河北省定州市2027届九年级数学第一学期期末经典试题含解析

河北省定州市2027届九年级数学第一学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．下列图标中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．已知线段a是线段b，c的比例中项，则下列式子一定成立的是（）A． B． C． D．3．方程的解是（）A． B． C．或 D．或4．下列事件中，是随机事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和为180° B．经过有交通信号的路口，遇到红灯C．太阳从东方升起 D．任意一个五边形的外角和等于540°5．下列事件中，必然发生的是（）A．某射击运动射击一次，命中靶心 B．通常情况下，水加热到100℃时沸腾C．掷一次骰子，向上的一面是6点 D．抛一枚硬币，落地后正面朝上6．如图是某零件的模型，则它的左视图为（）A． B． C． D．7．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．8．关于x的一元二次方程中有一根是1，另一根为n，则m与n的值分别是（）A．m=2，n=3 B．m=2，n=-3 C．m=2，n=2 D．m=2，n=-29．如图，关于抛物线，下列说法错误的是（）A．顶点坐标为(1，)B．对称轴是直线x=lC．开口方向向上D．当x>1时，y随x的增大而减小10．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE．若AE=6，DE=5，∠BEC=90°，则△BCE的周长是（）A．12 B．24 C．36 D．4811．在单词mathematics(数学)中任意选择一个字母，字母为“m”的概率为（）A． B． C． D．12．如图，直线分别与⊙相切于，且∥，连接，若，则梯形的面积等于（）A．64 B．48 C．36 D．24二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为_____．14．如图，直线y＝ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax+b＝0的解是_____．15．为了对1000件某品牌衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，在相同条件下，经过大量的重复抽检，发现一件合格衬衣的频率稳定在常数0.98附近，由此可估计这1000件中不合格的衬衣约为__________件．16．布袋里有8个大小相同的乒乓球，其中2个为红色，1个为白色，5个为黄色，搅匀后从中随机摸出一个球是红色的概率是__________.17．已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是_________18．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB相交于点D．与BC相交于点E，且BD＝3，AD＝6，△ODE的面积为15，若动点P在x轴上，则PD+PE的最小值是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB＝4cm，求⊙O的直径及正三角形ABC的面积．20．（8分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝4，⊙O的半径为，求BC的长．21．（8分）平行四边形中，点为上一点，连接交对角线于点，点为上一点，于，且，点为的中点，连接；若．（1）求的度数；（2）求证：22．（10分）元旦了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，求九（2）班有多少个同学？23．（10分）已知：AB为⊙O的直径．（1）作OB的垂直平分线CD，交⊙O于C、D两点；（2）在（1）的条件下，连接AC、AD，则△ACD为三角形．24．（10分）如图，在中，为边的中点，为线段上一点，联结并延长交边于点，过点作的平分线，交射线于点.设.（1）当时，求的值；（2）设，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；（3）当时，求的值.25．（12分）如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小华在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己的影长FG＝4m．如果小华的身高为1.5m，求路灯杆AB的高度．26．如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）在直线AC的上方的抛物线上，有一点P（不与点M重合），使△ACP的面积等于△ACM的面积，请求出点P的坐标；（3）在y轴上是否存在一点Q，使得△QAM为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2、B【解析】根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b=b：c，即b2=ac，那么b叫做a与c的比例中项．【详解】A选项，由得，b2=ac,所以b是a,c的比例中项，不符合题意；B选项，由得a2=bc,所以a是b,c的比例中项，符合题意；C选项，由，得c2=ab,所以c是a,b的比例中项，不符合题意；D选项，由得b2=ac,所以b是a,c的比例中项，不符合题意；故选B.本题考核知识点：本题主要考查了比例线段．解题关键点：理解比例中项的意义.3、C【解析】方程左边已经是两个一次因式之积，故可化为两个一次方程，解这两个一元一次方程即得答案.【详解】解：∵，∴x－1=0或x－2=0，解得：或.故选：C.本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式解方程的方法是关键.4、B【解析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．