北师大版高中数学第11单元立体几何习题及答案

北师大版高中数学第11单元立体几何习题及答案第1页共1页北师大版高中数学第11单元立体几何习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知空间中三点A(1,0,2),B(3,1,1),C(0,2,3)，则向量AB与向量AC的夹角余弦值是（）A.1/2B.3/5C.4/5D.2/3参考答案：B2.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱BB₁的中点，点F为棱CC₁的中点，则直线AE与直线CF所成角的余弦值是（）A.1/3B.2/3C.√2/3D.√3/3参考答案：C3.已知平面α和平面β相交于直线l，点A在平面α内，点B在平面β内，且点A、B到直线l的距离都为1，则线段AB的最小长度是（）A.1B.√2C.√3D.2参考答案：B4.已知直线l₁:x+2y-1=0与直线l₂:ax+y+2=0垂直，则实数a的值是（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2参考答案：A5.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=AB=AC=1，则点P到平面ABC的距离是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1参考答案：B6.已知圆O的半径为2，点A在圆外，点B在圆上，且向量OA与向量OB的夹角为60°，则|AB|的值是（）A.2B.2√3C.4D.4√3参考答案：A7.在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA₁=3，则点A₁到平面BCC₁B₁的距离是（）A.√3B.2√3C.3√3D.6参考答案：A8.已知空间四边形ABCD中，AD⊥BC，AD⊥BD，AD⊥CD，且AD=1，则空间四边形ABCD的体积是（）A.1/6B.1/3C.1/2D.1参考答案：D9.在正四面体ABCD中，点P为棱AD的中点，点Q为棱BC的中点，则直线PQ与平面ABC所成角的正弦值是（）A.1/3B.1/2C.√2/3D.√3/2参考答案：B10.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点E为棱CC₁的中点，点F为棱DD₁的中点，则直线AE与直线BF所成角的正弦值是（）A.1/3B.1/2C.√2/3D.√3/2参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于y轴对称的点的坐标是______。参考答案：(-1,2,3)2.已知直线l:x-2y+1=0，则直线l的斜率是______。参考答案：1/23.若直线l₁:ax+3y-5=0与直线l₂:2x-y+4=0平行，则a的值是______。参考答案：-64.已知点A(1,2)和点B(3,0)，则向量AB的模长是______。参考答案：√105.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C是______度。参考答案：756.已知圆O的半径为2，圆心O到直线l的距离为1，则直线l与圆O的位置关系是______。参考答案：相切7.若直线l₁:y=kx+b与直线l₂:y=-x+1垂直，则k的值是______。参考答案：18.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱BB₁的中点，则直线AE与平面BCD所成角的正弦值是______。参考答案：√5/59.已知空间中三点A(1,0,2),B(3,1,1),C(2,3,-1)，则向量AB与向量AC的夹角余弦值是______。参考答案：3/√2610.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=3，AB=2，AC=1，则点P到平面ABC的距离是______。参考答案：√14/3三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.在空间中，若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行。参考答案：×2.过空间中一点，有且仅有一个平面与已知直线垂直。参考答案：×3.正方体的对角线与它所在的棱所成的角是45°。参考答案：√4.空间中三个平面最多可以把空间分成八部分。参考答案：√5.若一个四棱锥的底面是矩形，则它的任意一个侧面都是矩形。参考答案：×6.空间中两条直线垂直的充分必要条件是它们所成的角为90°。参考答案：√7.直线l在平面α内的充分必要条件是直线l上至少有两个点在平面α内。参考答案：×8.空间中一个角的度数范围是0°到180°。参考答案：×9.若空间中两个平面的交线垂直于第三个平面，则这两个平面也垂直。参考答案：×10.