04　第一章　第3课时　等式性质与不等式性质

第3课时等式性质与不等式性质[考试要求]1．掌握等式性质．2．会比较两个数的大小．3．理解不等式的性质，并能简单应用．知识点1两个实数比较大小的方法关系方法作差法作商法a＞ba－b＞0ab＞1(a，b＞0)或ab＜1(a，ba＝ba－b＝0ab＝1(b≠a＜ba－b＜0ab＜1(a，b＞0)或ab＞1(a，b知识点2不等式的性质性质1对称性：a>b⇔b<a；性质2传递性：a>b，b>c⇒a>c；性质3可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；性质5同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；性质6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；性质7同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；性质8同正可开方性：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥[常用结论]1．倒数性质若ab＞0，则a＞b⇒1a＜1若ab＜0，则a＞b⇒1a＞2．若a>b>0，m>0，则(1)真分数性质：b-ma-m<ba<b即真分数越加越大，越减越小；(2)假分数性质：a+mb+m<ab<a即假分数越加越小，越减越大．1．(苏教版必修第一册P53例3改编)设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为________．M>N[M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1>0．故M>N．]2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T8)下列命题为真命题的是()A．若a>b>0，则ac2>bc2B．若a>b>0，则a2>b2C．若a<b<0，则a2<ab<b2D．若a<b<0，则1a<B[对于A，若a>b>0，则当c＝0时，显然ac2>bc2不成立，故A错误；对于B，若a>b>0，则a2>b2成立，故B正确；对于C，若a<b<0，则a2>b2，故C错误；对于D，若a<b<0，则1a-1b所以1a>1b，故D错误．故选B3．(人教B版必修第一册P81习题2－2BT3节选)已知a∈(1，3)，b∈(2，3)，则a－2b的取值范围是________．(－5，－1)[由b∈(2，3)得－6<－2b<－4，又1<a<3，故－5<a－2b<－1．]4．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10)已知b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，再添加m克糖(m＞0，假设全部溶解)，糖水变甜了，这一事实用不等式可表示为()A．ab＞ab+m BC．ab+m＜a+mbD[这一事实用不等式可表示为ab＜下面证明不等式成立：∵ab-a+m又∵b＞a＞0，m＞0，∴b(b＋m)＞0，m(a－b)＜0，即ma-b∴ab-a+mb+m＜0，考点一数(式)的大小比较[典例1](多选)下列不等式中正确的是()A．x2－2x>－3(x∈R)B．若a＝ln33，b＝ln22，C．a2＋b2>2(a－b－1)D．ab<a+2025b+2025(ABD[对于A，∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2－2x>－3，故A正确．对于B，法一(作商法)：∵a＝ln33＞0，b＝ln22＞0，∴ab＝ln33×2ln2∴a＞b．法二(作差法):a－b＝ln33-ln22＝16(2ln3－3ln2)＝16(ln9－ln8)＞0，对于C，∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误．对于D，a+2025b+2025∵b>a>0，∴2025b-abb+2025>0，∴ab通性通法：比较两个数(或式子)的大小可以利用不等式的性质直接判断，也可以用作差法或作商法．作差法的关键是将差“变形”为完全平方或几个因式的积(商)的形式．作商法的关键变形是分母有理化或变为幂的形式．【教用·通性通法】比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．考点二不等式的基本性质[典例2](1)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题错误的是()A．若a>b>0，则a－1a>b－B．