八上数学高频易错题型-折叠问题与将军饮马问题3大题型解析版

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题型一、折叠问题1.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB,CD,若CD//BE,∠1=43°,则∠2A.84°B.94°【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的问题现对应角相等.利用AF//BE,AD//BC,得出∠4=∠1=43°,利用CD//BE,得出∠4=∠6=43°,由折叠的性质，得∠5=∠6=43°,再利用平角的性质求解即可.由折叠的性质，得∠5=∠6=43°,2.如图，△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=60°,点D在边BC上(不与B、C重合),将△ACD沿AD折叠，点C对应点C'恰好落在边AB上，若CD=2,则CB长等于()AA∠ABC=90°-60°=30°,∠CAD=∠C'ADDB=DA=4,进一步可得答案.3.如图，将一张等宽的纸条按图中方式折叠，若∠1=52°,则∠2的度数为()【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质.如图，由平行线的性质可求得∠1=∠3,由折叠的性质可求得∠4=∠5,再由平行线的性质可求得∠2.又由折叠的性质可知∠4=∠5,且∠3+∠4+∠5=180°,【分析】本题考查了翻折变化(轴对称)的性质及角的计算，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用轴对称变换的性质.由轴对称的性质可求出∠EFC的度数，进而求得∠EFC+∠EFC′的度数，即可求解.A.32°B.64°C.116°D.无法确定6.如图，将一张正方形纸片按如图1、图2所示的方式折叠得到图3,再按图3中的虚我剪裁得到图4,将图4展开后得到的图案是()图4A.【答案】B【分析】本题考查了折叠问题，根据题干所给过程，动手操作即可得解，考查了学生的动手操作能力.7.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE=【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，关键是由折叠的性质得到∠AEF=∠FEA'=76°+x°,由平【分析】本题考查了翻折变换的性质，解题的关键是熟练掌握翻折不变性解决问题.根据翻折变换的性质13.如图，将一张长方形纸片ABCD如图(1)折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE,如图(2):再将∠A折叠，使点A与点B重合，折痕为MN,如图(3).如果AD=6cm,MD=1cm,那么长方形ABCD【分析】此题考查了折叠的性质以及矩形的性质，掌握折叠的性质是关键.根据线段的和差以及线段中点的性质即可求解.故答案为：10.14.如图，已知长方形纸片ABCD,点E,H在AD边上，点F、C在BC边上，分别沿EF,GH折叠，使根据四边形ABCD是长方形，可得AD//BC,【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，15.在△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=8,将△AB【分析】(1)根据折叠的性质，得DA=DB,再根据三角形的周长，解答即可.(2)根据∠CAD:∠BAD=4:7,不妨设∠CAD=4x°,∠BAD=7x°,根据折叠的性质，得∠B=∠BAD=7x°,根据∠C=90°,利用三角形内角和定理列方解方程是解题的关键.【详解】(1)解：根据折叠的性质，得DA=DB,题型二、1个动点的最值问题16.如图，在△ABC中，AB=AC,边AC的垂直平分线MN分别交AB,AC【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质是解题的关键.连接AP.根据MN垂直平分AC,推出PA=PC,∠PAC=∠PCA,所以PC+PD=PA+PD,当A、P、D在同一直线上时，PA+PD最小，最小值为AD.据此解答即可.【详解】解：如图，连接AP.17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,点N在边BC上，且BN=6,AC上的动点，当PM+PN最小时，BM=5【详解】解：在AB上取一点Q',使BQ'=BQ,连接PQ',CQ’,过点C作CH⊥AB于点H,交BD于点故答案为：8.识点是解题的关键.连接AP得出AP=PC,∠PAC=∠PCA,得到PC+PD=PA+PD,当A,P,D在同一条直线上时，PA+PD最小，最小值为AD,即可求解.【详解】解：如图，连接AP,【详解】解：如图1中，过点C作CH⊥BC,使得CH=BC,连接NH,BH.如图2中，当B,N,H共线时，CC图2故答案为：30.22.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BCA=65°,AD⊥BC于点D,P,Q【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形的内角和定理，根据等腰三出BP=CP,所以BP+PQ=CP+PQ,当BP+PQ的值最小时，即过点C作CQ⊥AB交AD于点P,此时BP+PQ的值最小，根据三角形的内角和求出答案即可.