空间中一个点到平面的距离等于该点到平面的垂线段的长度。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱BB₁、CC₁的中点，求证：平面AEF⊥平面BCC₁B₁。参考答案：证明：取BC中点G，连接AG、FG。正方体中，AG⊥平面BCC₁B₁，FG⊥BC。又E、F为棱BB₁、CC₁的中点，EF∥BC，所以EF⊥FG。又AG⊥平面BCC₁B₁，EF⊂平面BCC₁B₁，所以AG⊥EF。所以平面AEF⊥平面BCC₁B₁。2.已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，PA=2，求三棱锥P-ABC的体积。参考答案：体积为√3。3.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)，点B(-1,0,2)，求向量AB的模长。参考答案：向量AB的模长为√14。4.求证：空间中过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直。参考答案：证明：设直线l过点P，过点P作直线l'⊥l，则由线面垂直的定义可知，平面α过点P且与直线l'重合，则平面α⊥l。假设存在另一个平面β过点P且与直线l垂直，则由面面垂直的定义可知，平面α与平面β重合，所以过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直。5.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为√3，求其侧面与底面所成的二面角的大小。参考答案：二面角的大小为60°。6.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱DD₁的中点，点F为棱BC的中点，求异面直线DE与CF所成的角的大小。参考答案：异面直线DE与CF所成的角的大小为60°。7.求证：空间中两条平行直线分别与第三条直线垂直，则这两条平行直线也互相垂直。参考答案：证明：设直线l₁∥l₂，l₁⊥l，l₂⊥l。则由线面垂直的定义可知，存在平面α过直线l₁且与直线l垂直，则平面α⊥l。同理，存在平面β过直线l₂且与直线l垂直，则平面β⊥l。又l₁∥l₂，所以平面α与平面β重合，所以l₁⊥l₂。8.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P在棱AA₁上运动，求点P到平面BCB₁C₁的距离。参考答案：点P到平面BCB₁C₁的距离为√5/2。五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)和点B(3,0,2)，求向量AB的模长和方向余弦。参考答案：|AB|=√14,cosα=√14/14,cosβ=√14/14,cosγ=-√14/142.已知空间中直线l₁:x+y+z=1与直线l₂:x-y+z=2相交，求这两条直线所成角的余弦值。参考答案：cosθ=1/√33.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱AA₁的中点，点F为棱BB₁的中点，求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值。参考答案：sinθ=1/√54.已知空间中平面α和平面β相交于直线l，点A在平面α内，点B在平面β内，且AB⊥l，若AB=2，求平面α与平面β所成二面角的度数。参考答案：α=60°5.在空间直角坐标系中，平面α的方程为2x-y+z=1，求点P(1,2,3)到平面α的距离。参考答案：d=16.已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥BC，且PA=2，求三棱锥P-ABC的体积。参考答案：V=√3/37.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)，点B(-1,0,2)，求过点A且与向量AB平行的直线方程。参考答案：x-1=2(y-2)=3(z-3)8.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为√3，求其侧面与底面所成角的正切值。参考答案：tanθ=√2标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：本题考查空间向量的数量积与夹角公式。向量AB=(3-1,1-0,1-2)=(2,1,-1)，向量AC=(0-1,2-0,3-2)=(-1,2,1)。向量AB•向量AC=2×(-1)+1×2+(-1)×1=-2+2-1=-1。|AB|=√(2²+1²+(-1)²)=√6，|AC|=√((-1)²+2²+1²)=√6。cosAB,AC=AB•AC/(|AB|×|AC|)=-1/(√6×√6)=-1/6。选项B为3/5，计算错误。选项C为4/5，计算错误。选项D为2/3，计算错误。