四边形讲课稿

四边形

四边形知识要点

LN边形以及四边形

性质：1）N边形的内角和为,外角和为,

2）四边形的内角和为,外角和为,

正多边形的定义：各条边都相等且各内角都相等的多边形叫正多边形.

1）正N边形的一个内角为,一个外角为,

2.平行四边形的性质以及判定

性质：D平行四边形两组对边分别平行且相等.

2）平行四边形对角相等，邻角互补.

3）平行四边形对角线互相平分.

4）平行四边形是中心对称图形.

判定方法：1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

2）一组对边平行且相等的四边形是平行四功形.

3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

4）对角线互相平分的四边形是平行四边形.（容易忘记）

注意：其他还有一些判定平行四边形的方法，但都不能作为定理使用。如：“两

组对角分别相等的四边形是平行四边形”，它显然是一个真命题，但不能作为定

理使用.

3.中心对称图形

1）中心对称图形的定义以及常见的中心对称图形（平行四边形）

2）经过对称中心的直线把中心对称图形的面积二等分，对称点的连线段经过对

称中心且被对称中心平分.

4.三角形的中位线以及中位线定理

中位线平行且等于第三边的一半。用来证明线段平行或长度关系

5.矩形的性质以及判定

性质：1）矩形具有平行四边形所具有的一切性质.

2）矩形的四个角都是直角.

3）矩形的对角线相等.（矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形）

4）既是轴对称图形又是中心对称图形

5）矩形的面积等于长乘以宽.

判定方法：1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

2）有三个角是直角的四边形是矩形.

3）对角线相等的平行四边形是矩形.

注意：其他还有一些判定矩形的方法，但都不能作为定理使用.

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

6.菱形的性质以及判定

性质：D菱形具有平行四边形所具有的一切性质.

2）菱形的四条边都相等.

3）菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角.（对角线把它

分成四个直角三角形）

4）既是轴对称图形又是中心对称图形

5）菱形的面积等于对角线乘积的一半.（如果一个四边形的对角线互相

垂直，那么这个四边形的面积等于对角线乘积的一半）

判定方法：1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

2）四条边都相等的四边形是菱形.

3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

7.正方形的性质以及判定

性质：1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形所具有的一切性质.

（正方形对角线把正方形分成四个等腰直角三角形）

判定方法；1）定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.

2）矩形+有一组邻边相等

3）菱形+有一个角是直角

4）既是轴对称图形又是中心对称图形

注意：其他还有一些判定正方形的方法，但都不能作为定理使用.

8.梯形

等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个底角相等；等腰梯形的对角

线相等.

等腰梯形的判定：1）证明两腰相等

2）同一底边卜.两个底角相等的梯形是等腰梯形.

关注：梯形中常见的几种辅助线的画法.对角线相等的梯形是等腰梯形,但不能

作为定理.

补充：梯形的中位线定理，尤其关注其证明方法.

本讲内容是中考重点之一，如特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正

方形、等腰梯形）的性质和判定，以及运用这些知识解决实际问题.中考中常

以选择题、填空题、解答题和证明题等形式呈现，近年的中考中又出现了开放

题、应用题、阅读理解题、学科间综合题、动点问题、折叠问题等，这都成了

热点题型，应引起同学们高度关注

一.N边形以及四边形

1、N边形的内角和？外角和？中心角？

2、N边形的计算

一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则它的边数是（）

A、5B、6C、7D、8

二.平行四边形的性质以及判定

1、平行四边形的性质（重点）：

'⑴两组对边分别平行;

（2）两组对边分别相等;

＜（3）两组对角分别相等;

ABCD是平行四边形=（4）对角线互相平分；

（5）邻角互补.

