人教A版选修2-2 211合情推理 学案

2.1.1合情推理

明目标、知重点

1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.

2.了解合情推理在数学发现中的作用.

填要点•记疑点

1.归纳推理和类比推理

定义特征

归由某类事物的舱困遂具有某些特征，推

纳出该类事物的全部对象都具有这些特征的归纳推理是由部分到整体,由个别至J一般

推推理，或者由个别事实概括出一般结论的的推理

理推理

类

由两类对象具有某些类似特征和其中一类

比

对象的某些已知特征,推出另•类对象也类比推理是由特稣到特稣的推理

推

具有这些特征的推理

理

2.合情推理

(D含义

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类

也，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.

(2)合情推理的过程

探要点•究所然

情境导学］

佛教《百喻经》中有这样一则故事.从前有一位富翁想吃芒果，打发他的仆人到果园云买，

并告诉他：“要甜的，好吃的，你才买.”仆人拿好钱就去了.到了果园，园主说：“我这

里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看.”仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢？我应当

个个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠.”仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜

的就都买回去.带回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了.

想一想；故事中仆人的做法熨际吗？换作你，你会怎么做？学习了下面的知识，你将清楚是

何道理.

探究点一归纳推理

思考1在日常生活中我仅常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家

等现象时，我们会得出一个判断一一天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断一一张三

一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就

是推理，请问你认为什么是推理？

答根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理.

思考2观察下面两个推理，回答后面的两个问题：

(1)哥德巴赫猜想：

6=3+3

8=3+5

10=5+5

12=5+7

14=7+7

16=5+11

1000=294-971

1002=139+863

猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和.

(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电.

问题：①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？

②其结论一定正确吗？

答①共同特点：部分推出整体，个别推出一般.(这种推理称为归纳推理)

②其结论不一定正确.

反思与感悟归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对

象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归

纳).

例1已知数列｛a｝的第1项a=1,且&+1=£一(〃=：,2,3,…)，试归纳出这个数列的通

项公式.

解当〃=】时，疑=1；

当〃=2时,色=丁，7=：；

21

当〃=3时，的

当〃=4时，，&=---

1+3

通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出&

反思与感悟归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相

同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).

归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项找出数列项的规律，归纳数列的通项

公式或探求数列的前〃项和公式.

跟踪训练1已知数列｛4｝满足a=1,&+尸2a+1(〃=1,2,3,…)

⑴求知国,8

(2)归纳猜想通项公式

解(1)当〃=1时，知a=l,

由cirri-1=2包+1得生=3,

&=7,Si=15»a：=31.

(2)由a=l=2i—1,S2=3=22—1,

a=7=23-1,a,=15=2-1,金=31=25-1,

可归纳猜想出a=2"—1(〃£1r).

例2在法国巴黎举行的笫52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正

三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4,…堆最底层(第一层)分别按

图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第〃堆第〃层就

放一个乒乓球，以表示第〃堆的乒乓球总数，则A3)=；/、(〃)=(答案用

含〃的代数式表示).

+1)(〃+2)

答案10

解析观察图形可知：F(2)=4,A3)=10,『(4)=20,…，故下一堆的个数是上

一堆个数加上下一堆第一层的个数，即A2)=Al)+3；/(3)=A2)+6；A4)=A3)4-19；•••；

f(〃)=f(n—1)

将以上(〃一1)个式子相加可得

F(〃)=f(l)+3+6+10+~+”/7jl)

=[(/+22+…+冷+(1+2+3+…+力]

乙

11,、八,、，/J(〃+l)r

=宗〃(z〃+】)(2〃+1)+--4

ZuL

刀(刀+1)(刀+2)

=6

反思与感悟解本例的关键在于寻找递推关系式：F(〃)=f(〃-1)+驾I,然后用“叠加

法”求通项，而第一层的变化规律，结合图利用不完全归纳法可得，即为正整数前〃项和的

变化规律.

跟踪训练2在平面内观察：

凸四边形有2条对角线，

凸五边形有5条对角线，

凸六边形有9条对角线，

•••

由此猜想凸〃(/?24且〃仁N')边形有几条对角线？

解凸四边形有2条对角线，

凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，

凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，

于是猜想凸〃边形比凸(〃一1)边形多(〃一2)条对角线.因此凸〃边形的对角线条数为2+3+4

+5+…+(/?-2)=:〃(〃一3)(〃24且〃£N").

探究点二类比推理

阅读下面的推理，回答后面提出的问题：

1.科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳运行、

绕轴自转的行星；

(2)有大气层，在一年中也有季节变更；

(3)火星.上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等.科学家猜想：火星上也可

能有生命存在.

2.根据等式的性质猜想不等式的性质.

等式的性质：猜想不等式的性质：

(1)a=a-\-c=c;(1)a>b=^a-|-c>b-\-c；

（2）a=lj=>ac=be;（2）ac>be；

（3）a=心才=炉等等.（3）a〉心—>炉等等.