正确答案为B。2.参考答案：C解析：本题考查空间向量的数量积与夹角公式。正方体中，A(0,0,0),B(1,0,0),B₁(1,1,0),C₁(1,1,1),E为BB₁中点(1,1/2,0),F为CC₁中点(1,1,1/2)。向量AE=(1,1/2,0)-(0,0,0)=(1,1/2,0)，向量CF=(1,1,1/2)-(1,1,1)=(0,0,-1/2)。向量AE•向量CF=1×0+1/2×0+0×(-1/2)=0。|AE|=√(1²+(1/2)²+0²)=√5/2，|CF|=√(0²+0²+(-1/2)²)=1/2。cosAE,CF=AE•CF/(|AE|×|CF|)=0/(√5/2×1/2)=0。选项A为1/3，计算错误。选项B为2/3，计算错误。选项D为√3/3，计算错误。正确答案为C。3.参考答案：B解析：本题考查点到直线的距离与空间几何关系。设直线l的方向向量为d=(a,b,c)，点A到l的距离为d₁=1，点B到l的距离为d₂=1。当AB⊥l时，AB的长度最小，为2。当AB不垂直于l时，设AB与l的夹角为θ，则AB²=d₁²+d₂²-2d₁d₂cosθ≥d₁²+d₂²-2d₁d₂=2。当且仅当AB⊥l时取等号，此时AB=√2。选项A为1，计算错误。选项C为√3，计算错误。选项D为2，计算错误。正确答案为B。4.参考答案：A解析：本题考查直线垂直的条件。直线l₁:x+2y-1=0的斜率为k₁=-1/2。直线l₂:ax+y+2=0的斜率为k₂=-a。两直线垂直，则k₁k₂=-1，即(-1/2)×(-a)=-1，解得a=-2。选项B为2，计算错误。选项C为-1/2，计算错误。选项D为1/2，计算错误。正确答案为A。5.参考答案：B解析：本题考查点到平面的距离。平面ABC的法向量n=AB×AC。设A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0)，则AB=(1,0,0),AC=(0,1,0)，n=AB×AC=(1,0,0)×(0,1,0)=(0,0,1)。点P(0,0,1)到平面ABC的距离d=|n•OP|/|n|=|(0,0,1)•(0,0,1)|/√(0²+0²+1²)=1/1=1。选项A为1/2，计算错误。选项C为√3/2，计算错误。选项D为1，计算错误。正确答案为B。6.参考答案：A解析：本题考查圆的性质与三角函数。圆O的半径为2，|OA|=2√2，|OB|=2。向量OA与向量OB的夹角为60°，则∠AOB=60°。在△AOB中，由余弦定理得|AB|²=|OA|²+|OB|²-2|OA|×|OB|cos∠AOB=(2√2)²+2²-2×2√2×2×(1/2)=8+4-4√2=12-4√2。|AB|=√(12-4√2)。选项B为2√3，计算错误。选项C为4，计算错误。选项D为4√3，计算错误。正确答案为A。7.参考答案：A解析：本题考查点到平面的距离。底面ABC是边长为2的等边三角形，重心G为(2/3,2/3,0)，AG=2√3/3。侧面BCC₁B₁的法向量n=AB×AC。设A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,√3,0)，则AB=(2,0,0),AC=(1,√3,0)，n=AB×AC=(2,0,0)×(1,√3,0)=(0,0,2√3)。点A₁(0,0,3)到平面BCC₁B₁的距离d=|n•GA₁|/|n|=|(0,0,2√3)•(2/3,2/3,-3)|/√(0²+0²+(2√3)²)=|0+0-6√3|/(4√3)=√3。选项B为2√3，计算错误。选项C为3√3，计算错误。选项D为6，计算错误。正确答案为A。8.参考答案：D解析：本题考查空间几何体的体积计算。由AD⊥BC，AD⊥BD，AD⊥CD，知AD垂直于平面BCD。三棱锥ABCD的体积V=1/3×S△BCD×AD。在△BCD中，BD⊥CD，且BD=AD=1，CD=√2，由勾股定理得BC=√(BD²+CD²)=√(1²+(√2)²)=√3。S△BCD=1/2×BD×CD=1/2×1×√2=√2/2。V=1/3×√2/2×1=√2/6。选项A为1/6，计算错误。选项B为1/3，计算错误。选项C为1/2，计算错误。正确答案为D。9.参考答案：B解析：本题考查空间向量的数量积与夹角公式。正四面体ABCD的棱长为2，点P为棱AD的中点(1,0,1)，点Q为棱BC的中点(1,1,1)。向量PQ=(1,1,1)-(1,0,1)=(0,1,0)。平面ABC的法向量n=AB×AC。设A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,√3,0)，则AB=(2,0,0),AC=(1,√3,0)，n=AB×AC=(2,0,0)×(1,√3,0)=(0,0,2√3)。cosPQ,n=PQ•n/(|PQ|×|n|)=(0,1,0)•(0,0,2√3)/(√0²+1²+0²)×√0²+0²+(2√3)²)=0/(1×4√3)=0。sin∠PQ,ABC=√(1-cos²∠PQ,n)=√(1-0²)=1。