2.平行四边形的判定（难点）:

（1）两组对边分别平行

（2）两组对边分别相等

（3）两组对角分别相等ABCD是平行四边形

（4）一组对边平行且相等

（5）对角线互相平分

训练

1、下面命题中，正确的是（)

A.一组对角相等的四边形是平行四边形

B.一组对角互补的四边形是平行四边形

C.两组边分别相等的四边形是平行四边

D.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

2、如果平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,那么图中的全等三角形

共有（）

A.1对B・2对C・3对D.4对

3、将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开,拼成一个新的图形，这个新的图形可以

是下列图形中的

A.三角形B.平行四边形

C.矩形D.正方形

4、如图，0ABeD的对角线AC、BD相交于O,EF过点O与AD、BC分别

相交于E、F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD的周长为

A、16B、14C、12

5、在平行四边形ABCD中，NC=NB+ND,则NA=,ZD=

6、如图已知：在ABCD中，AB=4cm,AD=7cm,NABC的平分线交AD于点E,交

CD的延长线于点F,则DF=cm.

7、如图，ABCD为平行四边形，AE±BC,AF±CD,E、F分别为垂足，ZEAF=30°

AE=3cm,AF=2cm,求平行四边形ABCD的周长.

8、如图，P为OABCD内一点，过P点分别作AB、CD的平行线，交平行四

边形于E、F、G、H四点，若SU7AHPE=3,SZ=7PFCG=5,求S^BD。

9、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，ZBCD的平分线CF交边AB于F,

ZADC的平分线DG交边AB于Go

(1)求证:AF=GB；

(2)请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得4EFG为等腰直角三

角形，并说明理由。

I)

10、从平行四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH,垂足分别是

E、F、G、H,求证：EF/7GHoX9/

AB

解：显然EPGD.GPFC.EPHA.PHBF均为平

行四边形，

ASADEP=SADGP,SAPHB=SAPBF

又SAADB=SAEPD+S平行四边形AHPE+SAPHB+SAPDB®

SABCD=SAPDG+S平行四边形PFCG+SAPFB-SAPDB(2)

①•②得0=S平行四边形AHPE-S平行四边形PFCG+2SAPDB,

即2SAPBD=5-3=2

ASAPBD=1.

三、中心对称图形

轴对称一一1、轴对称图形:一个图形沿一条直线对折，直线两旁的

部分能够完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。2、

轴对称:两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重

合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。3、轴对称图形与轴

对称的区别与联系：(1)区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线

的对称关系”;轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。(2)

联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴

对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。4、轴对称的性质：（1）

成轴对称的两个图形全等。（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。（3）

对应点到对称轴的距离相等。（4）对应点的连线互相平行。

中心对称1.中心对称的定义：如果一个图形绕某一点旋转180度后能与

另一个图形重合，那么这两个图形叫做中心对称。2.中心对称图形的定义：

如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形。

3.中心对称的性质：在中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对

称中心，并且被对称中心平分

性质

①对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段且使中心对称图形

的面积被平分。

②成中心对称的两个图形全等。

③中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分。

区分：中心对称是两个图形间的位置关系，而中心对称图形是一种具有独

特特征的图形

中心对称图形

思考

⑴轴对称与轴对称图形有怎样的联系与区别？

⑵比照轴对称与轴对称图形的关系，你认为什么样的图形是中心对称图形？

你对线段有哪些认识？

你对平行四边形有哪些认识？

随堂练习：

1、下列图形中是不是中心对称图形?如果是中心对称图形的，请说出它的对称

2、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）.

（A）正方形（B）矩形（C）菱形（D）平行四边形

3、如图，哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？请说出它们的对称中心或

对称轴.

☆①0②张③£④

4、下列扑克图案中，不是中心对称图形的有个.

