北师大版高中数学第9单元立体几何习题及答案

北师大版高中数学第9单元立体几何习题及答案第1页共1页北师大版高中数学第9单元立体几何习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于y轴对称的点的坐标是A.(-1,2,3)B.(1,-2,3)C.(-1,-2,-3)D.(1,2,-3)参考答案：A2.已知直线l1:x=1,l2:y=2,则直线l1与l2的位置关系是A.平行B.相交C.重合D.异面参考答案：D3.若直线l:ax+y-1=0与直线l':x+by+2=0互相垂直，则ab的值是A.-1B.1C.2D.-2参考答案：A4.过点A(1,2)且与平面π:x+y+z=1平行的平面方程是A.x+y+z=3B.x+y+z=-1C.x+y+z=0D.x-y+z=1参考答案：A5.已知三棱锥D-ABC的顶点D在底面ABC上的射影为△ABC的重心，若△ABC的面积为S，则三棱锥D-ABC的体积为A.1/3SB.2/3SC.3/4SD.S参考答案：A6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC与直线B1D的位置关系是A.平行B.相交C.异面D.重合参考答案：C7.已知平面α与平面β的夹角为30°，直线l在平面α内，则直线l与平面β所成角的取值范围是A.[0°,30°]B.[0°,60°]C.[30°,90°]D.[0°,90°]参考答案：B8.过点A(1,0,0)且与直线l:x=t,y=2t+1,z=t-1平行的直线方程是A.x=1+t,y=2t+1,z=t-1B.x=1-t,y=-2t+1,z=t-1C.x=1,y=2t,z=t-1D.x=1,y=-2t,z=t-1参考答案：A9.已知直线l1:x+y-1=0与直线l2:x-y+2=0的夹角为θ，则θ的值是A.30°B.45°C.60°D.90°参考答案：C10.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)到平面π:x+y+z=1的距离是A.√3/3B.√6/3C.√11/3D.1参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于原点对称的点的坐标是______。参考答案：(-1,-2,-3)2.已知直线l:x=1,l2:y=2,则直线l1与l2的夹角大小是______度。参考答案：903.若直线l:ax+y-1=0与直线l':x+by+2=0互相垂直，则a与b的关系是______。参考答案：a=2b4.过点A(1,2)且与平面π:x+y+z=1平行的平面方程是______。参考答案：x+y+z=65.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC与直线B1D所成角的余弦值是______。参考答案：√2/26.已知平面α与平面β的夹角为30°，直线l在平面α内，则直线l与平面β所成角的正弦值是______。参考答案：√3/27.过点A(1,0,0)且与直线l:x=t,y=2t+1,z=t+3平行的直线方程是______。参考答案：x=1,y=2x+1,z=3x+38.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)到平面π:x+y+z=1的距离是______。参考答案：√6/39.已知三棱锥D-ABC的顶点D在底面ABC上的射影为△ABC的重心，若△ABC的面积为S，则三棱锥D-ABC的体积是______。参考答案：S/3√310.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于平面x+y+z=1对称的点的坐标是______。参考答案：(-1/3,-1/3,-1/3)三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于原点对称的点的坐标是(-1,-2,-3)。参考答案：√2.如果直线l1:x+2y-1=0与直线l2:a(x-1)+y+2=0平行，那么a的值是-2。参考答案：×3.已知空间中三点A(1,0,2),B(3,1,1),C(2,3,-1)，那么这三点一定共线。参考答案：×4.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱BB₁的中点，那么直线AE与直线BC₁是异面直线。参考答案：√5.如果平面α和平面β相交于直线l，点A在平面α内，点B在平面β内，且点A、B不在直线l上，那么直线AB与直线l一定是异面直线。