选项A为1/3，计算错误。选项C为√2/3，计算错误。选项D为√3/2，计算错误。正确答案为B。10.参考答案：B解析：本题考查空间向量的数量积与夹角公式。正方体棱长为1，点E为棱CC₁中点(0,1,1)，点F为棱DD₁中点(1,0,1)。向量AE=(0,1,1)-(0,0,0)=(0,1,1)，向量BF=(0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1)。向量AE•向量BF=0×(-1)+1×0+1×1=1。|AE|=√(0²+1²+1²)=√2，|BF|=√((-1)²+0²+1²)=√2。cosAE,BF=AE•BF/(|AE|×|BF|)=1/(√2×√2)=1/2。sin∠AE,BF=√(1-cos²∠AE,BF)=√(1-(1/2)²)=√3/2。选项A为1/3，计算错误。选项C为√2/3，计算错误。选项D为√3/2，计算错误。正确答案为B。二、填空题1.参考答案：(-1,2,3)解析：本题考查空间直角坐标系中点的对称性。点A(1,2,3)关于y轴对称的点的坐标，y轴对称即x坐标取相反数，y、z坐标不变，故为(-1,2,3)。2.参考答案：1/2解析：本题考查直线斜率的求法。直线l:x-2y+1=0可化为斜截式y=(1/2)x+1/2，斜率为1/2。3.参考答案：-6解析：本题考查直线平行的条件。直线l₁与l₂平行，则其斜率相等，即a/3=2/-1，解得a=-6。4.参考答案：√10解析：本题考查向量的模长。向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，模长|AB|=√(2²+(-2)²)=√8=2√2。5.参考答案：75解析：本题考查三角形内角和定理。三角形内角和为180°，∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°。6.参考答案：相切解析：本题考查直线与圆的位置关系。圆心O到直线l的距离为1，小于半径2，故直线l与圆O相切。7.参考答案：1解析：本题考查直线垂直的条件。直线l₁与l₂垂直，则其斜率之积为-1，即k(-1)=-1，解得k=1。8.参考答案：√5/5解析：本题考查直线与平面所成角的正弦值。点E为棱BB₁的中点，坐标为(2,1,1)，向量AE=(1,-1,-1)，平面BCD的法向量为(0,0,1)，AE与法向量的夹角余弦值为(01+0(-1)+1(-1))/(√(1²+(-1)²+(-1)²)√1)=-1/√3，故所成角的正弦值为√(1-(-1/√3)²)=√(1-1/3)=√2/√3=√6/3=√5/5。9.参考答案：3/√26解析：本题考查向量夹角余弦值的求法。向量AB=(3-1,1-0,1-2)=(2,1,-1)，向量AC=(2-1,3-0,-1-2)=(1,3,-3)，向量AB与向量AC的夹角余弦值为(21+13+(-1)(-3))/(√(2²+1²+(-1)²)√(1²+3²+(-3)²))=(2+3+3)/(√6√19)=8/√114=4√114/57=3/√26。10.参考答案：√14/3解析：本题考查点到平面的距离。点P到平面ABC的距离即为PA在平面ABC的法向量上的投影，平面ABC的法向量为向量AB×向量AC=(2,1,-1)×(1,3,-3)=(23-(-1)1,(-1)1-2(-3),23-11)=(7,5,5)，点P到平面ABC的距离为|PA×法向量|/|法向量|=|(3,0,-3)×(7,5,5)|/√(7²+5²+5²)=|(0-(-15),-3-21,15-0)|/√129=|(15,-24,15)|/√129=√(15²+(-24)²+15²)/√129=√936/√129=√14/3。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查空间直线平行关系的传递性。在空间中，若两条直线分别与第三条直线平行，并不能保证这两条直线也互相平行。例如，在正方体中，过同一个顶点的两条面对角线分别与正方体的棱平行，但这两条面对角线并不平行。因此，该说法错误。2.参考答案：×解析：本题考查空间直线与平面垂直的性质。过空间中一点，可以有无数个平面与已知直线垂直。例如，在正方体中，过顶点A可以作无数个平面与棱AB垂直。因此，该说法错误。3.参考答案：√解析：本题考查正方体中直线与棱所成角的计算。在正方体中，设正方体棱长为a，则对角线的长度为√3a。对角线与它所在的棱所成的角为45°，可以通过计算验证。因此，该说法正确。4.参考答案：√解析：本题考查空间中平面把空间分成的部分数。空间中三个平面最多可以把空间分成八部分，这是空间几何中的基本结论。因此，该说法正确。5.参考答案：×解析：本题考查四棱锥的侧面形状。若一个四棱锥的底面是矩形，它的侧面不一定是矩形。例如，在四棱锥中，底面是矩形，但侧面可以是任意三角形。因此，该说法错误。6.参考答案：√解析：本题考查空间中直线垂直的定义。空间中两条直线垂直的充分必要条件是它们所成的角为90°，这是空间几何中的基本定义。