2027届高考数学复习第40讲随机变量及其分布列(知识清单+13典例讲)(教师版)

第40讲随机变量及其分布列

（知识清单+13典例精讲+方法技巧+分层训练）

近3年考查情况题型分值

离散型随机变量的数学期望单选/填空题5分

分布列、数学期望与方差综合单选/解答题5分/12分

随机变量概率计算填空题5分

分布列与期望的实际应用单选/多选/5分/6分/12

解答题分

超几何分布、二项分布、期望、方差解答题12分

二项分布的期望与方差单选题5分

正态分布的性质与应用单选/解答题5分

【知识点01】离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能

取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.

【例1】判断下列变量是否为离散型随机变量，并说明理由。

①抛掷一枚骰子，出现的点数；②某公交车站一小时内的候车人数；③灯泡的使用寿命。

解：1.抛掷骰子的点数：取值为，可一一列举，是离散型随机变量。

2.车站候车人数：取值为1,，2,3可,4依,5,次6列举，是离散型随机变量。

3.灯泡使用寿命：取值为连0,续1,2实,3数⋯区间，无法一一列举，不是离散型随机变量。

解题总结：判断关键——能否将变量取值逐个列举。

【知识点02】离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，

n为X的概率分布列，简称分布列.

【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为随机变量，写出的分布列。

��

解：步骤1：确定所有可能取值：

步骤2：骰子质地均�匀，每个点数出1现,2,概3,4率,5相,6等：

1

�(�=1)=�(�=2)=⋯=�(�=6)=

步骤3：列出分布列：6

123456

�

�111111

【知识点03】6离散型随机6变量分布6列的性质666

(1)pi≥0，i＝1，2，…，n.

(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.

【例3】已知离散型随机变量的分布列为：，求实数的值。

��(�=1)=�,�(�=2)=2�,�(�=3)=0.2�

解：步骤1：根据分布列规范性性质，所有概率和为1：

�步+骤22�：+化0.简2=计1算：，解得

0.84

步骤3：验证非负性：3�=0.8，符�合=要3求=。15

4

答案：�=15>0

4

【知识�点=0154】离散型随机变量的均值(数学期望)与方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

Xx1x2…xn

Pp1p2…pn

(1)均值(数学期望)

称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了随机变量

�

∑

取值的平均水平

.�=1

(2)方差

2222

称D(X)＝(x1－E(X))p1＋(x2－E(X))p2＋…＋(xn－E(X))pn＝(xi－E(X))pi为随机变量X的方差，并称为

�

∑

随机变量的标准差，记为，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度�(�)

Xσ(X)�=1.

【例4】已知随机变量分布列如下，求。

��(�),�(�)

123

�

�0.20.30.5

解：步骤1：计算数学期望

�步(骤�)2=：1计×算0.2+2×0.3+3×0.5=0.2+0.6+1.5=2.3

2

�(�)

2222

�步(骤�)3：=利1用×简0.2化+公2式×求0方.3差+3×0.5=0.2+1.2+4.5=5.9

222

�答(案�)：=�(�)−[�(�)]=5.9−2.3=5.9−5.29=0.61

【知识�点(�)0=5】2.均3,�值(�(数)=学0.期61望)与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).

【例5】已知随机变量满足，求。

��(�)=2,�(�)=3�(2�−1),�(2�−1)

解：步骤1：代入期望性质公式

�步(骤2�2−：1代)=入2方�差(�性)−质1公=式2×2−1=3

2

�答(案2�：−1)=2⋅�(�)=4×3=12

【知识�点(2�06−】1)二=项3,分�(布2�−1)=12

(1)伯努利试验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重

伯努利试验.

(2)二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X

的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.

�

C�

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).

(3)两点分布与二项分布的均值、方差

①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).

②若X~B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).

【例6】已知某次试验成功率为0.8，重复进行4次独立试验，设成功次数为，求和。

��(�)�(�)

解：步骤1：判定模型：4次独立重复试验，概率恒定，

步骤2：代入均值公式：�∼�(4,0.8)

�步(骤�)3=：�代�入=方4×差0公.8式=：3.2

�答(案�)：=𝑛(1−�)，=4×0.8×0.2=0.64

【知识�点(�)0=7】3.超2几�(何�)分=布0.64

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产

品中的次品数，则的分布列为＝＝，＝，＋，＋，…，，其中，，∈*，≤，≤，

XP(Xk)��−�kmm1m2rnNMNMNnN

C�C�−�

�

m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随C�机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何

分布.