5、把26个英文字母看成图案，哪些英文大写字母是中心对称图案？

6、下列几组图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A.正方形、长方形、平行四边形B.正三角形、正方形、等腰梯形

C.长方形、正方形、圆D.平行四边形、正方形、等边三角形

7、问题：我们平时见过的几何图形中，有哪些是中心对称图形？并指出对称中

心.怎样的正多边形是中心对称图形？（从一条边、两条边…特殊图形…无数条

边,研究）；

常见的中心对称图形有：线段，矩娶，菱形，正方形,平行四边形,0,

边数为偶数的正多边形,某些不规则图形等。

正偶边形是中心对称图形

正奇数边形不是中心对称图形

*正六角形是中心对称图形，等腰梯形不是中心对称图形,等边三角

形（正三角形）不是中心对称图形，反比例函数的图像双曲线是以原点为对称

中心的中心对称图形。

1、如图，AC=BD,ZA=ZB,点E、F在AB上，且DE〃CF,试说明它是中心

对称图形的理由.

2、平行四边形是中心对称图形，现过对称中心任意画一直线将其分成两部

分，这两部分面积有何关系？将平行四边形换成其它中心对称图形，刚才的结

论还成立吗？

例1、张老汉有一块田地如图所示，他想田分给两个儿子，儿子提出：⑴分

割的面积应相等；⑵最好把分割线做成一条水渠，便于灌溉，你能帮助张老汉

画出这条分割线吗？

例2、如图，有一块长方形田地，田地内有一口井，现将这块土地平分给

两家农户，要求两家合用这口井浇地，请问应如何分？在图中画出分界线.

四、三角形的中位线以及中位线定理

（内容、证明）（补充一一直角三角形中两个定理）逆定理

三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。

逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一

半的线段是三角形的中位线。

逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，

是三角形的中位线。

1、证明：已知任意四边形ABCD,且线段AB、BC>CD、DA、AC、BD

的中点分别是E、F、G、H、P、Qo

（1）若四边形ABCD如图，判断下列结论是否正确（正确的在括号里填

“错误的在括号里填"X”）。

甲：顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形；（）

乙：顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形。（）

（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断。

（3）若四边形ABCD,请你判断（1）中的两个结论是否成立？

2、如图，ZkABC中，M是BC的中点，AD是NA的平分线，BD±AD于D,

AB=12,AC=18,求DM的长。A

3、已知；如图6,在梯形ABCD中，AB//CD,以AD、AC为边作Z7ACED,

DC的延长线交EB于F©求证：EF=FBo

4、在正方形ABCD中，直线EF平行于对角线AC,与边AB、BC的交点为E、F,

在DA的延长线上取一点G,使AG=AD,若EG与DF

的交点为H,

求证：AH=BCO

5、如图，在等腰梯形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别为BM、

CM的中点。

(1)求证：四边形MENF是菱形;

(2)若四边形MENF是正方形，梯形ABCD的高与底边BC有何关系？

6、如图，ZkABC中NACB=90。，点D、E分别是AC,AB的中点，点F在

BC的延长线上，且NCDF=NA。

求证：四边形DECF是平行四边形。

7、已知：如图，四边形ABCD中，NABC和NADC=90。，E、F分别是对角线AC、

BD的中点。求证：EF±BD

五、矩形的性质以及判定

矩形的性质：

'⑴具有平行四边形的所有通性;

,(2)四个角都是直角；

矩形=⑶对角线相等

矩形的判定：

(1)平行四边形+一个直角、

(2)三个角都是直角

=四边形是矩形.

(3)对角线相等的平行四边形

1、如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH

为矩形，四边形ABCD应具备的条件是().

(A)一组对边平行而另一组对边不平行(B)对角线相等

(C)对角线互相垂直(D)对角线互相平分

2、如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在6、

5的位置，若NEFB的度数为a,则NAE）的度数:

A.180°-aB.180°-2a

C.aD.2a

3、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,AD=8,将矩形纸片如图折叠，使点B

与点D重合，折痕为GH,求GH的长。

4、如图，已知四边形ACBD中，AC±BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA

边上的中点，求证：四边形EFGH是矩形.

六、菱形的性质以及判定

菱形的性质：

'⑴具有平行四边形的所有通性;

,<(2)四个边都相等；

菱形=(3)对角线垂直且平分对角.

