湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期期中考试数学自编卷（范围：必修一二、选必一）（解析版）

湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期期中考试自编卷数学试题（解析版）题号12345678910答案CDCBADCBADABC题号11答案ACD1．C【分析】根据空间向量共线的坐标表示计算即可.【详解】由题意可设，即，解得.故选：C2．D【分析】根据补集定义，即可求解.【详解】由补集的定义可知，.故选：D3．C【详解】因为，故选C.4．B【解析】把用表示，然后用基本不等式求得最大值．【详解】由题意，，∴，当且仅当，即时等号成立，此时最大．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的应用，在直角三角形中利用三角函数的定义求解．本题解题关键是由于是锐角，因此取最大值时就是最大，反之变然，而可通过直角三角形中正切函数定义与边长建立关系．由此我们可建立函数关系式，然后由基本不等式䩖是最值．5．A【分析】分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不为0时，借助于二次函数的开口方向和判别式列不等式组求解．【详解】关于x的不等式的解集为，等价于不等式恒成立，当时，对于一切实数，不等式恒成立；当时，要使不等式恒成立，则，解得综上，实数的取值范围是（−2，2]．故选A．【点睛】本题考查函数恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了不等式恒成立和系数之间的关系，是中档题．6．D【分析】本题只需根据定义域是否相同进行判断即可.【详解】A.,B.,C.,D.,因此选D.【点睛】本题考查函数定义域,考查基本求解能力,属基础题.7．C【分析】由题设结合三角恒等变换公式可得，，，进而结合选项分析求解即可.【详解】由，则.由，则，即，则，，综上所述，，且，.结合选项，当，时，满足上述两个式子；当，时，满足上述两个式子；当时，由可知，此时不满足，.故选：C8．B【分析】依据设而不求列出a、c的关系式，即可求得椭圆的离心率.【详解】设过点的直线为，令，由可得则，由，可得，则故，则有，代入整理得又直线，，则，代入整理得可化为，解之得或故选：B9．AD【分析】根据同角平方关系可判断A，根据诱导公式可判断BCD.【详解】，选项A正确；，选项B错误；，选项C错误：，选项D正确，故选:AD10．ABC【分析】对于A，利用三角函数的有界性分析判断，对于B，通过计算和进行判断，对于C，利用函数奇偶性的定义和周期的定义分析判断，对于D，通过计算进行判断.【详解】对于A，因为，所以，当时，，所以的最大值为1，所以A正确，对于B，因为，，所以，所以图象关于直线对称，所以B正确，对于C，因为，所以为奇函数，因为，所以为函数的一个周期，所以C正确，对于D，因为不一定成立，所以图象不一定关于点中心对称，所以D错误，故选：ABC11．ACD【分析】令、，代入已知关系式判断A、B，令、、代入已知关系式判断C，令得判断D.【详解】令，则，而，可得，A对，令且，则，所以，但不一定是常数函数，故不一定成立，B错，若，令，则，可得，令，则，可得，令，则，可得，所以，C对，令，则，故，所以，D对.故选：ACD12．【分析】利用点到直线的距离公式可得出关于正数的方程，即可求得正数的值.【详解】由点到直线的距离公式可得，即，，因此，.故答案为：.13．（3）（4）【分析】利用反证法可得（1）（2）错误，取为的中点，取的中点为，连接，可证明平面，当平面平面时，四棱锥体积最大值，利用公式可求得此时体积为.【详解】如图（1），取的中点为，连接，则，，故，故即．若，因为，故，而，故平面，因为平面，故，矛盾，故（1）错．若平面，因为平面，故，因为，，故平面，因为平面，故，但，矛盾，故（2）错．当平面平面时，四棱锥体积最大值，由前述证明可知，而平面平面，平面，故平面，因为为等腰直角三角形，，故，又四边形的面积为，故此时体积为，故（4）正确．对于（3），如图（2），取为的中点，取的中点为，连接，则，而，故即四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，故平面，故（3）正确．故答案为：（3）（4）.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.14．【分析】根据给定条件，结合二次函数的图象性质确定，且为方程的正根，进而求出最小值.【详解】当时，二次函数的图象开口向下，存在正数且，使得当时，，而当时，，此时，不符合题意，因此，由，得方程有两个实数根，而，则，当时，；当时，，由任意的，不等式恒成立，得当时，；当时，，因此，所以，于是，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为.15．（1）；（2）.【解析】（1）利用三角函数的定义，求解即可；（2）利用诱导公式化简表达式，结合同角三角函数关系式转化求解即可.【详解】（1）角的终边经过点，且，可得解得；（2）由（1）可得，．16．(1)0(2)5【分析】（1）根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据换底公式和对数运算性质，指数幂的运算即可解答.【详解】（1）原式（2）原式.17．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）取中点，连，，由三角形中位线定理，结合已知条件，易得四边形是平行四边形，所以，再由线面平面的判定定理，即可证明；（2）由已知中正方形与梯形所在的平面互相垂直，易得平面，进而，由勾股定理的逆定理判断出中，，由线面垂直的判定定理即可证明；（3）以为原点，，，方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入向量夹角公式，即可求出平面答案．【详解】（1）证明：取DE中点N，连接MN，AN，在中，M、N分别为EC，ED的中点，，且，，，，且，四边形ABMN为平行四边形，，平面ADEF，且平面ADEF，；（2）证明：在正方形ADEF中，，平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD，，在直角梯形ABCD中，，，可得，，，平面BDE；（3）如图，以D为原点，，，方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，则，解得，取，则，，即，平面ADEF为面，平面ADEF的一个法向量为，设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为，则，平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为.18．（1）；（2）．【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简得，利用正弦函数的性质即可求得答案；（2）由（1）结果可求得，由正弦定理可求得，继而求得，利用三角形面积公式即可求得答案.【详解】（1），，由，解得，函数的单调递增区间是．（2）在中，，，解得，又，．依据正弦定理，有，解得，，则，．19．(1)(2)由题意及（1）证明如下：在椭圆中，，设，，，所以，.因为，所以.①若直线的斜率不存在，则，可得，可得，且，解得，即直线为y轴，不合题意，所以直线的斜率存在，设直线AB的方程为，与椭圆联立，消去y，得.由，得，所以，.②因为，，所以由①，得，即，③把②代入③，得，整理，得，解得，（舍），所以，即直线AB过定点.【分析】（1）根据长轴长和离心率即可求出椭圆方程；（2）设出点坐标和直线AB的方程，直线AB的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和直线MA，MB的斜率之积即可得出直线AB过的定点.【详解】（1）由题意，在椭圆