【例7】箱中有6件正品、4件次品，共10件产品，不放回抽取3件，设次品数为，求。

��(�=2)

解：步骤1：确定参数：

步骤2：代入超几何分布公�式=：10,�=4,�=3,�=2

21

C4C6

�(�=2)=3

步骤3：计算C组10合数：

213

C4=6,C6=6,C10=120

6×6363

�(�=2)===

答案：12012010

3

【知识�点(�0=8】2)正=态10分布

(1)定义

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝(�−�)2，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态

1−2�2

分布，记为X~N(μ，σ2).�2πe

(2)正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

②曲线在x＝μ处达到峰值；

1

�2π

③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.

(3)3σ原则

①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；

②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；

③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.

(4)正态分布的均值与方差

若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.

【例8】已知随机变量，求的值。

2

�∼�(4,3)�(1<�≤7)

解：步骤1：提取正态分布参数：，

步骤2：区间等价变形：�=4�=3

，

1步=骤�3−：�套用7=3�核+心�结论：

�

�答(案1<：�≤7)=�(�−�<�≤�+�)≈0.6827

�(1<�≤7)≈0.6827

【题型一】求离散型随机变量的均值

【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小

球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（）

���=

A．B．C．D．

1275

231216

【答案】A

【分析】根据题意可取0,1,2，分别计算出概率，再用期望公式计算即可.

�

【详解】根据题意可取0,1,2，

�

，，，

3391313111

��=0=4×4=16��=1=C2×4×4=8��=2=4×4=16

所以，

311

��=0+8+2×16=2

故选：A.

【变式1】（2026·云南·模拟预测）一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等

可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值，�重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初

始值为3，0,�终止操作时按回车键的次�数为，则的数学期望�为（）

���

A．B．C．D．

111375

6632

【答案】A

【分析】根据题意得出的所有可能取值，利用操作步骤求出对应概率可求出其期望值，可得结果.

�

【详解】易知的可能取值为1，2，3，

�

按一次输出数字0，；

1

��=1=3

按两次输出数字0，有两种情况，依次输出2，0或者1，0，故；

1111

��=2=3×1+3×2=2

按三次出现数字0，即依次输出2，1，0，故.

111

��=3=3×2×1=6

所以，

11111

��=1×3+2×2+3×6=6

故选：A.

【变式2】（2026·重庆北碚·模拟预测）（多选）抛掷一枚均匀的骰子两次，将两次朝上的点数分别记为随机变量

和，则下列说法正确的是（）�

�

A．B．

21

�(�>2)=3�(�=�)=36

C．D．

1

�(�−�=2)=9�(�)=3

【答案】AC

【详解】选项A：为第一次抛掷骰子的点数，共6种等可能结果，即取3、4、5、6，共4种结果，故

，A正确�；�>2���>

42

2=6=3

选项B：的情况为，共6种基本事件，故，B错误；

61

�=�(1,1),(2,2),…,(6,6)��=�=36=6

选项C：即，符合的事件为，共4种基本事件，故

�−�=2，�C=正�确+；2(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)

41

��−�=2=36=9

选项D：服从1到6的均匀分布，期望，D错误.

1+2+3+4+5+6

��(�)=6=3.5

【变式3】（2026·江苏连云港·模拟预测）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行

到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相

32

互独立．则比赛停止时已打局数的数学期望为________．55

���

【答案】

2138

625

【分析】依题意，得到的所有可能值为2，4，6，求得每两局比赛为一轮，得到结束时比赛停止的概率为，进而求

13

得相应的概率，利用期望�的公式，即可求解.25

【详解】依题意，随机变量的所有可能值为2，4，6，

�

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，

322213

(5)+(5)=25

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，

此时该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，

可得，

131213156122144

�(�=2)=25,�(�=4)=25×25=625,�(�=6)=(25)=625

所以.