若b<a<0，则1b>C．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－cD．若a＞b，c＞d＞0，则ad＞(2)(多选)(2025·保定期中)若a＜0＜b，且a＋b＞0，则下列说法正确的是()A．ab＞－1 B．1aC．a2＜b2 D．a－1a>b－(1)D(2)AC[(1)对于A，∵a>b>0，∴1a<1b，∴－1a＞－1b，∴a－1a＞b－对于B，若b<a<0，则－b>－a>0，∴1-b<1-a，则1b>对于C，∵a＞b，c＞d，∴由不等式的可加性可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，故C正确；对于D，令a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d＞0，但ad＝bc，故故选D．(2)A中，因为a＜0＜b，且a＋b＞0，两边同时除以b，所以ab＋1＞0，即ab＞－1，所以B中，由题意可得ab＜0，a＋b＞0两边同时除以ab，则1b+1a＜0C中，由题意可得|b|＞|a|，所以b2＞a2，所以C正确；D中，取a＝－2＜0＜b＝3，a＋b＝1＞0，则a－1a＝－32＜b－1b＝83，故D易错提醒：利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质的条件．【教用·通性通法】利用不等式的性质判断命题真假的两种方法(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可．(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．考点三不等式性质的综合应用[典例3](多选)(2025·西安雁塔区校级月考)已知实数a，b满足－3＜a＋2b＜2，－1＜2a－b＜4，则()A．－1＜a＜2 B．－2＜b＜1C．－2＜a＋b＜2 D．－2＜a－b＜4ABC[因为－3＜a＋2b＜2，－1＜2a－b＜4，所以－2＜4a－2b＜8，所以－5＜5a＜10，即－1＜a＜2，A正确；由－3＜a＋2b＜2，可得－4＜－2a－4b＜6，又－1＜2a－b＜4，则－5＜－5b＜10，即－2＜b＜1，B正确；a＋b＝35(a＋2b)＋15(2a－b)∈(－2，2)，a－b＝－15(a＋2b)＋35(2a－b)∈(－1，3)，故选ABC．][母题探究]1．(综合变式)已知3<a<8，4<b<9，则ab的取值范围是________13，2[因为4<b<9，所以19<1b<14，又3<a<8，所以19×3<ab<14×2．(变结论)本例条件不变，则3a＋2b的取值范围是________．(－5，6)[设3a＋2b＝x(a＋2b)＋y(2a－b)，即3a＋2b＝(x＋2y)a＋(2x－y)b，所以x+2y于是3a＋2b＝75(a＋2b)＋45(2a－b又因为－215＜75(a＋2b)＜145，－45＜45(2a－所以－5＜75(a＋2b)＋45(2a－b)＜即－5＜3a＋2b＜6．]易错提醒：多次运用不等式的性质易使变量范围扩大，导致结果错误，一般是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．【教用·通性通法】利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．1．(链接考点一)已知a＝2，b＝7-3，c＝6-2，则实数a，b，cA．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>aB[由a－b＝2＋3-7，且(2＋3)2＝7＋43>7，故a>b．a－c＝2＋2-6，且(2＋2)2＝6＋42>6，故a>c．b－c＝(7+2)－(6+3)，且(6+3)2＝9＋218>9＋214＝(7+2)2，故2．(链接考点一)(2025·赣州月考)已知实数a＜b，则“m＞0”是“ab＜a+mb+A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件D[因为实数a＜b，若m＞0，如a＝－2，b＝－1，m＝2，得ab＞a∴m＞0不是ab＜a若ab＜a+mb+m，如a＝0，b＝1，m＝－2符合此不等式∴m＞0不是ab＜a+∴m＞0是ab＜a故选D．]3．(链接考点二)(多选)(2026·许昌模拟)已知a，b∈R，则下列结论正确的是()A．若a＞b，且1a＞1b，则abB．若a＞b，且a≠－b，则ba-C．若a＜b＜0，则ab＜－a－bD．