2027届黑龙江哈尔滨市第九中学校高三阶段性考试数学试卷（含解析）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）哈九中高三阶段性考试数学试卷（时间：120分钟

满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则3．已知点在第一象限，则的取值范围是（

）A．B．C．D．4．某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（

）（参考数据：，）A．20 B．16 C．12 D．75．定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（

）A． B． C． D．6．已知，则正数的大小关系为（

）A． B． C． D．7．已知函数，满足对，恒成立，则实数a的取值不可以是（

）A． B． C． D．8．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得满分，部分选对的得部分分．9．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，，，则有两解C．若，则为钝角三角形D．若，则为等腰三角形10．已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．6个零点之和是611．已知函数的图象如图所示．下列说法正确的是（

）A．函数的一个对称中心是B．是偶函数C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象D．方程在区间上恰有2个不同的解，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，则___________．13．已知函数若存在实数，满足，且，则的最小值为____________．14．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在中，已知.(1)若且，求的面积；(2)若求的取值范围.16．已知函数(1)若，求的值域；(2)若关于的方程有三个连续的实数根，，，且，令，求的值．17．如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，分别是，的中点，且，．(1)证明：平面平面；(2)求四棱锥体积的最大值；(3)求平面与平面的夹角余弦值的范围．18．已知在处的切线方程为．(1)求实数的值；(2)证明：仅有一个极值点，且．(3)若，是否存在使得恒成立，存在请求出的取值范围，不存在请说明理由．19．有一种不断分裂的细胞，在每个时间周期内可能发生以下情况，有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个细胞．每个细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立．设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为．(1)若，求的分布列和数学期望；(2)若，求的取值范围；(3)若该细胞在分裂过程中灭绝的概率不超过，求的最大值．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．B【详解】由对数真数大于，得，即，解得或，所以，故.由，其中，所以.所以.2．B【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可.【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误.对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确；对于C：取，时，则，，，则，故C错误；对于D：当，时，，，则，故D错误；故选：B.3．C【分析】先利用三角公式化简点的坐标，再根据第一象限的条件列出不等式组，最后通过对周期参数进行分类讨论以求出解集的交集.【详解】由题意得，即点，由题意得，即，即，设，则有，设，则有，即，综上，，且，即，即，取其交集为4．B【分析】由可得，再代入，求解即可.【详解】根据题意可得，则，，则经过n年时，有，即，则，所以，则.故选：B.5．A【分析】根据题意，利用对称性，得到，再利用，对进行赋值，然后可求解.【详解】函数的图象关于直线对称，则必有，所以，,,又因为满足，取，所以，，，则，取，则，A对；故选：A6．A【分析】通过将已知等式变形得到关于、、的方程，然后将方程的解转化为函数图像交点的横坐标，最后通过比较函数图像交点的位置来确定、、的大小关系.【详解】设，由此，分别为方程的解，在同一坐标系作函数的图像，分别与函数的图像分别交于，其横坐标分别为，由图可知.故选：A.7．B【分析】分，，三种情形讨论，结合基本不等式及导数求解即可.【详解】当时，恒成立，即恒成立，∵，当且仅当，即时取等号，所以．当时，恒成立.当时，恒成立，即恒成立．设，则，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，∴的取值范围是．故选：B.8．B【分析】根据三角恒等变换化简，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整体法即可求得参数的范围.【详解】由题意得，由题意得在区间上单调递增，由，则，结合可得，解得，当时，，要使得该函数取得一次最大值2，故只需，解得；综上所述，的取值范围为，故B正确.9．AB【分析】对于A利用内角和与差化积比较正弦值；对于B由正弦定理求出后验证两解均合法；对于C由余弦的符号判断三角形形状；对于D将条件转化为，注意讨论直角三角形的情形.【详解】因为，，则，于是，即，故A正确.由正弦定理，得，所以或，且两者均满足，故三角形有两解，B正确.三角形至多有一个钝角，若三角形为钝角三角形，则三个内角的余弦值中恰有一个为负，则，与矛盾，所以三角形为锐角三角形，C错误.由余弦定理，，代入得，整理得，即或，后者表示，如为边长的直角三角形并非等腰三角形，D错误.10．BCD【分析】根据题意，利用函数的图象变换，得到函数的图象关于直线对称，令，得到关于的方程，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象，再向右平移1个单位，可得的图象，最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示，则函数的图象关于直线对称，令，因为函数最小的零点为，且，故当时，方程有4个零点，所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或，由，可得或，设的四个根从小到大依次为，由函数的图象关于直线对称，可得，所以的所有零点之和是6，故D正确；关于的方程的两个实数根为和，由韦达定理，得，，所以，所以B，C正确，A错误.11．AC【分析】先由图中最值、周期和顶点条件依次求出参数得到函数的解析式，再由对称中心方程求出函数的对称中心即可判断A；求出的解析式即可判断其奇偶性判断B；由平移变换公式和诱导公式求出变换后图象解析式即可判断C；将题设等价转换成在区间上恰有2个不同的解得到不等式即可分析计算求解的取值范围判断D.【详解】由题可得，所以，又，所以，所以，即，又，所以，所以，令，所以函数的对称中心为，令，所以函数的一个对称中心是，A正确；图象不关于y轴对称，不是偶函数，B错误；将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的可得到函数的图象，再向右平移个单位长度，可得到函数即的图象，C正确；因为方程即在区间上恰有2个不同的解，所以即在区间上恰有2个不同的解，令且，所以方程在区间上恰有2个不同的解，则的取值范围为且，D错误.12．【分析】利用辅助角公式可求得，利用诱导公式可知，利用二倍角余弦公式可得结果.【详解】由，得，即，因为，所以.故答案为：.13．【分析】作出函数的图象，得出，，然后引入函数，利用导数求得最小值.【详解】如图，作出函数的图象，时，，时，，由且得，，则，即，令，则，时，，递减，时，，递增，所以时，，所以的最小值是.14．【分析】先利用正弦定理、两角和与差正弦公式转化题设条件依次得到、，接着由锐角三角形条件求出，再由两角和与差正弦公式、倍角公式将问题式子转化为一角一函数，利用导数工具即可分析求解.【详解】由及正弦定理得，整理得，因为，，所以，即，所以，所以由是锐角三角形得，解得，则，令，则，令解得正根为，所以在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以，即.15．(1)(2)【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解；（2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解.【详解】（1）由正弦定理得，又，从而，