131561442138

�(�)=2×25+4×625+6×625=625

【题型二】写出简单离散型随机变量分布列

【例2】盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为，则随机变量的

数学期望（）��

��=

A．B．C．D．

11975

8888

【答案】B

【分析】依题意的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与数学期望．

��

【详解】解：盒中有大小相同的5个红球和3个白球，

∵

从中随机摸出3个球，记摸到白球的个数为，

�

的可能取值为0，1，2，3，

∴�

所以，，

321

C510C5C330

33

�(�=0)=C8=56�(�=1)=C8=56

，，

123

C5C315C31

33

�(�=2)=C8=56�(�=3)=C8=56

的分布列为：

∴�

0123

�

1030151

�56565656

．

10301519

∴��=0×56+1×56+2×56+3×56=8

故选：B．

【变式1】（多选）盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为，则随

机变量的数学期望（）�

���=

A．B．C．D．

11975

8888

【答案】B

【分析】依题意的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与数学期望．

��

【详解】解：盒中有大小相同的5个红球和3个白球，

∵

从中随机摸出3个球，记摸到白球的个数为，

�

的可能取值为0，1，2，3，

∴�

所以，，

321

C510C5C330

33

�(�=0)=C8=56�(�=1)=C8=56

，，

123

C5C315C31

33

�(�=2)=C8=56�(�=3)=C8=56

的分布列为：

∴�

0123

�

1030151

�56565656

．

10301519

∴��=0×56+1×56+2×56+3×56=8

故选：B．

【变式2】（2026·江苏·模拟预测）袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，

每个小球被取出的可能性都相等．用表示取出的3个小球标号的最小数字．

�

(1)求随机变量的分布列及数学期望；

�

(2)已知取出的3个小球的标号和为奇数，求的概率．

�=1

【答案】(1)的分布列为：

�

1234

�

1

13320

�

21020

��=1.75

(2)

2

5

【详解】（1）随机变量的所有可能取值为．

�1,2,3,4

，

1212

C1C51C1C43

33

�(�=1)=C6=2�(�=2)=C6=10

，

1212

C1C33C1C21

33

�(�=3)=C6=20�(�=4)=C6=20

的分布列为：

�

1234

�

1

13320

�

21020

∴

1331

�(�)=1×2+2×10+3×20+4×20=1.75

（2）记事件为“取出的3个球的标号和为奇数”，事件为“”．

���=1

则事件为“和为奇数，且最小标号为1”.

��

由题意得，，，

31222

C3+C3C3101C2+C31

33

��=C6=20=2���=C6=5

由条件概率公式，得1．

�(��)52

1

�(��)=�(�)=2=5

【变式3】（2026·四川眉山·模拟预测）已知数轴上有一质点，从原点开始每1秒向左或向右移动一个单位长度.设

它向左移动的概率为，向右移动的概率为.

13

44

(1)已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后该质点在处的概率；

�=0

(2)记质点3秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与数学期望.

��

【答案】(1)

2

5

(2)

13

�−3−1

192727

�

64646464

数学期望.

3

2

【分析】（1）利用独立事件的概率公式和条件概率公式即可求解；

（2）由题意确定可能的取值，然后求出相应的概率，从而可求出的分布列与期望.

�

【详解】（1）记质点2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件秒后质点在处为事件，

�,2�=0�

则，

33113151133

��=4×4+C2×4×4=16,���=��=C2×4×4=8

故所求的概率为3；

���82

15

��∣�=��=16=5

（2）的可能取值为：.

�−3,−1,1,3

则，

32

112139

��=−3=4=64,��=−1=C3×4×4=64

.

23

13127327

��=1=C3×4×4=64,��=3=4=64

分布列如下：

13

�−3−1

192727

�

64646464

数学期望.

1927273

��=−3×64+−1×64+1×64+3×64=2

【题型三】利用随机变量分布列的性质解题

【例3】以下能够成为某个随机变量分布的是（）

A．B．C．D．

01−110111213111.222.4

11236248−0.50.50.30.7

【答案】B

【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.

【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，

显然AC选项不满足概率之和为1，D选项不满足各项概率大于0，

B选项满足要求.

故选：B

【变式1】（2026·山东·一模）已知随机变量X的分布列如表所示（其中）：

�∈�

X012

P

2

1−3��

5

则随机变量X的数学期望等于（）

��

A．B．C．D．

1334

4455

【答案】D

【分析】根据随机变量分布列的性质，所有概率之和为，可求解，再进行计算即可.

1�

【详解】由题意可得，，解得，所以随机变量X的分布列为：

21

5+1−3�+�=1�=5

X012

P

221

555

所以.

2214

��=0×5+1×5+2×5=5

故选：D.

【变式2】设随机变量的分布列如下：

�

123456

�

P

�1�2�3�4�5�6

其中，，…，构成等差数列，则___________.

�1�2�6�1+�6=

【答案】

1

3

【分析】由等差数列的性质和离散型随机变量的性质可求得结果.