若a＜b＜0，则ab＞ACD[选项A，由a＞b可得a－b＞0，由1a＞1b可得a-bab＜0，故ab选项B，当a＝0，b＝－1时，满足a＞b，且a≠－b，但ba-b＝－1，aa+b＝0，不等式b选项C，因为a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，故－a－b＞2ab＞ab，C正确；选项D，由a＜b＜0，可得b－a＞0，且b－1＜0，故ab-a-1b-1＝b-abb故选ACD．]4．(链接考点三)(人教A版必修第一册P43习题2.1T5)已知2<a<3，－2<b<－1，则2a＋b的取值范围为________．(2，5)[因为2<a<3，所以4<2a<6，又－2<b<－1，所以2<2a＋b<5．]课时作业(三)等式性质与不等式性质一、单项选择题1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3(2)改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有()A．M>N B．M≥NC．M<N D．M≤NA[因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N．故选A．]2．(2025·北京海淀区三模)已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是()A．xy＞yz B．xz＞yzC．xy＞xz D．x|y|＞z|y|C[∵x＞y＞z，∴3x＞x＋y＋z＝0，3z＜x＋y＋z＝0，∴x＞0，z＜0．由x＞0，y＞z，得xy3．(2025·杭州月考)若a＞b＞0，c＞d，则下列结论正确的是()A．|c|＞|d| B．ac＞bdC．ac2＞bc2 D．ad2D[因为a＞b＞0，c＞d，当c＝0，d＝－1时，A选项显然错误；当c＝－1，d＝－2，a＝2，b＝1时，ac＝－2＝bd＝－2，B选项错误；当c＝0时，ac2＝0＝bc2，C选项错误；因为d2＋1＞0，又因为a＞b＞0，所以ad2+1＞b故选D．]4．(人教B版必修第一册P81习题2－2BT3改编)已知6<a<60，15<b<18，则下列结论正确的是()A．415<ab<203 B．21<a＋C．－12<a－b<45 D．76<aC[对于A，∵15<b<18，∴118<1b<115，又6<a<60，∴13<ab<4，∴A错误；对于B，∵6<a<60，15<b<18，∴36<a＋2b<96，∴B错误；对于C，∵15<b<18，∴－18<－b<－15，又6<a<60，∴－12<a－b<45，∴C正确；对于D，∵6<a<60，15<b<18，∴21<a＋b<78，由A选项知118<1b<115，∴7故选C．]5．(2026·福州模拟)已知－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a＋b的取值范围是()A．[－3，0] B．[－5，3]C．[－5，0] D．[－2，5]C[因为3a＋b＝2(a＋b)＋(a－b)，又－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，所以－6≤2(a＋b)≤－4，即－5≤2(a＋b)＋a－b≤0，所以3a＋b的取值范围是[－5，0]．故选C．]6．(2026·鄂州模拟)已知a＜b＜c且a＋2b＋4c＝0，则ba的取值范围是(A．-∞，-16C．0，16B[因为a＋2b＋4c＝0，a＜b＜c，所以a＜0，c＞0，由a＋2b＋4c＝0得c＝－14a－12b，则－14a－12b＞0，解得ba＞－12，由b＜c得b＜－14a－12b，整理得14a＜－32b，解得ba＞－16，由a＜b得ba＜1，二、多项选择题7．(人教A版必修第一册P42练习T2)下列结论正确的是()A．如果a>b，c<d，那么a－c>b－dB．如果a>b>0，c<d<0，那么ac>bdC．如果a>b>0，那么1a2D．如果a>b>c>0，那么ca<ACD[c<d⇒-c>-d，a>bc<d<0⇒-c>-d>0a>b>0⇒a>b>0⇒a2>b2>0⇒1a2<1ba>b>0⇒0<1a故选ACD．]8．(人教A版必修第一册P57复习参考题2T2改编)对于实数a，b，c，下列说法正确的是()A．若a>b，则a>a+bB．若a>b>0，则a>ab>bC．若1a>1b，则a>0，D．若a>b>0，c>0，则ab>ABD[对于A，∵a>b，∴a－a+b2＝a-b2>0，a+b2－b＝a-b2对于B，∵a>b>0，∴aab＝ab>1，abb＝ab>1，∴a>ab>b，故B正确；对于C，令a＝2，b＝3，满足1a>1b，但不满足a>0，b<0，故C不正确；对于D，∵a>b>0，c>0，∴ab-a+cb+c＝ab9．(2026·嘉兴模拟)已知实数x，y满足1＜x＜6，2＜y＜3，则()A．3＜x＋y＜9 B．－1＜x－y＜3C．2＜xy＜18 D．13＜xyACD[实数x，y满足1＜x＜6，2＜y