参考答案：×6.已知直线l₁:x+2y-1=0与直线l₂:a(x-1)+y+2=0垂直，那么a的值是-1/2。参考答案：×7.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=3，AB=4，AC=5，那么三棱锥P-ABC的体积是12。参考答案：×8.已知圆O的半径为2，点A在圆外，点B在圆上，且向量OA与向量OB的夹角为60度，那么向量OA与向量OB的模长之积是4。参考答案：√9.在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为2的等边三角形，那么三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积是4√3。参考答案：×10.在正四面体ABCD中，点P为棱AD的中点，点Q为棱BC的中点，那么直线PQ与直线AD是异面直线。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知空间中直线l与平面α斜交，直线l与平面α所成的角为30°，求直线l在平面α内的投影与直线l所成角的余弦值。参考答案：√3/22.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱BB₁的中点，点F为棱CC₁的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值。参考答案：√2/23.已知空间中三点A(1,0,2),B(3,1,1),C(2,3,-1)，判断三点是否共线，并说明理由。参考答案：不共线4.在空间直角坐标系中，平面α的方程为x+2y-2z+1=0，求点P(1,2,3)到平面α的距离。参考答案：√14/25.已知空间中直线l₁:x+y+z=1与直线l₂:x-y+z=2相交，求交点坐标。参考答案：(1,0,0)6.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱AA₁的中点，点F为棱BB₁的中点，求三棱锥EBC的体积。参考答案：1/67.已知空间中平面α和平面β相交于直线l，点A在平面α内，点B在平面β内，且AB=5，若点A到直线l的距离为3，求点B到直线l的距离。参考答案：48.在空间直角坐标系中，平面α的方程为2x-y+z=1，平面β的方程为x+y-2z=3，求平面α与平面β所成二面角的余弦值。参考答案：√15/5五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)和点B(3,0,2)，求向量AB的模长和方向余弦。参考答案：|AB|=√17,cosα=4/√17,cosβ=-2/√17,cosγ=3/√172.已知空间中直线l的方程为x=2t+1,y=3t-1,z=t+2，求直线l的方向向量。参考答案：(2,3,1)3.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱AA₁的中点，点F为棱BC的中点，求向量EF的坐标表示。参考答案：(-1,2,0)4.判断平面α和平面β是否平行，已知平面α的方程为2x+y-2z=5，平面β的方程为4x+2y-4z=10。参考答案：√5.求过点A(1,2,3)且与平面α:x+y+z=1平行的平面方程。参考答案：x+y+z=66.在空间直角坐标系中，已知点P(1,2,3)在平面α:2x-y+3z=6上，求点P到平面α的距离。参考答案：|AP|=17.已知空间中直线l₁:x=1+t,y=2-t,z=3+2t与直线l₂:x=2-2s,y=3+s,z=1+s的交点，求交点的坐标。参考答案：(3,1,2)8.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱AA₁的中点，点F为棱BC的中点，求直线EF与平面ABCD所成的角。参考答案：arctan(√2/2)标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：A解析：本题考查空间直角坐标系中点的对称性。点A(1,2,3)关于y轴对称的点的坐标应为(-1,2,3)，因为y轴对称只改变x坐标的符号，故A正确，B、C、D错误。2.参考答案：D解析：本题考查空间直线的位置关系。直线l1:x=1是垂直于x轴的直线，直线l2:y=2是垂直于y轴的直线，它们不在同一平面内，因此是异面直线，故D正确，A、B、C错误。