江苏无锡市2027届九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

江苏无锡市2027届九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(4，2)，则的值是()A． B． C． D．23．如图，是的直径，是的弦，已知，则的度数为（）A． B． C． D．4．设，则代数式的值为（）A．－6 B．－5 C． D．5．下列说法正确的是（）．A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件C．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次6．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（）．A．众数是6吨 B．平均数是5吨 C．中位数是5吨 D．方差是7．在同一平面直角坐标系中，函数y=x﹣1与函数的图象可能是A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．若点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．10．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosB的值为()A． B． C． D．211．把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（）A．:1 B．4:1 C．3:1 D．2:112．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于()A．55° B．70° C．110° D．125°二、填空题（每题4分，共24分）13．在中，，则的面积为_________14．已知x=2是关于x的方程x2-3x+k=0的一个根，则常数k的值是___________.15．在一个布袋中装有只有颜色不同的a个小球，其中红球的个数为2，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验和发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出a大约是____________.16．若边长为2的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是___________．17．一个长方体木箱沿坡度坡面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=m，则木箱端点E距地面AC的高度EF为_____m.18．计算：（π﹣3）0+（﹣）﹣2﹣（﹣1）2＝_____．三、解答题（共78分）19．（8分）（1）解方程组:（2）计算20．（8分）如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D．（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．21．（8分）把函数C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）．（1）填空：t的值为（用含m的代数式表示）（2）若a＝﹣1，当≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式；（3）当m＝0时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．22．（10分）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴和轴正半轴上，点的坐标是，点是边上一动点（不与点、点重合），连结、，过点作射线交的延长线于点，交边于点，且，令，.（1）当为何值时，？（2）求与的函数关系式，并写出的取值范围；（3）在点的运动过程中，是否存在，使的面积与的面积之和等于的面积.若存在，请求的值；若不存在，请说明理由.23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是线段AC上的一个动点且＝k（0＜k＜1），点F在线段BC上，且DEFH为矩形；过点E作MN⊥BC，分别交AD，BC于点M，N．（1）求证：△MED∽△NFE；（2）当EF＝FC时，求k的值．（3）当矩形EFHD的面积最小时，求k的值，并求出矩形EFHD面积的最小值．24．（10分）如图1，在中，∠B=90°，，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为．问题发现：当时，_____；当时，_____．拓展探究：试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．问题解决：当旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．25．（12分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D,使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，，对角线BD平分∠ABC.求证:BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝.连接EG,若△EFG的面积为，求FH的长.26．某学校为了了解名初中毕业生体育考试成绩的情况（满分分，得分为整数），从中随机抽取了部分学生的体育考试成绩，制成如下图所示的频数分布直方图.已知成绩在这一组的频率为.请回答下列问题：（1）在这个调查中，样本容量是______________；平均成绩是_________________；（2）请补全成绩在这一组的频数分布直方图；（3）若经过两年的练习，该校的体育平均成绩提高到了分，求该校学生体育成绩的年平均增长率.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A．此图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

B．此图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

C．此图案既是轴对称图形，又是中心对称图形；

D．此图案仅是轴对称图形；

故选：C．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2、A【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数和图象中的数据即可解答本题．【详解】如图：过点（4，2）作直线CD⊥x轴交OA于点C，交x轴于点D，∵在平面直角坐标系中，直线OA过点（4，2），∴OD=4，CD=2，∴tanα=＝＝，故选A．本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．3、C【分析】根据圆周角定理即可解决问题．【详解】∵，∴．故选：C．本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4、A【分析】把a2+2a-12变形为a2+2a+1-13，根据完全平方公式得出（a+1）2-13，代入求出即可.【详解】∵，∴=a2+2a+1-13=（a+1）2-13=（-1+1）2-13=7-13=-6.故选A.本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的运用，主要考查学生的计算能力．题目比较好，难度不大．5、C【解析】试题解析：A.“购买1张彩票就中奖”是不可能事件，错误；B.“概率为0.0001的事件”是不可能事件，错误；C.“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件，正确；D.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次，错误.故选C.6、C【解析】试题分析：根据众数、平均数、中位数、方差：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．数据：3,4,5,6,6,6，中位数是5.5，故选C考点：1、方差；2、平均数；3、中位数；4、众数7、C【解析】试题分析：一次函数的图象有四种情况：①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．因此，∵函数y=x﹣1的，，∴它的图象经过第一、三、四象限．根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第一、三象限．综上所述，符合上述条件的选项是C．故选C．8、D【分析】根据各象限内点的坐标特征进行判断即可得.【详解】因则点位于第四象限故选：D.本题考查了平面直角坐标系象限的性质，象限的符号规律：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，熟记象限的性质是解题关键.9、D【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出x1，x2，x3的大小关系，本题得以解决．【详解】解：∵反比例函数（m为常数），m2+1＞0，

