68　第八章　第62课时　直线与圆、圆与圆的位置关系

11/23第62课时直线与圆、圆与圆的位置关系[考试要求]1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识点1直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d．由(x-a)2+(y-b)2＝r2位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ＝0Δ>0几何观点d>rd＝rd<r知识点2圆与圆的位置关系已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r1C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r2则圆心距d＝|C1C2|＝(x则两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系外离内含相交内切外切圆心距与半径的关系d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2图示公切线条数40213知识点3直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝1+k[常用结论]1．圆的切线方程的常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．(4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，①若两圆相交，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程．②若两圆相切，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共切线所在的直线方程．(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．1．(苏教版选择性必修第一册P66练习T2)设a，b为实数，若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是()A．在圆上 B．在圆外C．在圆内 D．不能确定B[由题意可得1a2+即a2＋b2>1，所以P(a，b)在圆外．]2．(北师大版选择性必修第一册P36练习T2改编)圆x2＋y2＝5在点P(1，2)处的切线方程为()A．x－2y＋3＝0B．2x＋y－4＝0C．x＋2y－5＝0D．2x－y－4＝0C[圆心为O(0，0)，kOP＝2，故切线的斜率为－12，故切线方程为y－2＝－12(x－1即x＋2y－5＝0．]3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P98练习T1改编)已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0，则下列说法正确的是()A．圆C1与圆C2相交B．圆C1与圆C2外切C．两圆的圆心距为5D．两圆的圆心距为3BC[圆C1：x2＋y2＝4，圆心为C1(0，0)，半径r＝2；圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0，即(x－4)2＋(y－3)2＝9，圆心为C2(4，3)，半径R＝3．因为|C1C2|＝42+32＝5，R＋r＝5＝|C1C24．(人教A版选择性必修第一册P93练习T3)直线2x－y＋2＝0被圆(x－1)2＋(y－2)2＝4截得的弦长为______________．

855[圆心坐标为(1，2)，半径r＝圆心到直线的距离d＝|2-2+2|2所以直线与圆相交，所以弦长l＝2r2-d2＝5．(湘教版选择性必修第一册P100练习T3改编)若圆C1：x2＋y2＋2x＋y＝0，圆C2：x2＋y2＋4x＋3y＋2＝0，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程是()A．x－1＝0 B．x＋y＋1＝0C．x＋1＝0 D．x－y－1＝0B[由圆C1：x2＋y2＋2x＋y＝0，圆C2：x2＋y2＋4x＋3y＋2＝0，将两圆方程作差，有(x2＋y2＋4x＋3y＋2)－(x2＋y2＋2x＋y)＝0，整理可得x＋y＋1＝0，即公共弦所在直线方程为x＋y＋1＝0．故选B．]考点一直线与圆的位置关系位置关系的判断[典例1](多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切ABD[对于A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＝r，∴直线对于B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2<r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2>r，∴直线对于C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2>r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2<r，∴直线对于D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＝r，∴直线l故选ABD．]通性通法：判断直线与圆的位置关系的常用方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．弦长问题[典例2](2025·肇庆三模)若直线l：x＋y－m＝0(m>0)被圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为2m，则m＝()A．2105 BC．2 D．22C[圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，圆心坐标为(1，－1)，半径r＝2，直线l的方程为x＋y－m＝0，圆心到直线l的距离d＝|1+(-1)-m12+1因为直线l：x＋y－m＝0(m>0)被圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为2m，则2m＝222解得m＝2，将m＝2代入原方程，验证弦长是否匹配，结果符合题意．故选C．]通性通法：弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得到方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ>0的前提下，得到根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2切线问题[典例3]若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．