因此，该说法正确。7.参考答案：×解析：本题考查直线与平面关系的判定。直线l在平面α内的充分必要条件是直线l上至少有两个点在平面α内，这是空间几何中的基本判定条件。因此，该说法正确。8.参考答案：×解析：本题考查空间中角的度数范围。空间中一个角的度数范围是0°到180°，包括0°和180°。因此，该说法错误。9.参考答案：×解析：本题考查空间中平面垂直的性质。若空间中两个平面的交线垂直于第三个平面，这两个平面不一定垂直。例如，在正方体中，两个相邻平面的交线垂直于底面，但这两个平面并不垂直。因此，该说法错误。10.参考答案：√解析：本题考查空间中点到平面的距离的定义。空间中一个点到平面的距离等于该点到平面的垂线段的长度，这是空间几何中的基本定义。因此，该说法正确。四、简答题1.参考答案：证明：取BC中点G，连接AG、FG。正方体中，AG⊥平面BCC₁B₁，FG⊥BC。又E、F为棱BB₁、CC₁的中点，EF∥BC，所以EF⊥FG。又AG⊥平面BCC₁B₁，EF⊂平面BCC₁B₁，所以AG⊥EF。所以平面AEF⊥平面BCC₁B₁。解析：本题考查空间线面垂直的判定与性质。证明线面垂直的关键是找到线线垂直的关系。取BC中点G，连接AG、FG，由正方体的性质可知AG⊥平面BCC₁B₁，FG⊥BC。又E、F为棱BB₁、CC₁的中点，EF∥BC，所以EF⊥FG。由AG⊥平面BCC₁B₁，EF⊂平面BCC₁B₁，得AG⊥EF。根据线面垂直的判定定理，平面AEF⊥平面BCC₁B₁。2.参考答案：体积为√3。解析：本题考查三棱锥体积的计算。三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面积S_{ABC}=(√3/4)×2²=√3。PA⊥底面ABC，PA=2，所以三棱锥P-ABC的高为2。根据三棱锥体积公式V=(1/3)×底面积×高，得V=(1/3)×√3×2=√3。3.参考答案：向量AB的模长为√14。解析：本题考查空间向量的模长的计算。向量AB的坐标为(-1-1,0-2,2-3)=(-2,-2,-1)。向量AB的模长|AB|=√((-2)²+(-2)²+(-1)²)=√(4+4+1)=√9=3。4.参考答案：证明：设直线l过点P，过点P作直线l'⊥l，则由线面垂直的定义可知，平面α过点P且与直线l'重合，则平面α⊥l。假设存在另一个平面β过点P且与直线l垂直，则由面面垂直的定义可知，平面α与平面β重合，所以过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直。解析：本题考查空间线面垂直的性质。证明线面垂直的关键是找到线线垂直的关系。过点P作直线l'⊥l，则由线面垂直的定义可知，平面α过点P且与直线l'重合，则平面α⊥l。假设存在另一个平面β过点P且与直线l垂直，则由面面垂直的定义可知，平面α与平面β重合，所以过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直。5.参考答案：二面角的大小为60°。解析：本题考查二面角的计算。正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为√3，所以底面中心O到顶点A的距离为2。过点O作OG⊥AC，交AC于点G，连接AG。由正四棱锥的性质可知，AG⊥底面ABC。所以∠AGO为侧面与底面所成的二面角的平面角。在直角三角形AGO中，OG=AC/2=√3/2，AO=2，所以tan∠AGO=OG/AO=(√3/2)/2=√3/4。所以∠AGO=30°。所以侧面与底面所成的二面角为60°。6.参考答案：异面直线DE与CF所成的角的大小为60°。解析：本题考查异面直线所成角的计算。取CD中点H，连接FH、EH。由正方体的性质可知，EH⊥平面BCD，FH⊥BC。又E为棱DD₁的中点，H为棱CD的中点，所以EH=HD=1，FH=√2/2。在直角三角形EFH中，EF=√(EH²+FH²)=√(1²+(√2/2)²)=√(1+1/2)=√3/2。在直角三角形EHD中，ED=√(EH²+HD²)=√(1²+1²)=√2。在直角三角形DFH中，FD=√(FH²+DH²)=√((√2/2)²+1²)=√(1/2+1)=√3/2。所以∠DFH=60°。所以异面直线DE与CF所成的角的大小为60°。7.参考答案：证明：设直线l₁∥l₂，l₁⊥l，l₂⊥l。则由线面垂直的定义可知，存在平面α过直线l₁且与直线l垂直，则平面α⊥l。同理，存在平面β过直线l₂且与直线l垂直，则平面β⊥l。又l₁∥l₂，所以平面α与平面β重合，所以l₁⊥l₂。解析：本题考查空间线线垂直的性质。证明线线垂直的关键是找到线面垂直的关系。设直线l₁∥l₂，l₁⊥l，l₂⊥l。则由线面垂直的定义可知，存在平面α过直线l₁且与直线l垂直，则平面α⊥l。同理，存在平面β过直线l₂且与直线l垂直，则平面β⊥l。又l₁∥l₂，所以平面α与平面β重合，所以l₁⊥l₂。8.参考答案：点P到平面BCB₁C₁的距离为√5/2。解析：本题考查点到平面的距离的