2027届陇南市重点中学九年级数学第一学期期末检测试题含解析

2027届陇南市重点中学九年级数学第一学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在中，，于点D，，，则AD的长是（）A．1. B． C．2 D．42．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则旋转角度是（）A．10° B．30° C．40° D．70°3．﹣2的绝对值是（）A．2 B． C． D．4．小苏和小林在如图所示①的跑道上进行米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离单位：与跑步时间单位：的对应关系如图所示②．下列叙述正确的是（）A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点；B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度；C．小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程；D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次；5．如图，AB⊥OB，AB=2，OB=4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（）A．2 B．2π C．π D．π6．将以点为位似中心放大为原来的2倍，得到，则等于（）A． B． C． D．7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，在ab、ac、b2﹣4ac，2a+b，a+b+c，这五个代数式中，其值一定是正数的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（）A．-1 B．0 C．1 D．29．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标是，给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．510．在△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（）A．sinA= B．sinA= C．sinA= D．sinA=二、填空题(每小题3分,共24分)11．关于的方程的一个根是，则它的另一个根是__________．12．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠AOC=∠B，则∠B=_______度．13．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：3，DE=4，则BC=__________．14．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为_____．15．如图，⊙O的半径为4，点B是圆上一动点，点A为⊙O内一定点，OA＝4，将AB绕A点顺时针方向旋转120°到AC，以AB、BC为邻边作▱ABCD，对角线AC、BD交于E，则OE的最大值为_____．16．如图，若内一点满足，则称点为的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知中，，，为的布罗卡尔点，若，则________．17．在平面直角坐标系中，已知，，，若线段与互相平分，则点的坐标为______.18．已知正方形ABCD的对角线长为8cm，则正方形ABCD的面积为_____cm1．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PB，PC，且满足∠PCA＝∠ABC（1）求证：PA＝PC；（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若BC＝8，，求DE的长．20．（6分）已知△ABC和△A′B′C′的顶点坐标如下表：（1）将下表补充完整，并在下面的坐标系中，画出△A′B′C′；（，）（，）（2）观察△ABC与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．21．（6分）2020年元且，某商场为促销举办抽奖活动．规则如下：在一个不透明的纸盒里，装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同．顾客每次摸出1个球，若摸到红球，则获得一份奖品；若摸到黑球，则没有奖品．（1）如果张大妈只有一次摸球机会，那么张大妈获得奖品的概率是．（2）如果张大妈有两次摸球机会（摸出后不放回），请用“树状图”或“列表”的方法，求张大妈获得两份奖品的概率．22．（8分）解方程:;二次函数图象经过点，当时，函数有最大值，求二次函数的解析式．23．（8分）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，（1）请在网格中，画出线段关于原点对称的线段；（2）请在网格中，过点画一条直线，将分成面积相等的两部分，与线段相交于点，写出点的坐标；（3）若另有一点，连接，则．24．（8分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC．25．（10分）解下列方程：（1）x2﹣2x﹣2=0；（2）（x﹣1）（x﹣3）=1．26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，BC＝2，求AB的长．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B，又由∠CDB=∠ACB=90°，可证得△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【详解】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴△ACD∽△CBD，∴，∵CD=2，BD=1，∴，∴AD=4.故选D.此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于证得△ACD∽△CBD.2、D【分析】由旋转的性质可得旋转角为∠AOC＝70°．【详解】解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝70°，∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，∴旋转角为∠AOC＝70°，故选：D．本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是熟练掌握旋转的意义和性质，能够有旋转的性质得到相等的角.3、A【解析】分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的绝对值是2，故选A．4、D【分析】依据函数图象中跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系，即可得到正确结论．【详解】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误；根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B错误；小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故C错误；小林在跑最后100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知2次，故D正确；

故选：D．本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．5、C【解析】根据勾股定理得到OA，然后根据边AB扫过的面积==解答即可得到结论．【详解】如图，连接OA、OC．∵AB⊥OB，AB=2，OB=4，∴OA==，∴边AB扫过的面积====．故选C．本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．6、C【分析】根据位似图形都是相似图形，再直接利用相似图形的性质：面积比等于相似比的平方计算可得．【详解】）∵将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA′B′，

∴S△OAB：S△OA′B′=1：4.故选：C.本题考查位似图形的性质，解题关键是首先掌握位似图形都是相似图形．7、B【解析】试题分析：根据图象可知：，则；图象与x轴有两个不同的交点，则；函数的对称轴小于1，即，则；根据图象可知：当x=1时，，即；故本题选B．8、C【分析】根据根与系数的关系即可求出的值．【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根∴故选C．此题考查的是根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和=是解决此题的关键．9、C【分析】①根据开口方向，对称轴的位置以及二次函数与y轴的交点的位置即可判断出a,b,c的正负，从而即可判断结论是否正确；②根据对称轴为即可得出结论；③利用顶点的纵坐标即可判断；④利用时的函数值及a,b之间的关系即可判断；⑤利用时的函数值，即可判断结论是否正确．【详解】①∵抛物线开口方向向上，．∵对称轴为，∴．∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴，∴，故错误；②∵对称轴为，∴，，故正确；③由顶点的纵坐标得，，∴，∴，∴，故正确；④当时，，故正确；⑤当时，，故正确；所以正确的有4个，故选：C．本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．10、B【解析】分析：根据题意画出图形，进而分析得出答案．详解：如图所示：sinA=．故选B．点睛：本题主要考查了锐角三角函数的定义，正确记忆边角关系是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、6【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系解答即可.【详解】解：设方程的另一个根是，则，解得：.故答案为：6.本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与其系数的关系是解此类题的关键.12、1【分析】连结OB，可知△OAB和△OBC都是等腰三角形，∠ABC=∠A+∠C=∠AOC，四边形内角和360゜，可求∠B．【详解】如图，连结OB，∵OA=OB=OC，∴△OAB和△OBC都是等腰三角形，∴∠A=∠OBA，∠C=∠OBC，∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=∠A+∠C，∴∠A+∠C=∠ABC=∠AOC∵∠A+∠ABC+∠C+∠AOC=360゜∴3∠ABC=360゜∴∠ABC=1゜即∠B=1゜．故答案为：1．本题考查圆周角度数问题，要抓住半径相等构造两个等腰三角形，把问题转化为解∠B的方程是关键．13、1【分析】根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，得到，即可求BC的长．【详解】解：∵AE：EC=2：3，