[解]∵(2－1)2＋(3＋2)2>1，∴点P在圆外．法一：①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0．∵直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，∴|5-kk2+1＝1，∴k＝125，∴直线l的方程为y－3＝125(x－2)，即12x－②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．∴直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2．法二：①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3，与圆的方程联立消去y，得(x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1，整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0，∴Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，∴k＝125．此时直线l的方程为y－3＝125(x－2)，即12x－5y－9＝②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．∴直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2．[母题探究]1．(变条件)若将本例3中“点P(2，3)”改为“点P(2，－2)”，其他条件不变，求直线l的方程．[解]∵(2－1)2＋(－2＋2)2＝1，∴点P在圆上．∴过P(2，－2)的切线方程为x＝2，即直线l的方程为x＝2．2．(变结论)若本例3中条件不变，求此切线长．[解]点P(2，3)到圆心(1，－2)的距离为(2-1)∴切线长为26-1＝5．通性通法：求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线．【教用·备选题】1．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A．1 B．2C．4 D．25C[因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0得ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，令x故直线恒过点(1，－2)，设P(1，－2)．圆的方程化为标准方程为x2＋(y＋2)2＝5，设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，|PC|＝1，|AC|＝5，此时|AB|＝2|AP|＝2|AC|2-|PC|2故选C．]2．(2025·上海普陀区期末)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．(1)求过点(4，6)的圆的切线方程；(2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交；(3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程．[解](1)根据题意，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，其圆心C(1，2)，半径为5，设点(4，6)为点G，有(4－1)2＋(6－2)2＝25，则点(4，6)在圆上，所以设要求切线斜率为k，则kGC＝6-24-1＝43，则所以直线方程为y－6＝－34(x－4)，即3x＋4y－36＝0(2)(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)变形为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，令2x+y-7＝0，x+所以直线l恒经过点(3，1)，因为(3－1)2＋(1－2)2<25，所以点(3，1)在圆内部，所以直线l与圆C恒相交．(3)当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点(3，1)所在的直线垂直，设弦的斜率为k1，则k1×1-23-1＝－1，解得k1＝2弦方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，所以圆心到直线的距离d＝|2-2-5所以弦长为225-5＝45．考点二圆与圆的位置关系[典例4](1)(2026·南昌模拟)已知圆C1：x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)与圆C2：x2＋y2－23y＋2＝0恰有三条公切线，则实数a＝()A．－1 B．1C．±1 D．2(2)(2026·南京模拟)已知两圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0和C2：x2＋y2－6x－12y＋m＝0，求：(i)当m取何值时两圆外切？(ii)当m＝－9时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．(1)C[圆C1：x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)与圆C2：x2＋y2－23y＋2＝0化为标准方程分别为(x＋a)2＋y2＝a2(a≠0)，x2＋(y－3)2＝1，∵两圆恰有三条公切线，∴两圆外切，∴|C1C2|＝r1＋r2，∴a2+3＝|a|＋∴a2＋3＝a2＋2|a|＋1，∴|a|＝1，∴a＝±1．](2)[解](i)由已知可得两个圆的方程分别为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，(x－3)2＋(y－6)2＝45－m，两圆的圆心距d＝(-1-3)2+(3-6)2＝5，两圆的半径之和r1＋r2若两圆外切，则3＋45-m＝5，可得m＝41(ii)当m＝－9时，两圆的方程分别为x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，x2＋y2－6x－12y－9＝0，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x＋3y＋5＝0．圆C1的圆心(－1，3)到公共弦所在的直线的距离d＝|-4+9+5|5＝2，可得弦长为29-4＝通性通法：(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．