2026-2027学年广东省惠州市惠阳区南岭高级中学秋长校区高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广东省惠州市惠阳区南岭高级中学秋长校区高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系中，点P(2,−3,4)关于yOz平面对称的点的坐标是(

)A.(−2,−3,4) B.(2,−3,−4) C.(2,3,4) D.(−2,3,−4)2.已知向量a=(1,2,1),b=(2,−1,0)，则aA.2 B.3 C.0 D.13.已知空间向量a=(1,2,3)，b=(2,1,0)，则a在b方向上的投影向量的模为(

)A.5 B.25 C.24.如图所示，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2A.12a−23b+125.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余弦值为33，则直线l与平面α所成角的正弦值为(

)A.63 B.33 C.6.已知向量a=(2,−1,3)，b=(−4,m,n)，且a//bA.−4 B.−6 C.4 D.67.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2A.23 B.433 8.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足BA.32+3 B.32+4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,2,3)，b=(2,1,0)，下列说法正确的是(

)A.|a|=14 B.a⋅b=4

C.a10.已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列各组向量能构成空间的一个基底的有(

)A.a+b，a−b，c B.a+b，b+c，c+a

C.2a11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为2A.三棱锥E−A1B1C1的体积为定值

B.A1E⊥AC

C.当E为BD的中点时，点E到平面AB1C的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,2,x)，b=(2,−1,2)，若a⊥b，则x=

13.已知平面α经过点A(1,0,0)，其法向量为n=(1,1,1)，则点P(2,1,1)到平面α的距离为

．14.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB/​/CD，AB⊥AD，AD=CD=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1，则异面直线AC与PB所成角的余弦值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，E为A1C1与B1D1的交点．

16.(本小题15分)

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为4，点E为棱CC1的中点．

(1)求证：A1E⊥BD；

(2)求直线17.(本小题15分)

在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AB=2，∠ABC=60°，PA=3，E为CD的中点．

(1)求证：平面PCD⊥平面PAE；

(2)求二面角P−CD−A18.(本小题17分)

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/​/CD，AB=2CD=4，AD=BC=2，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．

(1)证明：BD⊥平面PAD；

(2)求二面角P−BC−D的余弦值．19.(本小题17分)

在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，AB=AD=2BC=2，PA=2．

(1)求证：平面PAB⊥平面PBC；

(2)若点M在棱PC上，且二面角M−AB−D的大小为45°，求PMMC的值．

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】ABD

10.【答案】ABC

11.【答案】AD

12.【答案】0

13.【答案】314.【答案】1015.【答案】解：(1)因为在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，

AB=AD=2，AA1=3，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，

又E为A1C1与B1D1的交点，

所以AE=AA1+12A1C1=AA1+16.【答案】解：(1)证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为4，

则D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,4)，A1(4,0,4)，B1(4,4,4)，C1(0,4,4)，

E是CC1中点：E(0,4,2)，

向量：A1E=(0−4,4−0,2−4)=(−4,4,−2)，

BD=(0−4,0−4,0−0)=(−4,−4,0)，

两向量点积：A1E⋅BD=(−4)×(−4)+4×(−4)+(−2)×0=16−16+0=0，

∴A1E⊥BD，即A1E⊥BD．

(2)设直线与平面所成角θ，sinθ=|cos〈A1E,n〉|=|A1E⋅n||A1E|⋅|n|，n是平面法向量，

平面AB1D1的向量：AB1=(0,4,4),AD1=(−4,0,4)，

设平面AB1D1法向量n=(x,y,z)，17.【答案】解：(1)如图：

因为底面ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=60°，

所以AD=CD=AB=2，∠ADC=∠ABC=60°，

所以△ACD是等边三角形，

又E为CD中点，所以AE⊥CD，

因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

所以PA⊥CD，又PA∩AE=A，

所以CD⊥平面PAE，又CD⊂平面PCD，

所以平面PCD⊥平面PAE；

(2)由(1)可知：CD⊥平面PAE，因为PE⊂平面PAE，所以CD⊥PE，

因为CD⊥AE，

所以∠PEA就是二面角P−CD−A的平面角，

因为△ACD为边长等于2的等边三角形，E为CD的中点，

所以AE=AD2−DE2=22−12=3，

因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，

所以PA⊥AE18.【答案】解：(1)证明：连接BD，过D作DF⊥AB于F，

在等腰梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=4，CD=2，AD=BC=2，

因为AF=AB−CD2=4−22=1，

所以DF=AD2−AF2=22−12=3，

又BF=AB−AF=4−1=3，

所以BD=BF2+DF2=32+(3)2=12=23，

在△ABD中，AD=2,BD=23,AB=4，

且AD2+BD2=4+12=16=AB2，故AD⊥BD，

取AD的中点O，连接PO，因为△PAD为等边三角形，故PO⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以PO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，

所以PO⊥BD，又BD⊥AD，BD⊥PO，

且AD∩PO=O，又AD，PO⊂平面PAD，

所以BD⊥平面PAD；

(2)以AD中点O为原点，OA为x轴，取AB中点E，

由OE/​/BD且BD⊥AD，可知OE⊥AD，以OE为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，

又AD=2，则19.【答案】解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD，又已知AB⊥AD，因此AB，AD，AP两两垂直，

以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

由AB=AD=2BC=2，得AB=2，AD=2，BC=1，PA=2，

又AD//BC，故A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)．

由AB⊥AD，PA⊥AD，AB∩PA=A，故AD⊥平面PAB，

故平面PAB法向量可取n1=(0,1,0)，

平面PBC中，PB=(2,0,−2),PC=(2,1,−2)，

设平面PBC的法向量为n2=(x,y,z)，

则n2⋅PB=2x−2z=0n2⋅PC=2x+y−2z=0，取n2=(1,0,1)，

因为n1⋅n2=(0,1,0)⋅(1,0,1)=0，所以平面PAB⊥平面PBC；

(2)设M在棱PC上，令PM=tPC(0≤t≤1)．

则M=P+t(C−P)=(0,0,2)+t(