30.1.2 圆的切线（2） 课件 2026-2027学年数学人教版九年级上册

圆的切线（第2课时）我们已经知道过圆上一点作圆的切线的方法，下面研究如何过圆外一点作圆的切线．探究如图，P是⊙O

外一点，要过点

P作⊙O的切线.由此可知，点O，P，A可以确定一个圆，OP是这个圆的直径.因此以OP为直径作圆，该圆与⊙O的交点即所要确定的点．需要在⊙O上确定一点

A，满足OA丄AP，即∠OAP=90°.OP方法OP(1)连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C;(2)以点C为圆心，CO为半径作圆，与O相交于A，B两点；AB为切点；(3)作直线PA，PB，即所求作的切线.MNCABOP可以看到，过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切.我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长(如图中的线段PA，PB的长)，叫作这点到圆的切线长.MNCAB（1）切线是一条与圆相切的直线，不能度量；（2）切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．思考切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别呢？OBAP思考如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点O，P作直线OP．线段

PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？PA＝PB∠APO＝∠BPOOBAP观察下面的动图，和你的操作步骤一样吗？

∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP．又

OA＝OB，OP＝OP．∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）．∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO．你会证明吗？证明：如图，连接OA和OB．OBAP试用文字语言叙述前面得出的结论．

PA，PB分别切⊙O于点A，BPA＝PB∠OPA＝∠OPB从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．几何语言：切线长定理追问（1）若连接两切点A，B，AB交OP于点M．你能得出什么新的结论？MOP垂直平分AB

证明：∵PA，PB是⊙O的切线，

点A，B是切点，

∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，

∴△PAB是等腰三角形，

PM为顶角的平分线，

∴OP垂直平分AB．OBAP追问（2）若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论？CCA＝CB证明:∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，

∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB．

又∵PC＝PC，

∴△PCA≌△PCB．

∴AC＝BC．OBAP（3）连接圆心和圆上一点．（2）连接两切点；（1）分别连接圆心和切点；在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形．COBAPM（1）写出图中所有的垂直关系．OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP．（2）写出图中与∠OAC相等的角．∠OAC＝∠OBC＝∠APC＝∠BPC．OPBCADE

PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C．（3）写出图中所有的全等三角形．△AOP≌△BOP，

△AOC≌△BOC，

△ACP≌△BCP．（4）写出图中所有的等腰三角形．△ABP，△AOB．

PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C．OPBCADE

例题

如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，连接AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长.

解：

如图，连接OA.

∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，

∴PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA.又∠APO=30°，

∴∠APB=60°.

∴△PAB是等腰三角形.

例题

如图，PA，PB

是⊙O

的两条切线，A，B

是切点，连接AB，若∠A