[多维变迁]1．(2025·上海黄浦区三模)若圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0没有公共点，则实数k的取值范围是()A．(－9，11)B．(－∞，－9)∪(11，＋∞)C．(－25，－9)D．(－25，－9)∪(11，＋∞)D[化圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0为(x－3)2＋(y－4)2＝25＋k，则k>－25，圆心坐标为C2(3，4)，半径为25+k圆C1：x2＋y2＝1的圆心坐标为C1(0，0)，半径为1，要使圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6k－8y－k＝0没有公共点，则|C1C2|>25+k＋1或|C1C2|<25+k－即5>25+k＋1或5<25+k－1，解得－25<k<－9或k>所以实数k的取值范围是(－25，－9)∪(11，＋∞)．故选D．]2．(2025·马鞍山雨山区期末)圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－3＝0，x2＋y2－4y－3＝0的交点的圆的方程为()A．x2＋y2－6x＋2y－3＝0B．x2＋y2＋6x＋2y－3＝0C．x2＋y2－6x－2y－3＝0D．x2＋y2＋6x－2y－3＝0A[由x2＋y2－4x－3＝0，x2＋y2－4y－3＝0，解得两圆交点为M2+102，2+因为所求圆经过此两点，则连接MN，MN即是所求圆的一条弦．因为MN的斜率k1＝1，所以其垂直平分线的斜率k2＝－1，MN的中点P(1，1)，所以垂直平分线的方程为y＝－x＋2，垂直平分线与直线x－y－4＝0的交点即为所求圆的圆心，联立y解得x＝3，y＝-1，所以圆心坐标为圆的半径r＝3-2+1022+-1-2+1022＝13，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝13，即x2＋y故选A．]1．(链接考向1)(2025·曲靖市期末)若直线y＝3x＋a＋1与圆C：x2＋(y－2a)2＝14a2相离，则实数a的取值范围是(A．-∞，12 B．(－∞，C．0，12 B[圆C：x2＋(y－2a)2＝14a2的圆心为C(0，2a)，半径R＝a因为直线y＝3x＋a＋1与圆C相离，所以点C到直线y＝3x＋a＋1的距离d＝|-2a+a+1结合R＝a2>0，a≠0，可得实数a的取值范围是(－∞，0)∪0故选B．]2．(链接考点二)(人教B版选择性必修第一册P120探索与研究改编)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A．1条 B．2条C．3条 D．4条D[由x2－4x＋y2＝0，得(x－2)2＋y2＝22，则圆心坐标为(2，0)，半径为2；由x2＋y2＋4x＋3＝0，得(x＋2)2＋y2＝12，则圆心坐标为(－2，0)，半径为1．故两圆的圆心距为4，半径之和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D．]3．(链接考向2)(2025·泸州泸县期中)已知直线l：x－2y＋3＝0与圆C：x2＋y2－2x＋6y－15＝0相交于A，B两点，则|AB|＝()A．5 B．5C．25 D．10C[根据题意可知，圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝25的圆心C(1，－3)，半径r＝5，圆心C到直线l的距离d＝|1-2×(-3)+3|所以|AB|＝2r2-d2故选C．]4．(链接考向3)(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为_____________．

5x－12y＋45＝0或x－3＝0[圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，则圆心O(1，2)，半径为2，因为|OA|＝(3-1)2+(5-2)2＝13>2，所以点A(3，5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0；当切线斜率存在时，设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0．又圆心坐标为(1，2)，半径r＝2即|3－2k|＝2k2+1，解得k＝512，此时直线方程为5x－12y＋45故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0．]课时作业(六十二)直线与圆、圆与圆的位置关系一、单项选择题1．(2025·永州市期末)已知圆E：x2＋y2－6x－8y＝0，圆F：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，则这两圆的位置关系为()A．内含 B．相切C．相交 D．外离A[根据题意，化简得E：(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心为E(3，4)，r1＝5．圆F：(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心为F(1，2)，半径r2＝1．可得圆心距|EF|＝(3-1)2+(4-2)2＝22，因为|EF|<r1－r故选A．]2．(2025·长沙月考)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝16，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－13m－9＝0，则直线l与圆C的公共点个数为()A．0 B．1C．2 D．与m有关，不能确定C[将直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－13m－9＝0，整理可得(2x＋y－13)m＋x＋y－9＝0，令2x+y-13＝0，x+y将点P的坐标代入圆C中，可得(4－2)2＋(5－3)2＝8<16，所以点P在圆C内，所以直线与圆相交，即直线与圆的公共点有2个．故选C．]3．(2026·长春模拟)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为()A．2 B．22C．3 D．23B[联立x两式相减可得公共弦方程为x－y＋2＝0，法一：联立x得x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝－2，即公共弦的端点坐标为(0，2)，(－2，0)，根据两点之间的距离公式可得公共弦长d＝[0-(-2)]2+(2-0法二：圆x2＋y2－4＝0的圆心坐标为(0，0)，半径r＝2，圆心到公共弦的距离d1＝22公共弦长d＝2r2-d1故选B．]4．(2025·吉林月考)已知直线l：ax＋by－1＝0与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，若|AB|＝23，则点P(a，b)()A．可能不在l上 B．一定在l上C．可能在C外 D．一定在C上B[圆C：x2＋y2＝4的圆心C(0，0)，半径r＝2，可得圆心C到直线l：ax＋by－1＝0的距离d＝1a所以弦长|AB|＝2r2-d2＝24-可得a2＋b2＝1，将点P(a，b)代入直线l的方程可得a2＋b2＝1，所以点P在直线l上．故选B．]5．(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)由直线x－y＋4＝0上一点P向圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1引切线，则切线长的最小值为()A．7 B．3C．22 D．22－1A[圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心C(1，1)，半径为1，由直线x－y＋4＝0上一点P向圆(x－1)2＋(y－1)2＝1引切线，设切点为M，连接PC，MC(图略)，则|PM|＝|PC|2-|MC|2＝|PC|2-1，要使切线长最小，则|PC|最小，而|PC|的最小值等于圆心C到直线x－y＋4＝0的距离，故|PC|6．(2025·全国一卷)已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝3x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则实数r的取值范围是()A．(0，1) B．(1，3)C．(3，＋∞) D．(0，＋∞)B[由题意得圆心(0，－2)到直线y＝3x＋2的距离d＝2．当r＝d－1＝1时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝3x＋2的距离为1的点有且仅有一个，当r＝d＋1＝3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝3x＋2的距离为1的点有且仅有三个，故当1<r<3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝3x＋2的距离为1的点有且仅有两个．故选B．]二、多项选择题7．(人教A版选择性必修第一册P98练习T2改编)已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－8y＝0的交点为A，B，则下列结论正确的是()A．直线AB的方程为x－2y＝0B．|AB|＝2C．线段AB的垂直平分线方程为2x＋y－2＝0D．若点P为圆O1上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为55＋ACD[根据题意，由x2＋y2－2x＝0，得(x－1)2＋y2＝1，则圆心O1(1，0)，半径r＝1，由x2＋y2＋2x－8y＝0，得(x＋1)2＋(y－4)2＝17，则圆心O2(－1，4)，半径R＝17．对于A，联立x2+y2-2x＝0，x2+y2+2x-8y＝0，得x－2y＝0，即直线AB的方程为x－2y＝0，A正确；对于B，圆心O1到直线AB的距离d＝|1-0|1+4＝55，则|AB|＝2×1-15＝455，B错误；对于C，线段AB的垂直平分线即直线O1O2，由O1(1，0)，O2(－1，4)，易得直线O1O2的方程为2x＋y8．(2025·昭通市期中)已知直线l：x＝ty－2，圆C：x2＋y2－4x－4＝0，则下列说法正确的有()A．若t＝1，则l与圆C相切B．若l与圆C相交，则t<－1或t>1C．圆C可能关于l对称D．若t＝3，则l被圆C截得的弦长为4ABD[由题可知，直线l过定点(－2，0)，因为圆C：(x－2)2＋y2＝8，所以圆心为C(2，0)，半径为22．对于A，若t＝1，则圆心C(2，0)到直线x－y＋2＝0的距离为42＝22所以l与圆C相切，故A正确；对于B，依题意，由圆心C(2，0)到直线x－ty＋2＝0的距离为41+t2<解得t>1或t<－1，故B正确；对于C，将(2，0)代入到l的方程，得2＝t×0－2不成立，故l不能经过圆心C，则圆C不可能关于l对称，故C错误；对于D，若t＝3，圆心C(2，0)到直线x－3y＋2＝0的距离为42＝2则弦长为28-22＝4，故D故选ABD．]9．(2025·盐城一模)已知圆O：x2＋y2＝4，点P(x0，y0)是圆O上的点，直线l：x－y＋2＝0，则()A．直线l被圆O截得的弦长为23B．圆O上恰有4个点到直线l的距离等于1C．yD．过点P向圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝1引切线，A为切点，则|PA|最小值为22AD[圆O：x2＋y2＝4的半径r＝2，圆心为O(0，0)．对于A，点O到直线l的距离d＝|0-0+22＝1，所以弦长为2r2-d对于B，因为圆心O到直线l的距离d＝1<2＝r，所以直线l与圆O相交，此时劣弧上的点到直线l的距离的最大值为r－d＝1，所以劣弧上只有一个点满足题意，优弧上有两个点符合题意，即圆O上共有3个点到直线l的距离为1，B错误；对于C，令yx-4＝k，则y＝k(x－4)，由题意，直线kx－y－4k＝0与圆x2＋y2＝则|4kk2+1≤2，解得－3所以式子y0x0对于D，由题意知，M(3，4)，且|PA|2＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－1，所以问题转化为求|PM|的最小值，易知|PM|min＝|OM|－2＝32+42－此时|PA|＝32-1＝22，故D故选AD．]三、填空题10．(2025·天津卷)l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r>0)交于C，D两点，|AB|＝3|CD|，则实数r＝______________．

2[对于直线l1：x－y＋6＝0，令x＝0，得y＝6，令y＝0，得x＝－6，所以A(－6，0)，B(0，6)，所以|AB|＝62．因为|AB|＝3|CD|，所以|CD|＝22．圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的圆心为(－1，3)，圆心到直线l1的距离d＝|-1-3+6|2＝2，所以r＝11．(2026·南昌模拟)已知圆O1：x2＋y2－23x＋a＝0与圆O2：x2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若弦长|AB|＝3，则实数a＝______________．

0或－4[圆O1：x2＋y2－23x＋a＝0与圆O2：x2＋(y－1)2＝1两个方程相减，化简得23x－2y－a＝0，即为直线AB的方程．圆O2：x2＋(y－1)2＝1的圆心为O2(0，1)，半径r2＝1，设点O2到直线AB的距离为d，则|AB|＝2r22-d2解得a＝0或a＝－4．]12．(2026·晋江模拟)若直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－6)2＋y2＝1都相切，则实数k＝______________．

24[圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径r1＝1圆(x－6)2＋y2＝1的圆心为(6，0)，半径r2＝1，显然两圆相离．直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－6)2＋y2＝1都相切，则b1+k2＝1，|6k+b1+k2＝阶段检测(十三)第59～62课时一、单项选择题1．(2025·丽江二模)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为()A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0 D．2x＋y－1＝0A[由题意，设直线的方程为x－2y＋c＝0(c≠3)，因为所求直线过点P(－1，3)，所以－1－6＋c＝0，解得c＝7，故所求直线的方程为x－2y＋7＝0．故选A．]2．(2026·绵阳模拟)若直线l1：x＋2y－3＝0与直线l2：kx－2y＋1＝0(k∈R)平行，则这两条直线间的距离为()A．55 B．C．45 D．B[直线l1：x＋2y－3＝0与直线l2：kx－2y＋1＝0(k∈R)平行，则k1＝-22≠故直线l1：x＋2y－3＝0，直线l2：x＋2y－1＝0，这两条直线间的距离为|-3+1故选B．]3．(2025·大连期末)直线mx＋y－m－1＝0被圆x2＋y2＋2x－8＝0截得的最短的弦长为()A．10 B．23C．4 D．9C[由题意，圆的方程x2＋y2＋2x－8＝0可化为(x＋1)2＋y2＝32，所以圆心坐标为(－1，0)，半径r＝3，直线mx＋y－m－1＝0化简可得直线y＝m(1－x)＋1，所以直线过定点(1，1)，因为定点和圆心的距离d＝(-1-1)2+(0-1所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时，圆心到直线的距离最大，最大值为5，所以弦长最短为232-(5故选C．]4．(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝()A．1 B．15C．104 D．B[如图，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝5，所以圆心到点(0，－2)的距离为(2-0)2+(0+2)由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sinα2＝r22＝522＝104，所以cosα2＝64，所以sinα5．(2026·秦皇岛模拟)平面几何中有一个著名的定理：△ABC的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为△ABC的九点圆或欧拉圆，若A(－2，1)，B(4，1)，△ABC的垂心为G(3，3)，则△ABC的九点圆的标准方程为()A．(x－2)2＋yB．(x＋2)2＋yC．(x－2)2＋yD．(x＋2)2＋yC[根据题意，设△ABC的九点圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由于A(－2，1)，B(4，1)，G(3，3)，设AB中点为D，其坐标为(1，1)，AG中点为E，其坐标为12，2，BG中点为F由△ABC的九点圆过D，E，F，则有(1-解得a故△ABC的九点圆的标准方程为(x－2)2＋y-故选C．]6．(2026·石家庄模拟)已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点P到直线3x－4y＋7＝0的距离为1，则满足条件的点P的个数为()A．1 B．2C．3 D．4D[由已知(x－1)2＋(y－1)2＝9，可知圆心坐标为(1，1)，半径r＝3，圆心(1，1)到直线的距离为|3-4+7|5＝所以圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上到直线3x－4y＋7＝0的距离为1的点共有4个．故选D．]二、多项选择题7．(2025·南京校级月考)下列说法错误的是()A．点(0，2)到直线y＝x＋1的距离为2B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率C．直线x－2y＋4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8D．经过点(2，2)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－4＝0ACD[对于A，点(0，2)到直线y＝x＋1的距离为d＝|0-2+1|2对于B，任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，如与x轴垂直的直线，所以选项B正确；对于C，直线x－2y＋4＝0与两坐标轴的交点为A(－4，0)和B(0，2)，与两坐标轴围成的三角形面积是S△AOB＝12×4×2＝4，选项C对于D，直线过原点时，过点(2，2)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为y＝x，直线不过原点时，过点(2，2)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－4＝0，所以选项D错误．故选ACD．]8．(2026·苏州模拟)已知点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则()A．两个圆外离B．|PQ|的取值范围为[3，7]C．两个圆上任意一点关于直线4x＋3y＝0的对称点仍在该圆上D．两个圆的公共弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0ABC[易知圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1．将C2的方程化为(x－3)2＋(y＋4)2＝1，得圆心为C2(3，－4)，半径r2＝1．对于A，两圆的圆心距|C1C2|＝5>r1＋r2，所以两圆外离，故A正确；对于B，|PQ|的最小值为|C1C2|－r1－r2＝3，最大值为|C1C2|＋r1＋r2＝7，所以|PQ|的取值范围为[3，7]，故B正确；对于C，两圆的圆心C1(0，0)，C2(3，－4)都在直线4x＋3y＝0上，所以直线4x＋3y＝0为两圆的对称轴，故C正确；对于D，由A项知两圆外离，所