【详解】A．任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件；B．经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件；C．太阳从东方升起是必然事件；D．任意一个五边形的外角和等于540°是不可能事件．故选B．本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5、B【解析】A、某射击运动射击一次，命中靶心，随机事件；B、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件．C、掷一次骰子，向上的一面是6点，随机事件；D抛一枚硬币，落地后正面朝上，随机事件；故选B．6、D【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．【详解】从左面看去，是两个有公共边的矩形，如图所示：故选：D．本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．7、B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．8、C【分析】将根是1代入一元二次方程，即可求出m的值，再解一元二次方程，可求出两个根，即可求出n的值．【详解】解：∵将1代入方程，得到：1-3+m=0，m=2∴∴解得x1=1，x2=2∴n=2故选C．本题主要考查了一元二次方程，熟练解满足一元二次方程以及解一元二次方程是解决本题的关键．9、D【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是（1，-2），对称轴是直线x=1，根据a=1＞0，得出开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项．【详解】解：∵抛物线y=（x-1）2-2，A、因为顶点坐标是（1，-2），故说法正确；B、因为对称轴是直线x=1，故说法正确；C、因为a=1＞0，开口向上，故说法正确；D、当x＞1时，y随x的增大而增大，故说法错误．故选D．10、B【解析】试题解析：△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，是的中点，∠BEC=90°，△BCE的周长故选B.点睛：三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半.11、B【分析】根据概率公式进行计算即可．【详解】在单词“mathematics”中，共11个字母，其中有2个字母“m”，故从中任意选择一个字母，这个字母为“m”的概率是．故选：B．本题考查概率的计算，熟记概率公式是解题关键．12、B【分析】先根据切线长定理得出，然后利用面积求出OF的长度，即可得到圆的半径，最后利用梯形的面积公式即可求出梯形的面积．【详解】连接OF，∵直线分别与⊙相切于，∴．在和中，∴,∴．在和中，∴，∴．∵，．∵，．，∴，，∴梯形的面积为．故选：B．本题主要考查切线的性质，切线长定理，梯形的面积公式，掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、1+【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、D的坐标，进而可得出OD、OA、OB，根据圆的性质可得出OM的长度，在Rt△COM中，利用勾股定理可求出CO的长度，再根据CD=CO+OD即可求出结论．【详解】当x=0时，y=（x﹣1）2﹣4=﹣1，∴点D的坐标为（0，﹣1），∴OD=1；当y=0时，有（x﹣1）2﹣4=0，解得：x1=﹣1，x2=1，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，1），∴AB=4，OA=1，OB=1．连接CM，则CM=AB=2，OM=1，如图所示．在Rt△COM中，CO==，∴CD=CO+OD=1+．故答案为1+．先根据二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键.14、x＝﹣1【分析】所求方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图像与x轴交点横坐标，根据已知条件中点B即可确定．【详解】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，∵直线y＝ax+b过B（﹣1，0），∴方程ax+b＝0的解是x＝﹣1，故答案为：x＝﹣1．本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程之间的关系是解题的关键.15、1【分析】用总件数乘以不合格衬衣的频率即可得出答案．【详解】这1000件中不合格的衬衣约为：(件)；

故答案为：1．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．16、【分析】直接根据概率公式求解．【详解】解：随机摸出一个球是红色的概率=．

故答案为：．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．17、20°＜∠A＜30°．【详解】∵＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．18、．【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，求得B和E的坐标，然后E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小，利用勾股定理即可求得E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小．【详解】解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，∵BD＝3，AD＝6，∴AB＝9，设B点的坐标为（9，b），∴D（6，b），∵D、E在反比例函数的图象上，∴6b＝k，∴E（9，b），∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝9b﹣k﹣k﹣•3•（b﹣b）＝15，∴9b﹣6b﹣b＝15，解得：b＝6，∴D（6，6），E（9，4），作E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小，∵AB＝9，BE′＝6+4＝10，∴DE′＝＝，故答案为．本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型．三、解答题（共78分）19、⊙O的直径为8cm，正三角形ABC的面积为12cm2【分析】根据圆内接正三角形的性质即可求解．【详解】解：如图所示：连接CO并延长与AB交于点D，连接AO，∵点O是正三角形ABC的外心，∴CD⊥AB，∠OAD＝30°，设OD＝x，则，根据勾股定理，得，解得x＝4，则x＝2，∴半径OA＝4cm，直径为8cm．∴CD＝3x＝6，∴.答：⊙O的直径为8cm；正三角形ABC的面积为12cm2本题考查了三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握圆内接正三角形的性质．20、（1）证明见解析；（2）BC=1；【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC＝90°，得出∠C＋∠BAC＝90°，再由OA＝OB，得出∠BAC＝∠OBA，证出∠PBA＋∠OBA＝90°，即可得出结论；（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．【详解】（1）连接OB，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠CBO+∠OBA＝90°，∵OC＝OB，∴∠C＝∠CBO，∴∠C+∠OBA＝90°，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA+∠OBA＝90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为，∴OB＝，AC＝2，∵OP∥BC，∴∠C＝∠CBO＝∠BOP，又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，∴，即，∴BC＝1．本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．21、（1）30°（2）证明见解析【分析】（1）通过平行四边形的性质、中点的性质、平行线的性质去证明，可得，再根据求解即可；（2）延长FE至点N，使，连接AN，通过证明，可得，再根据特殊角的锐角三角函数值，即可得证．【详解】（1）∵四边形ABCD为平行四边形∵M为AD的中点即即；（2）延长FE至点N，使，连接AN，由（1）知，．本题考查了平行四边形的综合问题，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质以及判定定理、特殊三角函数值是解题的关键．22、40个【解析】设九（2）班有x个同学，则每个同学交换出（x﹣1）件小礼物，根据全班交换小礼物共1560件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设九（2）班有x个同学，则每个同学交换出（x﹣1）件小礼物，根据题意得：x（x﹣1）＝1560，解得：x1＝40，x2＝﹣39（不合题意，舍去）．答：九（2）班有40个同学．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23、（1）见解析；（2）等边．【分析】（1）利用基本作图，作CD垂直平分OB；

（2）根据垂直平分线的性质得到OC=CB，DO=DB，则可证明△OCB、△OBD都是等边三角形，所以∠ABC=∠ABD=60°，利用圆周角定理得到∠ADC=∠ACD=60°，则可判断△ACD为等边三角形．【详解】解：（1）如图，CD为所作；（2）如图，连接OC、OD、BC、BD，∵CD垂直平分OB，∴OC＝CB，DO＝DB，∴OC＝BC＝OB＝BD，∴△OCB、△OBD都是等边三角形，∴∠ABC＝∠ABD＝60°，∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形．故答案是：等边．本题考查了基本作图及圆周角定理：证明△OCB、△OBD是等边三角形是解本题的关键．24、（1）；（2）；（3）或2.【分析】（1）由平行四边形ABCD，得到AD与BC平行且相等，由两直线平行得到两对内错角相等，进而确定出三角形BEF与三角形AGF相似，由相似得比例，把x＝1代入已知等式，结合比例式得到AG＝BE，AD＝AB，即可求出所求式子的值；（2）设AB＝1，根据已知等式表示出AD与BE，由AD与BC平行，得到比例式，表示出AG与DG，利用两角相等的三角形相似得到三角形GDH与三角形ABE相似，利用相似三角形面积之比等于相似比的平方列出y与x的函数解析式，并求出x的范围即可；（3）分两种情况考虑：①当点H在边DC上时，如图1所示；②当H在DC的延长线上时，如图2所示，分别利用相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值．【详解】（1）在中，，，.，即，.，.为的中点，.，即.（2），不妨设.则，.，.，.，.，..在中，，....（3）①当点在边上时，，..，..解得.②当在的延长线上时，，..，..解得.综上所述，可知的值为或2.此题属于相似型综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．25、路灯杆AB的高度是1m．【解析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】解