思考1这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？

答类比推理的定义：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,

推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.

思考2猜想正确吗？

答不一定正确.

思考3类比圆的特征，填写下表中球的有关特征

圆的概念和性质球的类似概念和性质

圆的周长球的表面积

圆的面积球的体积

球心与截面圆（不经过球心的截面圆）圆心的

圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦

连线垂直.于截面圆

与球心距离相等的两个截面圆面积相等：与

与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不

球心距离不等的两个截面圆面枳不等，距球

等的两弦不等，距圆心较近的弦较长

心较近的截面圆面积较大

以点尸（照，㈤为圆心，r为半径的圆的方程以点P（的，如为）为球心，广为半径的球的方

为（X—&y+（y—/）2=产程为（x—&|尸+（y—用尸+（z—z^）2=r

小结在进行类比推理时要注意对应关系：平面图形中的“线”对应空间图形的“面”；平面

图形中的“面”对应空间图形的“体”；平面图形中的“边长”对应空间图形的“面积”；平

面图形中的“面积”对应空间图形的“体积”；

例3在平面几何里，有勾股定理：“设△/仍C的两边/1氏/1。互相垂直，则A#+K=BC”.拓

展到空间（如图），类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,

可以得出的结论是___________________

答案设三棱锥力一及力的三个侧面ABC.ACD./!应两两互相垂直，则5kM+&奴+&.=戊0

解析类比条件:

两边/仍、力。互相垂直三二^^=^侧面/历G/15、力的互相垂直.

结论：力〃+力/=觉三立工爱城+受“”+受，=受仇讥

反思与感悟类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）;

②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题（猜想）.

跟踪训练3⑴如图所示，在△/山。中，射影定理可表示为a=b・cosC+c・cos8,其中a,

b,。分别为角4B,。的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想.

解如图所示，在四面体「一/I回中，设S,£,W,S分别表示△门区人

4PBC,4PCA、△/!回的面积，a,£,尸依次表示面加2面八％面

⑪与底面力比'所成二面角的大小.

我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：5=5.•cos〃+£・cos£+

S•cosy.

⑵已知在Rl△/出。中，/为L/1G/〃_L8C于〃，有力=焉十?成立.那么在四面体4一的9中,

类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确及并给出理由.

解类比/反L/1GADrBC,可以猜想四面体/一％9中，/以,亿；两两垂直，/瓦L平面8al

则k=南+彩+次。猜想正确，

如图所示，连接应；并延长交切于“连接"：

\'A/HACfABLAD,

平面ACD.

而/伊2平面力C9,：,ABLAF.

在RtZ\/如中，AEVBF,二力=焉+/.

在Rt△力切中，AFVCD,，尢=/+2,

1.1.1

,故猜想正确.

・3卢一力力^丁力〃

当堂测•查疑缺

1.下列说法正确的是（）

A.由合情推理得出的结论一定是正确的

B.合情推理必须有前提有结论

C.合情推理不能猜想

【）.合情推理得出的结论不能判断正误

答案B

解析根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论.

2.下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜

色()

A.白色B.黑色

C.白色可能性大D.黑色可能性大

答案A

解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，36+5=7余1.・••第36颗珠子的颜色为白色.

3.将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

23

456

78910

1112131415

按照以上排列的规律，第〃行(〃23)从左向右的第3个数为.

//一〃+6

答案-2-

解析前〃一1行共有正整数1+2+…+(〃-1)个，

即宁个，

因此第〃行第3个数是全体正整数中第年+3个，即为“一；+6.

4.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,…，第。个

三角形数为迎普=%+；〃，记第〃个左边形数为N(〃，公(杉3),以下列出了部分,k边形

数中第〃个数的表达式:

N5,3)=1z?2+)〃,

三角形数

乙乙

正方形数N(n,4)=n,

Q1

五边形数N5,5)=^n--n,

六边形数N(n,6)=2n—n

可以推测A",公的表达式，由此计算M10,24)=.

答案1000

k—2A—k

解析由M〃,6)=2#—〃，可以推测：当女为偶数时，A)=^n2+—n,

94—24—24

AM10,24)=^-^X100+^—X10

w乙

=1100-100=1000.

呈重点、现规律］

1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研窕中，在得到一个新结论前，合情推理能

帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.

2.合情推理的过程概括为

从具体问题出发|一|观察、分析、比较、联想|一|归纳、类比|一|提出猜想

40分钟课时作业

一、基础过关

1.数列5,9,17,33,加…中的x等于()

A.47B.65C.63D.128

答案B

解析5=22+1,9=23+1,17=2*4-1,33=25+1,归纳可得：x=2'+l=65.

2.根据给出的数塔猜测123456X9+7等于()

1X9+2=11

12X9+3=111

123X9+4=1111

1234X9+5=11111

12345X9+6=111111

•••

A.1111110B.1111111

C.1111112D.1111113

答案B

解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，

即1111111.