3.参考答案：A解析：本题考查直线垂直的条件。直线l1:ax+y-1=0的斜率为-k/a，直线l':x+by+2=0的斜率为-1/b，两直线垂直的条件是斜率之积为-1，即(-k/a)×(-1/b)=-1，解得ab=-1，故A正确，B、C、D错误。4.参考答案：A解析：本题考查平面方程的求解。过点A(1,2)且与平面π:x+y+z=1平行的平面方程应为x+y+z+d=0，将点A(1,2)代入得1+2+d=0，解得d=-3，故平面方程为x+y+z=3，故A正确，B、C、D错误。5.参考答案：A解析：本题考查三棱锥体积的计算。三棱锥D-ABC的顶点D在底面ABC上的射影为△ABC的重心，根据三棱锥体积公式V=1/3Sh，其中S为底面积，h为高，由于重心将中线分为2:1，因此三棱锥的高为△ABC高的2/3，故体积为1/3×S×(2/3×h)=1/3S，故A正确，B、C、D错误。6.参考答案：C解析：本题考查空间直线位置关系的判断。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC为正方体的对角线，直线B1D为正方体的另一条对角线，它们不在同一平面内，因此是异面直线，故C正确，A、B、D错误。7.参考答案：B解析：本题考查直线与平面所成角的计算。直线l在平面α内，则直线l与平面α的夹角为0°，直线l与平面β所成角的最大值为90°，最小值为0°，因此取值范围是[0°,60°]，故B正确，A、C、D错误。8.参考答案：A解析：本题考查直线方程的求解。过点A(1,0,0)且与直线l:x=t,y=2t+1,z=t-1平行的直线方程应为x=1+t,y=2t,z=t，将点A(1,0,0)代入得1=1+t,0=2t,0=t-1，解得t=0，故直线方程为x=1+t,y=2t+1,z=t-1，故A正确，B、C、D错误。9.参考答案：C解析：本题考查直线夹角的计算。直线l1:x+y-1=0的斜率为-1，直线l2:x-y+2=0的斜率为1，两直线夹角的余弦值为(斜率1×斜率-1)/(√(斜率1²+斜率-1²))=1/√2，因此夹角为60°，故C正确，A、B、D错误。10.参考答案：A解析：本题考查点到平面的距离公式。点A(1,2,3)到平面π:x+y+z=1的距离为d=|1+2+3-1|/√(1²+1²+1²)=√3/3，故A正确，B、C、D错误。二、填空题1.参考答案：(-1,-2,-3)解析：本题考查空间直角坐标系中点的对称性。点A(1,2,3)关于原点对称的点的坐标，即为将点A的坐标分别取相反数，得到(-1,-2,-3)。2.参考答案：90解析：本题考查空间直角坐标系中直线与直线的夹角。直线l1:x=1是垂直于x轴的直线，直线l2:y=2是垂直于y轴的直线，因此l1与l2是垂直的，夹角大小为90度。3.参考答案：a=2b解析：本题考查空间直角坐标系中直线与直线的垂直关系。直线l:ax+y-1=0的斜率为-a，直线l':x+by+2=0的斜率为-1/b，两直线垂直的条件是斜率的乘积为-1，即-a(-1/b)=-1，解得a=2b。4.参考答案：x+y+z=6解析：本题考查空间直角坐标系中平面方程的求解。过点A(1,2)且与平面π:x+y+z=1平行的平面方程，与平面π方程相同，但常数项不同。将点A代入平面π方程，得1+2+1=4，因此所求平面方程为x+y+z=6。5.参考答案：√2/2解析：本题考查空间直角坐标系中直线与直线的夹角。直线AC的方向向量为(1,1,1)，直线B1D的方向向量为(-1,1,-1)，两直线夹角的余弦值为两方向向量的点积除以模长的乘积，即(1,1,1)•(-1,1,-1)/√3√3=1/3，因此夹角的余弦值为√2/2。6.参考答案：√3/2解析：本题考查空间直角坐标系中直线与平面的夹角。直线l与平面β所成角的正弦值，即为直线l的方向向量与平面β的法向量的夹角的余弦值的正弦值。平面β的法向量为(1,1,1)，直线l的方向向量为(1,2,1)，两向量的夹角的余弦值为(1,2,1)•(1,1,1)/√6√3=2/3，因此夹角的正弦值为√3/2。7.参考答案：x=1,y=2x+1,z=3x+3解析：本题考查空间直角坐标系中直线方程的求解。过点A(1,0,0)且与直线l:x=t,y=2t+1,z=t+3平行的直线方程，即为将直线l的参数方程中的参数t替换为x，得到x=1,y=2x+1,z=3x+3。8.参考答案：√6/3解析：本题考查空间直角坐标系中点到平面的距离。点A(1,2,3)到平面π:x+y+z=1的距离，即为点A到平面π的垂线段的长度。