菱形的判定:

⑴平行四边形+一组邻边等、

(2)四个边都相等

=四边形四边形是菱形

⑶对角线垂直的平行四边形

1、菱形和矩形一定都具有的性质是()

A、对角线相等B、对角线互相垂直

C、对角线互相平分D、对角线互相平分且相等

2、顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是

3、如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点(点

P不与点A、C重合）且PE〃BC交AB于E,PF//CD交AD于F,则阴影部

分的面积是

D

4、如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若NB=70°,

则NEDC的大小为

B、15°C、20°

5、菱形ABCD中，ZA=60°,对角线BD长为7cm,则此菱形周长

6、如图，已知：两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，求证重叠部分为菱形.

7、在直角三角形ABC中，CD是斜边AB的高，NA的平分线AE交CD于F,交

BC于E,EG1AB于G,求证：CFGE是菱形。

APGB

七、正方形的性质以及判定

正方形的性质:

⑴具有平行四边形的所有通性；

⑵四个边都相等，四个角都是直角;

正方形n

⑶对角线相等垂直且平分对角.

正方形的判定:

⑴平行四边形+一组邻边等+一个直角］

（2）菱形+一个直角

=四边形是正方形

（3）矩形+一组邻边等

1、如图2,一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角

沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大

的正方形，他判定方法是

2、如图，正方形0ABC对角线交点为D,过D的直线分别交AB、0C于E、F,已

知点E关于y轴的对称点坐标为（一|,2）,则图中阴影部分的面积是（）

A.1B.2

C.3D.4

3、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点0,能判定它是正方形的是（）

A、A0=0C,0B=0DB、A0=B0=C0=D0,AC±BD

C、A0=0C,0B=0D,AC±BDD、A0=0C=0B=0D

4、某地有四个村庄A、B、C、D,它们正好位于一个正方形的四个顶点，正方形

边长为a米。计划在四个村庄联合架设一条电话线路，按照如下方案设计，如

图中实线部分，求出所需电线长?

5、如图,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,CE=CF,

ZFDC=30°，求NBEF的度数.

6、若以直角三角形ABC的边AB为边，在三角形ABC的外部作正方形ABDE,

AF是BC边的高，延长FA使AG=BC,求证：BG=CD。

7、如图，ABCD为正方形，E是CF上一点，若DBEF是菱形,

贝！JNEBO。

(A)15(B)22°(C)30°(D)25°

八、梯形梯形

梯形的定义：

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

梯形常用的辅助线做法：

(1)过一顶点作一腰的平行线，分解成一个平行四边形和一个三角形;

(2)过一顶点作一条对角线的平行线，构造出平行四边形和一个面积与梯

形相等的三角形；

(3)过一腰中点作另一腰的平行线，构造出平行四边形和一对全等的三角

(4)过一底边的端点作另一底边的垂线，构造出一个矩形和两个直角三角

形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等；

(5)延长梯形的两腰使其交于一点，构成两个形状相同的三角形;

(6)连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交，构造一对全等的三角形,

将梯形作等积变换;

特殊的梯形

1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.

性质；（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角

线相等.

（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条

直线.

2）直角梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.

练习

1.已知：如图，四边形9力为矩形，四边形45!必为等腰梯形，AS//BDO求

证：LBED=LBCD.

2.已知，如图，梯形但中，ABf!DCrAD=BC9延长皿到E,使BE=DC,求

证：AC=CE.

ABE

说明：本题采用了几种常用的作辅助线的方法证得结论，目的是说明解

与梯形有关的问题经常用这些作辅助线的方法。

3.如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角

三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的

拼法画出来:

(1)不是正方形的一个菱形;

不是正方形的一个矩形:

两个梯形;

(4)不是矩形、菱形的一个平行四边形;

(5)不是梯形和平行四边形的一个凸四边形。

4.如图，已知：四边形4励是等腰梯形，其中怂/C,若43=5,CD=2,=

求：梯形48切的面积.