∴在每个象限内，y随x的增大而减小，

∵点A（x1，-6），B（x2，-2），C（x3，2）在反比例函数（m为常数）的图象上，∵，

∴x2＜x1＜x3，故选：D.本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．10、A【解析】解：在直角△ABD中，BD=2，AD=4，则AB=，则cosB=．故选A．11、A【分析】设原矩形的长为2a，宽为b，对折后所得的矩形与原矩形相似，则【详解】设原矩形的长为2a，宽为b，

则对折后的矩形的长为b，宽为a，

∵对折后所得的矩形与原矩形相似，

∴，

∴大矩形与小矩形的相似比是：1；

故选A．理解好：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.12、B【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．【详解】解：连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°．故选B．本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】过点点B作BD⊥AC于D，根据邻补角的定义求出∠BAD=60°，再根据∠BAD的正弦求出AD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】如图，过点B作BD⊥AC交AC延长线于点D，

∵∠BAC=120°，

∴∠BAD=180°-120°=60°，∵，∴，∴△ABC的面积．

故答案为：．本题主要考查了运用勾股定理和锐角三角函数的概念解直角三角形问题，作出图形更形象直观．14、2【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入x2-3x+k=0得4-6+k=0，然后解关于k的方程即可．【详解】把x=2代入x2−3x+k=0得4−6+k=0，解得k=2.故答案为2.本题考查的知识点是一元二次方程的解，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的解.15、1【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：由题意可得，=0.2，

解得，a=1．

故估计a大约有1个．

故答案为：1．此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．16、【分析】连接OB，CO，由题意得∠BOC=90°，OC=OB，在Rt△BOC中，根据勾股定理即可求解．【详解】解：连接OB，OC，如图∵四边形ABCD是正方形且内接于⊙O∴∠BOC=90°，

∴在Rt△BOC中，利用勾股定理得：∵OC=OB，正方形边长=2∴利用勾股定理得：则∴．

∴⊙O的半径是，

故答案为：．此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．17、1【分析】连接AE，在Rt△ABE中求出AE，根据∠EAB的正切值求出∠EAB的度数，继而得到∠EAF的度数，在Rt△EAF中，解出EF即可得出答案．【详解】解：连接AE，