【详解】因为，，…，构成等差数列，

�1�2�6

所以，

�1+�6=�2+�5=�3+�4

因为，所以，

1

�1+�2+�3+�4+�5+�6=1�1+�6=3

故答案为：

1

3

【变式3】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知，随机变量X的分布列为

�>0,�>0

Ｘ1234

Pab

11

66

的最小值为______，此时X的数学期望为______．

14

�+�

【答案】/

27175

2626

【分析】根据分布列性质求得，然后由基本不等式求得最小值，并求得值，再由期望公式计算出期望．

2

�+�=3�,�

【详解】依题意可得．则，

112

�+6+6+�=1�+�=3

因为，所以，

1431434��327

�>0,�>0�+�=2(�+�)�+�=25+�+�≥2(5+24)=2

当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．

4��41427

�=��=2�=9�+�2

此时．

1117

�(�)=�+3+2+4�=6

故答案为：；．

2717

26

【题型四】超几何分布

【例4】2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉与其他7位主播从“心”出发，他们中男性5人，女性3人，现需排

班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（）

A．B．C．D．

3354

5443

【答案】C

【分析】首先将男生人数设为随机变量，再求得概率，代入期望公式，即可求解.

�=0,1,2

【详解】设男生人数为，且，

��=0,1,2

，，

2112,

C33C3C515C55

222

��=0=C8=28��=1=C8=28��=2=C8=14

则.

31555

��=0×28+1×28+2×14=4

故选：C

【变式1】（2026·山东·模拟预测）从一个装有3个白球和5个黑球的袋子中无放回地取球2次，每次取球1个，记

为取得白球的次数，则___________．

���=

【答案】/0.75

3

4

【分析】由随机变量服从超几何分布，从而可得随机变量的期望值.

�

【详解】因为为取得白球的次数，所以的可能的值为,且随机变量服从超几何分布.

��0,1,2�

，，

2112.

C5105C3C515C33

222

�(�=0)=C8=28=14�(�=1)=C8=28�(�=2)=C8=28

所以的分布列为：

�

012

�

P

5153

142828

所以.

5153213

��=0×14+1×28+2×28=28=4

故答案为：.

3

4

【变式2】（2025·四川达州·模拟预测）年末促销是商场常用清理库存和资金回笼的一种措施.某商场对消费超过500

元的消费者提供一次抽奖活动，抽奖箱中装有10个同种材质且大小相同的红球、黄球和绿球（绿球的个数最多），

消费者从抽奖箱中同时抽取2个小球，若2个小球都是红球即获得一等奖，都是黄球即获得二等奖，其余情况，均是

不获奖.若从抽奖箱中同时抽取2个小球，其中黄球和绿球各1个的概率是，某消费者抽奖一次.

1

3

(1)求其获得一等奖的概率；

(2)记抽到的绿球个数为，求的分布列及其期望.

��

【答案】(1)；

1

45

(2)

012

�

252

�

999

.

��=1

【分析】（1）根据题设确定10个小球中黄球、绿球的个数，再由古典概型的概率求法求概率；

（2）由题设的取值是，应用超几何的概率求法求对应概率值，写出分布列，进而求期望.

�0,1,2

【详解】（1）设10个小球中黄球为个，绿球为个，且，

**

���>�,�∈�,�∈�

由题意得，，解得，则红球有个，

112

C�⋅C�1

2

C10=3�=3,�=5

记事件：某消费者抽奖一次获得一等奖，则，

2

C21

2

���=C10=45

所以该消费者获得一等奖的概率为.

1

45

（）由题意，的取值是，则，，，

2021120

C5⋅C52C5⋅C55C5⋅C52

222

�0,1,2��=0=C10=9��=1=C10=9��=2=C10=9

的分布列为：

�

012

�

252

�

999

期望.

252

��=0×9+1×9+2×9=1

【变式3】（2026·河北保定·三模）2026年某市为提振实体经济，对该市小微企业开展经营状况调研，随机抽取的

10家企业中，有6家企业营收正增长，4家企业营收负增长.

(1)从这10家企业中随机抽取2家，求恰好抽到1家营收正增长、1家营收负增长的企业的概率；

(2)从这10家企业中随机抽取3家，记为抽到的营收正增长的企业数量，求的分布列与数学期望.

��

【答案】(1)

8

15

(2)的分布列为：

�

0123

�

1311

�

301026

9

��=

【分析】5（1）根据古典概型的概率公式可求相应概率；

（2）根据超几何分布可求的分布列，结合数学期望公式可求.

���

【详解】（1）设为“恰好抽到1家营收正增长、1家营收负增长的企业”，

�

则

11.

C6C46×4248

22

��=C10=C10=45=15

（2）可取，

�0,1,2,3

而，，

312

C441C6C4363

33

��=0=C10=120=30��=1=C10=120=10

，，

2130

C6C4601C6C4201

33

��=2=C10=120=2��=3=C10=120=6

故的分布列为：

�

0123

�

1311