3.观察(/)'=2*,(?)z=4e(cos=-sinx、由归纳推理可得：若定义在R上的

函数F(x)满足/•(一»=/'(*),记g(x)为f(x)的导函数，则g(—x)等于()

A.F(x)B.—f{x)

C.g{x)D.-g(x)

答案D

解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数.因此当Ax)是偶函数时，其导函

数应为奇函数，

故g(—X)=—g(x).

4.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各

正三角形的()

A.一条中线上的点，但不是中心

B.一条垂线上的点，但不是垂心

C.一条角平分线上的点，但不是内心

D.中心

答案D

解析由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心.

29

5.设回的三边长分别为a、b、c,△/1欧的面积为S,内切圆半径为八则片&+/；+,,，

类比这个结论可知：四面体S一/石。的四个面的面积分别为S、&、S、S,内切球半径为八

四面体S一力比的体积为匕则r=()

♦2V

A，S+£+S+£B・S+£+S+S

3V4K

r------------D------------

S+S+S+5S+S+S+S

答案c

解析设四面体的内切球的球心为o,则球心。到四个面的距离都是尼所以四面体的体积等

于以。为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.

则四面体的体积为V四面体k3O(>=J(S+&+W+S)R,

.______3P

'4s+S+S+S;

6.观察下列等式

1=1

24-3+4=9

3+4+5+0+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

照此规律，第〃个等式为.

答案〃+(〃+1)+…+(3/7-2)=(2/7-1)2

7.在△49C中，若NC=9Q°,则cosh+cos»=l,用类比的方法，猜想三楂锥的类似性质，

并证明你的猜想.

解由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥2一月"'中，三个侧面物反PBC,"4两两

垂直，且与底面所成的角分别为。，B,Y，则3$2。一*52£+(:。52y=1”.

证明：设夕在平面力8。的射影为0,延长CO交48于M记PO=h,

由〃人胡，PC'PB,得"_1_面为8从而PCLK机又4P以C=a,

cosa=sinNPC0=2COS£=与cosY—~7^.

PCPAPB

—g・PBP氏。s°+

gpB♦PGcosB+：PC•PAcos/)•h,

乙乙

尸八_

COS0coscos2J2

PC+PA+PB)h=bBPcosaH-cos+cos/=1.

二、能力提升

8.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论为然正确的是()

A.如果一条直线与两条平行线中的一条相玄,则也与另一条相交

B.如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直

C.如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行

D.如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行

答案B

解析推广到空间以后，对于A、C、D均有可能异面，故选B.

9.在等差数列｛&｝中，若的°=0,则有等式劭+&+…+晶=句+检+…+m9-0(水19,/?£“)

成立.类比上述性质，相应地在等比数列｛2｝中，若"1,则成立的等式是()

A.bi•b>.........bn=b\•b>.....加一〃(水17,〃eM)

B.b\,b>.........bn=b],bz.....6i8-”(/?<18,〃eN')

C.Z?i+,,,+bn=b\+/>>-1-,•,+Z?i7-fl(/7<17>〃£N*)

D.---------\rbn=b\+b>-\---FZ?iS-«(n<18,〃£N")

答案A

解析在等差数列｛&｝中，由句o=O,得加+旬9=续+由8=・,=a+续0-=a+】+句9一=28(1=0,

/.ai+a+―・+a“+・・・+ai9=0,

即a+az-l----!-&=一打内一4怵------a+1，

乂»句=-49,改=一句8,…，cl｛3-n=-%+1

•••&+/-!-----F&,=-a9-&8----------4+1

------Fa9f

若4=0,同理可得

国+/+…+跳=国+续+…+句7-加

相应地,等比数列｛4｝中有:

万血…加=瓜灰…加-"(水17,〃£N*).

10.观察下列等式

12=1

12-22=-3

12-224-32=6

12-22+32-42=-10

照此规律，第〃个等式可为.

答案12-22+32-42+…+(-1)"冒=(一］),・邈普

解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第〃个等式左边有〃项，指数都是2,且正、

负相间，所以等式左边的通项为(-1)小房等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分

别为1,3,6,10,15,21,….设此数列为{4},则改一国=2,8一改=3,国一a=4,力一心=5,…,

品一为-1=〃，各式相加得&-助=2+3+4+…+〃，即&=1+2+3+…+〃=，9).所以第

〃个等式为「-22+32—42+…+(—1)/»2=(一1)小笔口.

11.根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式.

/、1

⑴a=a,&+i=2_?;

(2)对一切的〃£N*,a>0,且24*=a+1.

解(1)由已知可得a=a,

1_____1________1___2—a13—2a

42-ai2~a&2一加3-2a'&2—as4-3a'

QL1)—(〃-2)a

猜想a,：—

/?—(/?—\)a

(2);24=a+1,・・・2木=囱+1,即2近=&+1,

•••诩=