在Rt△ABE中，AB=1m，BE=m，则AE==2m，又∵tan∠EAB==，∴∠EAB=10°，

在Rt△AEF中，∠EAF=∠EAB+∠BAC=60°，

∴EF=AE×sin∠EAF=2×=1m，答：木箱端点E距地面AC的高度为1m．

故答案为：1．本题考查了坡度、坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，熟练运用三角函数求线段的长度．18、1【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，得出答案．【详解】原式＝1+1﹣1＝1．故答案为：1．本题主要考查零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，牢记负整数指数幂的计算方法，是解题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）；（2）【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；（2）根据分式混合运算的法则及运算顺序进行计算即可．【详解】解：（1），①×2得：③，②－③得：，解得：，将代入①得：，原方程组的解为；（2）原式．本题考查了二元一次方程组的求解及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．20、（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】(1)证明AD=CD=BC,证明△BCD∽△BCA,得到.则有,所以点D是AB边上的黄金分割点;(2)证明,直线CD是△ABC的黄金分割线;【详解】解：(1)点D是AB边上的黄金分割点.理由如下:AB=AC,∠A=,∠B=∠ACB=.CD是角平分线,∠ACD=∠BCD=,∠A=∠ACD,AD=CD.∠CDB=180-∠B-∠BCD=,∠CDB=∠B,BC=CD.BC=AD.在△BCD与△BCA中,∠B=∠B,∠BCD=∠A=,△BCD∽△BCA,点D是AB边上的黄金分割点.(2)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:设ABC中,AB边上的高为h,则,,,由（1）得点D是AB边上的黄金分割点，，直线CD是△ABC的黄金分割线本题主要考查三角想相似及相似的性质，注意与题中黄金分割线定义相结合解题.21、（1）2m﹣1；（2）C2：y＝x2﹣4x；（3）0＜a或a≥1或a≤﹣．【分析】（1）C1：y＝ax2−2ax−3a＝a（x−1）2−4a，顶点（1，−4a）围绕点P（m，0）旋转180°的对称点为（2m−1，4a），即可求解；（2）分≤t＜1、1≤t≤、t＞三种情况，分别求解,（3）分a＞0、a＜0两种情况，分别求解．【详解】解：（1）C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，顶点（1，﹣4a）围绕点P（m，0）旋转180°的对称点为（2m﹣1，4a），C2：y＝﹣a（x﹣2m+1）2+4a，函数的对称轴为：x＝2m﹣1，t＝2m﹣1，故答案为：2m﹣1；（2）a＝﹣1时，C1：y＝﹣（x﹣1）2+4，①当≤t＜1时，x＝时，有最小值y2＝，x＝t时，有最大值y1＝﹣（t﹣1）2+4，则y1﹣y2＝﹣（t﹣1）2+4﹣＝1，无解；②1≤t≤时，x＝1时，有最大值y1＝4，x＝时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，y1﹣y2＝≠1（舍去）；③当t＞时，x＝1时，有最大值y1＝4，x＝t时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，y1﹣y2＝（t﹣1）2＝1，解得：t＝0或2（舍去0），故C2：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；（3）m＝0，C2：y＝﹣a（x+1）2+4a，点A、B、D、A′、D′的坐标分别为（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a）、（0，1）、（﹣3a，0），当a＞0时，a越大，则OD越大，则点D′越靠左，当C2过点A′时，y＝﹣a（0+1）2+4a＝1，解得：a＝，当C2过点D′时，同理可得：a＝1，故：0＜a≤或a≥1；当a＜0时，当C2过点D′时，﹣3a＝1，解得：a＝﹣，故：a≤﹣；综上，故：0＜a≤或a≥1或a≤﹣．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转等，其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏．22、（1）当时，；（2）（）；（3）存在，.【分析】（1）由题意可知，当OP⊥AP时，∽，∴，即，于是解得x值；（2）根据已知条件利用两角对应相等两个三角形相似，证明三角形OCM和三角形PCO相似,得出对应边成比例即可得出结论；（3）假设存在x符合题意.过作于点，交于点，由与面积之和等于的面积，∴.然后求出ED，EF的长，再根据三角形相似：∽，求出MP的长，进而由上题的关系式求出符合条件的x.【详解】解：（1）证明三角形OPC和三角形PAB相似是解决问题的关键，由题意知，，BC∥OA,∵，∴.∴.∴∽,∴，即，解得（不合题意,舍去）.∴当时，；(2)由题意可知，∥，∴.∵（已知），∴.∵，∴∽，∴对应边成比例：，即.∴，因为点是边上一动点（不与点、点重合），且满足∽，所以的取值范围是.（3）假设存在符合题意.如图所示，过作于点，交于点，则.∵与面积之和等于的面积，∴.∴.∵∥，∴∽.∴.即，解得.由（2）得，所以.解得（不合题意舍去）.∴在点的运动过程中存在x,，使与面积之和等于的面积，此时.1.相似三角形的判定与性质；2.矩形性质.23、（1）见解析；（2）；（3）矩形EFHD的面积最小值为，k＝．【分析】（1）由矩形的性质得出∠B＝90°，AD＝BC＝4，DC＝AB＝3，AD∥BC，证出∠EMD＝∠FNE＝90°，∠NEF＝∠MDE，即可得出△MED∽△NFE；（2）设AM＝x，则MD＝NC＝4﹣x，由三角函数得出ME＝x，得出NE＝3﹣x，由相似三角形的性质得出＝，求出NF＝x，得出FC＝4﹣x﹣x＝4﹣x，由勾股定理得出EF＝＝，当EF＝FC时，得出方程4﹣x＝，解得x＝4（舍去），或x＝，进而得出答案；（3）由相似三角形的性质得出＝＝，得出DE＝EF，求出矩形EFHD的面积＝DE×EF＝EF2＝＝，由二次函数的性质进而得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC＝4，DC＝AB＝3，AD∥BC，∵MN⊥BC，∴MN⊥AD，∴∠EMD＝∠FNE＝90°，∵四边形DEFH是矩形，∴∠MED+∠NEF＝90°，∴∠NEF＝∠MDE，∴△MED∽△NFE；（2）解：设AM＝x，则MD＝NC＝4﹣x，∵tan∠DAC＝tan∠MAE＝＝＝，∴ME＝x，∴NE＝3﹣x，∵△MED∽△NFE，∴＝，即＝，解得：NF＝x，∴FC＝4﹣x﹣x＝4﹣x，EF＝＝，当EF＝FC时，4﹣x＝，解得：x＝4或x＝，由题意可知x＝4不合题意，当x＝时，AE＝，∵AC＝＝＝5，∴k＝＝；（3）解：由（1）可知：△MED∽△NFE，∴，∴DE＝EF，∴矩形EFHD的面积＝DE×EF＝EF2＝＝∴当x﹣＝0时，即x＝时，矩形EFHD的面积最小，最小值为：，∵cos∠MAE＝＝＝，∴AE＝AM＝×＝，此时k＝＝．本题考查了矩形与相似三角形，以及二次函数的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质建立二次函数模型是解题的关键．24、（1）①；②；（2）的大小没有变化；（3）BD的长为：．【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．（3）分两种情况分析，A、D、E三点所在直线与BC不相交和与BC相交，然后利用勾股定理分别求解即可求得答案．【详解】解：（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE=