福建省泉州市2026届高三质量检测（二）数学试题及参考答案（含答案）

福建省泉州市2026届高三质量监测（二）数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设集合，，则（）A.B.C.D.2.已知为第二象限角，且，则（）A.B.C.D.3.已知正数满足，则的最大值为（）A.B.C.D.4.定义在上的奇函数，当时，，则的值域为（）A.B.C.D.5.已知正三棱台的高为，，则该棱台的侧面积为（）A.B.C.D.6.在复平面内，是原点，复数对应的向量分别为，.若，绕点按逆时针方向旋转所得的向量与绕点按顺时针方向旋转所得的向量相等，则（）A.B.C.D.7.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.的图象向右平移的单位长度后得到的图象关于轴对称D.的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点中心对称8.双曲线的对称中心为，焦点为，过的直线与的一条渐近线平行.若与以为圆心，为半径的圆相交于两点，且，则的离心率为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某市环保部门连续10天监测甲、乙两个区域的空气质量指数（简称），记日期编号为，甲、乙两个区域的分别为，将数据整理如下：日期编号12345678910甲区域27444345343533344035乙区域34343031363332343333根据数据进行分析，以下说法正确的是（）A.甲区域的极差为18B.乙区域的第65百分位数为33.5C.甲区域的方差大于乙区域的方差D.根据最小二乘法求得关于的经验回归方程对应的直线必过点10.已知数列满足，记为的前项和，则（）A.当时，B.，使得C.为等比数列的充要条件是D.且，，使得11.已知函数有两个零点，则（）.当时，..当时，.函数取最小值时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则实数的值为.13.已知点，若诶抛物线上得动点，则的最小值为.14.现有一个半径为6的球状容器（不考虑容器厚度），在容器内放置8个半径相同的实心小球，若这8个小球的球心恰为某个正方体的8个顶点，则小球半径的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算两种教学系统在提升步骤.15.（13分）已知锐角三角形中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，，求的值.16.（15分）已知函数.（1）讨论的极值；（2）证明：当时，；（3）证明：.17.（15分）如图，已知在四棱锥中，，，，.（1）证明：平面；（2）证明：；（3）若直线与平面所成角为45°，点在平面内的正投影是点，求四棱锥的体积.18.（17分）如图，数字1至8按顺时针方向排成一圈，将一棋子放在数字8处，按如下规则移动棋子：抛掷一枚质地均匀的硬币1次，若正面朝上，棋子按顺时针方向连续移动3个相邻位置；若反面朝上，则按逆时针方向连续移动3个相邻位置.若连续投掷硬币次，并按照上述规则移动棋子，记最终棋子所处的数字为随机变量.例如：若连续3次抛掷硬币均为正面朝上，则棋子移动3次，第1次从数字8处移动到数字3处，第2次移动到数字6处，第3次移动到数字1处，即.（1）求；（2）证明：；（3）现设计一项游戏：游戏包含若干轮，每轮开始时将棋子放在数字8处，玩家连续投掷6次硬币并按上述规则移动棋子，当时玩家获胜，游戏结束，否则进行下一轮，游戏最多进行10轮.记游戏结束时的轮数为随机变量，求的分布列，并证明.19.（17分）在直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，且，.（1）求的方程；（2）点是上两个动点，点在直线上，设直线的斜率分别为，且.（ⅰ）设关于的对称点为，试判断是否共线？并说明理由；（ⅱ）在①的面积为定值，②的面积为定值，③的面积为定值，这三个结论中选择一个结论补充在下面命题中，使该命题为真命题，并证明.命题：若直线与直线相交于点，则.参考答案一、选择题1.C2.A3.A4.D5.B6.C7.D8.D二、选择题9.ACD10.ABC11.ACD三、填空题12.13.14.四.解答题15.解：解法一：（1）由，可得，根据余弦公式，可得.∵，∴.（2）由，可得，即，∴或，即或，在锐角中，，∴.由正弦定理，可得，得，，代入，可得，得，即.解法二：（1）同解法一.（2）由，可得，则或，即或，在锐角中，，∴.由余弦定理可得：，又，两式相加，可得，即，得.16.解：（1），当时，，在上单调递增，函数无极值；当时，令得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.∴当时，取得极小值，无极大值.（2）令，由（1）知，取时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∵，∴时，；又∵，∴时，；综上当时，，即.（3）令，则由（2）得，即，因此，∴.17.解：（1）∵，平面，平面，∴平面.（2）取中点，连接，设，∵，，，，∴四边形是正方形，∴.连接，∵，为的中点，∴，∵，平面，∴平面，又平面，∴（3）由（2）可知平面，平面，∴平面平面，过作，垂足为，又∵平面平面，平面，∴平面，∴在底面的射影在直线上，∴直线与平面所成角是，∴，∵正方形中，，∴，，又∵，∴，∴，∴.∴点与重合，即平面，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，∵点在平面内的正投影是，∴平面，设,，∵，∴，∴，∴，∴，∴点到平面距离为，.18.解：（1）记为棋子顺时针移动次，为棋子逆时针移动次，则与互斥.；.（2）；，故.（3）先分析连续活动6次后的取值情况：6次均为顺时针，则；5次顺时针1次逆时针，则；4次顺时针2次逆时针，则；3次顺时针3次逆时针，则；2次顺时针4次逆时针，则；1次顺时针5次逆时针，则；6次逆时针，则，故.随机变量的分布列如下：由，令，则，两式相减得：，即,故，又∵，∴.19.解：（1）由，可得，又，可得，，∴，∴，又，根据题意得，解得：，从而椭圆.（2）是，三点共线，证明：设直线与的交点为，要证明三点共线，只需证明与重合，即证明直线的斜率与的斜率相等.由题意得：，，∵关于原点对称，关于原点对称，故直线，相互平行，∴的斜率，∴…①，…②，由①②，得，即，即，即，又由题