垂线段的长度公式为|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²)，将点A和平面π的方程代入，得|1+2+3-1|/√3=√6/3。9.参考答案：S/3√3解析：本题考查空间几何中三棱锥的体积。三棱锥D-ABC的顶点D在底面ABC上的射影为△ABC的重心，因此三棱锥的高为重心到顶点的距离的三倍。重心到顶点的距离为△ABC的面积S除以底面边长，因此三棱锥的高为S/√3，体积为1/3底面积高=S/3√3。10.参考答案：(-1/3,-1/3,-1/3)解析：本题考查空间直角坐标系中点关于平面的对称点。点A(1,2,3)关于平面x+y+z=1对称的点的坐标，可以通过以下步骤求解：首先求出点A到平面x+y+z=1的垂线段的垂足，垂足的坐标为(1/3,2/3,3/3)，然后对称点的坐标为垂足坐标的两倍减去点A的坐标，即(-1/3,-1/3,-1/3)。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查“空间直角坐标系中点关于原点的对称点”。根据空间直角坐标系中点关于原点对称的定义，点A(x,y,z)关于原点对称的点的坐标是(-x,-y,-z)。因此，点A(1,2,3)关于原点对称的点的坐标确实是(-1,-2,-3)。2.参考答案：×解析：本题考查“两条直线平行的条件”。两条直线l1:Ax+By+C=0与l2:A'x+B'y+C'=0平行的条件是A/A'=B/B'≠C/C'。对于直线l1:x+2y-1=0，A=1，B=2，C=-1；对于直线l2:a(x-1)+y+2=0，可以写成ax-a+y+2=0，即A'=a，B'=1，C'=-a+2。因此，平行的条件是1/a=2/1≠(-a+2)/(-1)，即a=1/2≠a-2。解得a=1/2，但a-2=-3/2≠0，所以a=1/2时两条直线平行。因此，a的值是1/2，而不是-2。3.参考答案：×解析：本题考查“空间中三点共线的条件”。三点A(1,0,2),B(3,1,1),C(2,3,-1)是否共线，可以通过判断向量AB与向量AC是否共线来判定。向量AB=(3-1,1-0,1-2)=(2,1,-1)，向量AC=(2-1,3-0,-1-2)=(1,3,-3)。由于向量AB与向量AC的坐标不成比例，即2/1≠1/3≠-1/-3，所以向量AB与向量AC不共线，因此三点A,B,C不共线。4.参考答案：√解析：本题考查“空间中两条直线是否为异面直线的判断”。在正方体ABCD-A₁B₁C₁中，点E为棱BB₁的中点，因此E的坐标是(2,0,1)。直线AE的方向向量为(2-1,0-2,1-3)=(1,-2,-2)。直线BC₁的方向向量为(1-0,2-3,1-0)=(1,-1,1)。由于向量(1,-2,-2)与向量(1,-1,1)的坐标不成比例，即1/1≠-2/-1≠-2/1，所以向量AE与向量BC₁不共线。又因为直线AE与直线BC₁没有公共点，所以直线AE与直线BC₁是异面直线。5.参考答案：×解析：本题考查“空间中两条直线是否为异面直线的判断”。虽然点A在平面α内，点B在平面β内，且点A、B不在直线l上，但直线AB可能与直线l相交。例如，如果平面α与平面β垂直，且直线l是两平面的交线，那么点A在平面α内，点B在平面β内，且点A、B不在直线l上，但直线AB可能与直线l相交于点A或点B。因此，直线AB与直线l不一定是异面直线。6.参考答案：×解析：本题考查“两条直线垂直的条件”。两条直线l₁:Ax+By+C=0与l₂:A'x+B'y+C'=0垂直的条件是A•A'+B•B'=0。对于直线l₁:x+2y-1=0，A=1，B=2；对于直线l₂:a(x-1)+y+2=0，可以写成ax-a+y+2=0，即A'=a，B'=1。因此，垂直的条件是1•a+2•1=0，即a+2=0，解得a=-2。因此，a的值是-2，而不是-1/2。7.参考答案：×解析：本题考查“三棱锥体积的计算”。三棱锥P-ABC的体积V可以用公式V=(1/3)×底面积×高来计算。底面ABC是直角三角形，AB=4，AC=5，BC=√(AB²+AC²)=√(4²+5²)=√(16+25)=√41。底面ABC的面积S=(1/2)×AB×AC=(1/2)×4×5=10。三棱锥P-ABC的高是PA=3。因此，三棱锥P-ABC的体积V=(1/3)×10×3=10，而不是12。8.参考答案：√解析：本题考查“向量数量积的计算”。向量OA与向量OB的夹角为60度，因此向量OA与向量OB的数量积为|OA|×|OB|×cos60°=|OA|×|OB|×(1/2)。由于点A在圆外，点B在圆上，且圆的半径为2，所以|OA|2，|OB|=2。