A(3，0)，B(0，3)代入y=-x2+bx+c，得解得抛物线的解析式为y=-x2+2x+3（2）∵在Rt△AOB中，OA=OB=3，∴∠OAB=∠ABO=45°．过点C作y轴的平行线交AB于点E．∴∠CED=∠ABO=45°，∴在Rt△CDE中，CD=设点C(x，-x2+2x+3)，E(x，-x+3)，0<x<3，则CE=-x2+2x+3-（-x+3）=-x2+3x=∴当时，CE有最大值，此时CD的最大值=∵当时，，∴C（）本题主要考查了二次函数解析式的求法以及用点的坐标表示线段长度，能够合理的构造二次函数是解决本题的关键．24、（1）见解析；（2）.【分析】（1）只要根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到∠1＝∠3，进而可得结论；（2）易证△AEF∽△CEB，于是AE：CE＝AF：BC，然后结合（1）的结论即可求出AE：EC，进一步即得结果.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，