∴AE：AC=2：5，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∵DE=4，

∴BC=1．

故答案为：1．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．14、【分析】连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC-S菱形ABCO可得答案．【详解】连接OB和AC交于点D，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB＝OA＝OC＝2，又四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD＝OB＝1，在Rt△COD中利用勾股定理可知：∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，∴S菱形ABCO＝S扇形AOC＝则图中阴影部分面积为S扇形AOC﹣S菱形ABCO＝故答案为本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积和扇形的面积，有一定的难度．15、2+2【分析】如图，构造等腰△OAF，使得AO＝AF，∠OAF＝120°，连接CF，OB，取AF的中点J，连接EJ．证明EJ是定值，可得点E的运动轨迹是以J为圆心，EJ为半径的圆，由此即可解决问题．【详解】如图，构造等腰△OAF，使得AO＝AF，∠OAF＝120°，连接CF，OB，取AF的中点J，连接EJ．∵∠BAC＝∠OAF＝120°，∴∠BAO＝∠CAF，∵ABAC，AO＝AF，∴△OAB≌△FAC（SAS），∴CF＝OB＝，∵四边形BCDA是平行四边形，∴AE＝EC，∵AJ＝JF，∴EJ＝CF＝，∴点E的运动轨迹是以J为圆心，EJ为半径的圆，易知OJ＝当点E在OJ的延长线上时，OE的值最大，最大值为OJ+JE＝，故答案为2+2．本题考查的是圆的综合，难度较大，解题关键是找出EJ是最大值.16、【分析】作CH⊥AB于H．首先证明，再证明△PAB∽△PBC，可得，即可求出PA、PC.【详解】解：作CH⊥AB于H．

∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120°，

∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°，∴BC=2CH,

∴AB=2BH=2=，∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，

∴∠PAB=∠PBC，

∴△PAB∽△PBC，，∵，∴PA=，PC=,∴PA+PC=，故答案为：.本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．17、【分析】根据题意画出图形，利用平行四边形的性质得出D点坐标．【详解】解：如图所示：∵A（2，3），B（0，1），C（3，1），线段AC与BD互相平分，∴D点坐标为：（5，3），故答案为：（5，3）．此题考查了平行四边形的性质，图形与坐标，正确画出图形是解题关键．18、31【分析】根据正方形的对角线相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝BD＝8cm，AC⊥BD，∴正方形ABCD的面积＝×AC×BD＝31cm1，故答案为：31．本题考查了求解菱形的面积,属于简单题,熟悉求解菱形面积的特殊方法是解题关键.三、解答题(共66分)19、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝1．【分析】（1）根据垂径定理可得AD＝CD，得PD是AC的垂直平分线，可判断出PA＝PC；（2）由PC＝PA得出∠PAC＝∠PCA，再判断出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠PAC＝90°，即可得出结论；（2）根据AB和DF的比设AB＝3a，DF＝2a，先根据三角形中位线可得OD＝4，从而得结论．【详解】（1）证明∵OD⊥AC，∴AD＝CD，∴PD是AC的垂直平分线，∴PA＝PC，（2）证明：由（1）知：PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°．又∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA+∠CAB＝90°，∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，∴OD∥BC，OD＝BC＝＝4，∵，设AB＝3a，DF＝2a，∵AB＝EF，∴DE＝3a﹣2a＝a，∴OD＝4＝﹣a，a＝1，∴DE＝1．本题考查的是圆的综合，难度适中，需要熟练掌握线段中垂线的性质、圆的切线的求法以及三角形中位线的相关性质.20、（1）详见解析；（2）相似【分析】（1）利用坐标的变化规律得出答案；（2）根据所画的图形，利用对应点位置得到线段的长度，即可得到结论.【详解】解：（1）B′（

8，6

），C′（

10，2

），

如图所示：△A′B′C′即为所求；故答案为：8，6；10，2；（2）根据表格和所画的图形可知，，∴.此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．21、（1）；（2）．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的球是红球的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率＝＝；故答案为：；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2，所以张大妈获得两份奖品的概率＝＝．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．22、；【分析】（1）根据题意利用因式分解法进行一元二次方程求解；（2）根据题意确定出顶点坐标，设出顶点形式，将（4，-3）代入即可确定出解析式．【详解】解:;解:由题意可知此抛物线顶点坐标为，设其解析式为，将点代入得:，解得:，此抛物线解析式为:.考查一元二次方程求解以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握一元二次方程的解法和待定系数法求二次函数解析式是解本题的关键．23、（1）见解析；（2）见解析，；（3）1.【分析】(1)分别作出点B、C关于原点对称的点，然后连接即可；(2)根据网格特点，找到AB的中点D，作直线CD，根据点D的位置写出坐标即可；(3)连接BP，证明△BPC是等腰直角三角形，继而根据正切的定义进行求解即可.【详解】(1)如图所示，线段B1C1即为所求作的；(2)如图