因此，向量OA与向量OB的模长之积是|OA|×|OB|=2×|OA|，数量积为2×|OA|×(1/2)=|OA|。由于|OA|2，所以向量OA与向量OB的模长之积大于4，但题目中只问模长之积是否为4，因此需要进一步计算。由于题目没有给出|OA|的具体数值，无法计算数量积的具体值，但根据题目条件，向量OA与向量OB的模长之积确实大于4，因此题目中的说法是错误的。9.参考答案：×解析：本题考查“直三棱柱体积的计算”。直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是边长为2的等边三角形，底面ABC的面积S=(√3/4)×(2²)=(√3/4)×4=√3。直三棱柱的高是A₁B₁的长度，由于底面ABC是边长为2的等边三角形，所以A₁B₁的长度也是2。因此，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=底面积×高=√3×2=2√3，而不是4√3。10.参考答案：×解析：本题考查“空间中两条直线是否为异面直线的判断”。在正四面体ABCD中，点P为棱AD的中点，点Q为棱BC的中点，因此P的坐标是(1+0)/2=1/2，Q的坐标是(1+2)/2=3/2。直线PQ的方向向量为(3/2-1/2,0-0,0-1)=(1,0,-1)。直线AD的方向向量为(0-1,0-2,0-3)=(-1,-2,-3)。由于向量(1,0,-1)与向量(-1,-2,-3)的坐标不成比例，即1/(-1)≠0/(-2)≠-1/(-3)，所以向量PQ与向量AD不共线。又因为直线PQ与直线AD没有公共点，所以直线PQ与直线AD是异面直线。四、简答题1.参考答案：√3/2解析：本题考查“直线与平面所成角的余弦值”。设直线l与平面α的交点为O，过点O作直线l在平面α内的投影为l'，则∠LOO'即为直线l与平面α所成的角，∠LOO'=30°。根据余弦定理，cos∠LOO'=l'/Ol=√3/2。因此，直线l在平面α内的投影与直线l所成角的余弦值为√3/2。2.参考答案：√2/2解析：本题考查“异面直线所成角的余弦值”。连接A₁D₁，交BD₁于点G，连接EG，则∠EGC即为异面直线AE与CF所成角。在正方体中，A₁D₁平行于CF，且A₁D₁=√2，EG=√2/2，GC=√2/2。根据余弦定理，cos∠EGC=(EG²+GC²-EC²)/(2EGGC)=(√2/2)²+(√2/2)²-(√2)²/(2(√2/2)(√2/2))=√2/2。因此，异面直线AE与CF所成角的余弦值为√2/2。3.参考答案：不共线解析：本题考查“空间中三点共线”。向量AB=(3-1,1-0,1-2)=(2,1,-1)，向量AC=(2-1,3-0,-1-2)=(1,3,-3)。由于向量AB与向量AC不共线，因此三点A、B、C不共线。4.参考答案：√14/2解析：本题考查“点到平面的距离”。点P到平面α的距离d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)=|11+22-23+1|/√(1²+2²+(-2)²)=√14/2。因此，点P到平面α的距离为√14/2。5.参考答案：(1,0,0)解析：本题考查“空间中两直线相交”。联立方程组x+y+z=1和x-y+z=2，解得x=1,y=0,z=0。因此，交点坐标为(1,0,0)。6.参考答案：1/6解析：本题考查“三棱锥的体积”。正方体棱长为2，点E为棱AA₁的中点，点F为棱BB₁的中点，则三棱锥EBC的高为√2。底面三角形BCE的面积S=1/2BCCE=1/22√2=√2。三棱锥EBC的体积V=1/3Sh=1/3√2√2=1/6。因此，三棱锥EBC的体积为1/6。7.参考答案：4解析：本题考查“点到直线的距离”。过点A作直线l的垂线，垂足为H，则AH=3。由于AB=5，根据勾股定理，BH=√(AB²-AH²)=√(25-9)=4。因此，点B到直线l的距离为4。8.参考答案：√15/5解析：本题考查“平面与平面所成二面角的余弦值”。平面α的法向量为n₁=(2,-1,1)，平面β的法向量为n₂=(1,1,-2)。根据向量夹角公式，cosθ=(n₁•n₂)/(|n₁||n₂|)=(21+(-1)1+1(-2))/(√(2²+(-1)²+1²)√(1²+1²+(-2)²))=-1/(√6√6)=-1/6。因此，平面α与平面β所成二面角的余弦值为√15/5。五、应用题1.参考答案：|AB|=√17,cosα=4/√17,cosβ=-2/√17,cosγ=3/√17解析：本题考查空间向量的模长与方