5.如图，已知：在梯形4/C〃中，AD*BC,AC、BD相交于前0.求证："二,吟

6.已知梯形力及笫中，AD〃BC,JZ>=5cm.37cm,妗6cm求另一腰切的取值

范围.

7.如图，已知：在等腰梯形施力中，AD//BC,

(1)若g=5,3c=11,梯形的高是4,求梯形的周长；

(2)若皿"，BC=b，梯形的高是酊求梯形的周长％

(3)若血3,BC=79如5区求证：ACLBD

8.如图，在梯形皿中，对角线和，即于点尸.求证：%始3=/°如

S^=-ACPD

证明：由可知皿n2

且Sw=R・尸B

所以，吟心口

=^AC(PD+PB')=^ACBD

解答问题：

(1)上述证明得到的性质可以叙述为：.

(2)已知:如图，等腰梯形"切中，山”犯，对角线数，助于点只3=3cm,

B—,利用上述的性质求梯形的面积.

解析：

9.已知：梯形ABCD中，AD〃BC,E为DC中点，EFJLAB于F点，AB=3cm,EF=5cm,

求梯形ABCD的面积.

10.已知：梯形ABCD中,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面积。

11.已知：梯形ABCD中，AD〃BC,E是AB的中点，ZkECD的面积为10,求梯形

ABCD的面积。

12.有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平

分方案画在备用图上），并给予合理的解释.hL

图（1）图（2）

【同步练习】

一、填空题

1.梯形的定义是：.

2.在梯形中，不是同一底上的两组角的比值分别为1：3和3：7,则四个角的度

3.如图，梯形极力中，AD//BC,4c为对角线，AELBC干E,ABLAC,若N

ACB=30°,跖=2.贝!|止.

4,直角梯形的定义是：.

5.直角梯形一腰长16cm,和一个底所成的角为30。，那么另一腰长

________cm.

6,等腰梯形的两底差等于腰长，腰与下底边的夹角为，与上底的

夹角为.

7.满足条件的梯形是等腰梯形.

8.等腰梯形有下列性质：

①从角看：在同一底上的两个角

②从边看：两腰;

③从对角线看：两条对角线;

④从图形的对称性看：是对称图形.

二、选择题

L如下左图，梯形极力中，AD//BC,设4。物交于。点，则图中共有对

面积相等的三角形.（）

A.2B.3C.4D.5

2.如上右图，在直角梯形ABCD中，AB=4cm,止4.5cm,Z^30°,则DOcm,

BC=cm()A.8,4百B.8cm,(4.5+4)cm

C,4(^+1)+2,8D.8cm,(46+4)cm

3.等腰直角三角形各边中点连线围成的多边形是()

A.平行四边形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

三、请你来完成

1.用下面的方法来说明：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

(1)如下左图，分别延长梯形4时的腰劭，CD,设它们相交于点后通

过证明△物〃和△旗C都是三角形来证明.

(2)如上右图，作梯形ABCD的高AE,DF,通过证明

来证明定理.

说理过程：

(1)

(2)

2.已知等腰梯形的锐角等于60°,它的两底分别为15c叫49cm,求它的腰长.

3.在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF,沿着中位线EF一刀剪切

后，用得到的4AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP,剪切线与拼

图如图示1,仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示。

A

(1)在aABC中，漕加条件,沿着一刀剪切

后可以拼成矩形，剪切线与拼图画在图示2的位置；

(2)在4ABC中，漕加条件,沿着一刀剪切

后可以拼成菱形，剪切线与拼图画在图示3的位置；

(3)在aABC中，漕加条件,沿着一刀剪切

后可以拼成正方形，剪切线与拼图画在图示4的位置；

(4)在AABC(ABWAC)中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要

确定剪切线，其操作过程(剪切线的作法)是____________________________

然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切线与拼图画在图示5

的位置。

4、已知在梯形AB