由得，

从而，

所以的面积.（2）由，

又，当且仅当时取等号，

从而，所以，

又因为中，，从而，

所以的范围是.16．(1)(2)0【分析】（1）利用二倍角公式，两角差的正弦公式化简三角函数，然后结合正弦函数的性质得值域；（2）利用正弦函数的性质解得，再按奇偶分类写出，求出后可得.【详解】（1），，则，，所以的值域是；（2），即，则，则，，，是三个连续的实数根，若，，则，则，所以，若，，则，则，所以，综上，.17．(1)因为四边形是矩形，，所以，因为是的中点，，所以，同理可证，因为，所以，因为，，面，所以面，因为面，所以平面平面.(2)(3)【分析】（1）结合题意得到，，再利用线面垂直的判定定理得到面，最后结合面面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，结合题意求出，再利用四棱锥的体积公式求解体积的最大值即可.（3）求出关键平面的法向量，利用面面角的向量求法得到，再结合换元法与导数判断单调性，最后得到取值范围即可.【详解】（1）略（2）因为，分别是，的中点，所以，由矩形的性质得，则，如图，作面，以为原点建立空间直角坐标系，设，，，，，则，，，可得，，解得，得到，化简得，令，，（为参数），则由棱锥的体积公式得，由正弦函数性质得，则四棱锥体积的最大值.（3）由题意得面的法向量为，设面的法向量为，而，，可得，而，得到，则，令，解得，，得到，设平面与平面的夹角为，则，由题意得，解得，则，令，则令，，则在上单调递增，而，，则，故平面与平面的夹角余弦值的范围为.18．(1)(2)证明：由（1）得，则，令，，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，且当时，，，，所以在上存在唯一零点，使得即，当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，所以仅存在一个极值点，，，又函数，，而，所以在上单调递减，则，所以.(3)不存在，理由如下：若存在，使得恒成立，即，对恒成立，当时，当时，则，显然上式不成立；当时，令，，则，令，则在上恒成立，所以即在上单调递增，又，，所以存在，使得，所以当时，，即单调递减，此时，所以不恒成立，故当时，不存在满足条件.综上，不存在，使得恒成立.【分析】（1）求出的导数，根据切线方程求出，的值即可；（2）求导可得，令，利用导数可得的单调性，结合零点存在性定理可得在上存在唯一零点，且，进而可得的单调性，可判断极值情况；结合代入化简，运算得证；（3）问题转化为，对恒成立，当时，显然上式不成立；当时，令，利用导数可得存在，使得，当时，，即单调递减，此时，上式不能恒成立，得解.【详解】（1）由题意，，则，解得，又，可得切点为，代入，得.所以实数.（2）略（3）不存在，理由略.【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是将问题转化为，对恒成立，分和讨论，其中时，令，利用导数判断求解找出矛盾.19．(1)的分布列为：(2)(3)【分析】（1）求出取所有可能的值时的概率，再列出分布列，求出数学期望即可；（2）求出的概率