【详解】解：如图，过点C作CQ⊥AB,垂足为Q,题型三、2个动点的最值问题∴∠GAH=180°-(∠AGH+∠AHG)=180【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识，解答本题的关键要明确：涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本决，多数情况要作点关于某直线的对称点.【分析】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短问题的关键.延长AB到A'使得BA'=AB,延长AD到A”使得DA"=AD,连接A'M,AN,得出当A'、M、N、A依数.【详解】解：如图，延长AB到A'使得BA'=AB,延长AD到A”使得DA”=AD,连接A'M,AN,同理：NA=NA",最小为A'A,25.如图，在△ABC中，∠A=40°,∠ACB=90°,点D在BC边上(不与点B,的关键.作D关于AC的对称点E,作D关于AB的对称点F,连接EF交AC于P,交AB于Q,则此时△DPQ的周长最小，根据三角形的内角和得到∠EDF=140°,到结论.【详解】解：作D关于AC的对称点E,作D关于AB的对称点F,连接EF交AC于P,交AB于Q,故答案为：100.【分析】分别作点P关于OA的对称点E,关于OB的对称点F,连接EF分别交OA、OB于点L、I,连接EM、FN、PE、PF,由EM=PM,FN=PN,可知当点M与点L重合，同时点N与点I∠EOF=2∠AOB=70°,所以∠MPN=∠OEL+∠OFI=110°,于是得到问题的答案.【详解】解：分别作点P关于OA的对称点E,关于OB的对称点F,连接EF分别交OA、OB于点L、I,连【分析】如图：过作M关于OB的对称点M’,N关于OA的对称点N′,连接N′M′交OA于Q,交OB于P,则【详解】解：如图：过作M关于OB的对称点M’,N关于OA的对称点N′,连接N′M'交OA于Q,交OB于P,连接DG,GF,FE,设DG,EF的交点为0,当DG+GF+FE最小时，∠FOG的度数为_【详解】解：如图1,作点D关于BC的对称点D',连接D'G,DD′,则BC垂直平分DD',D'G=DG,作点E关于AB的对称点E',连接E'F,则AB垂直平分EE',FE'=FE,1.将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，以AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为【答案】D【分析】本题考查折叠性质、正方形的性质，掌握折叠性质是解答的关键.由折叠性质得∠BAE=∠B'AE,CC【答案】D【分析】连接BB',过点B'作B'E⊥BC于E,B′F⊥AC于F,可得△ABB′是等边三角形，得出角形内角和定理即可求得答案.【详解】解：如图，连接BB’,过点B’作B'E⊥BC于E,B'F⊥AC于F,【点睛】本题考查了折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键.的值最小时，α,β之间的关系为()【分析】本题考查的是轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，如图，过P作PH⊥AC于H,作H最小，再进一步求解即可.【详解】解：如图，过P作PH⊥AC于H,作H关于AB的对称点Q,连接PQ,A.(-7,0)B.(-8,0)【详解】作点E关于V轴的对称点E',过点E'作E'F⊥AB交V轴于点P,如图：A.105°B.115°【分析】过点B作BB′⊥AD于点G,交AC于点B′,过点B′作B'F′⊥AB于点F′,与AD交于点E',连接【详解】解：过点B作BB′⊥AD于点G,交AC于点B′,过点B'作B'FAB于点F',与AD交于点E',连【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置.CC或【答案】或据翻折的性质可知∠BAE=∠B′AE,∠DAF=∠D'AF,分图①,图②两种情形分别求解.接PH、FH,可得四边形ADHF是长方形，即得AD=HF=AE+ED=18,再根据折叠的性质可证PE+PG的值最小，最小值为18,即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.【详解】解：取CD的中点H,连接PH、FH,:当F、P、H三点共线时，PE+PG的值最小，最小值为18,故答案为：18.B落在B'处，则CN+NB'的值为cm.【分析】过点B作BB′⊥AD于点G,交AC于点B’,过点B’作B'F'⊥AB于点F′,【详解】解：过点B作BB'⊥AD于点G,交AC于点B′,过点B'作B'F'AB于点F',与AD交于点E’,连∴当点E在点E'处时，EF+BE最小，【分析】作点M关于AB的对称点M₁,作点M关于BC的对称点M₂,连接QM、PM、M₁M₂,如图所示，即可得到答案.【详解】解：作点M关于AB的对称点M₁,作点M关于BC的对称点M₂,连接QM、PM、M₁M₂,如图故答案为：50.13.折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索.①(1)如图①,四边形纸片ABCD中，AB//DC,BC//AD,E是线段DC上一点，将纸片ABCD沿BE折叠，(Ⅱ)【初步探究】测得∠C=100°,∠EBC′=20°,求∠1和∠2的度数；(2)【深入探究】如图②,小明将纸片换成一张长方形纸片ABCD,点E,F分别是线段AD,BC上的点，他先将纸片沿EF折叠，点A,B的对应点分别为点A',B',A'B′与线段AD交于点G,H是线段DC上一点，再将纸片沿GH折叠，点D的对应点为点D',使得点B’恰好在GD′上，测得∠EFB′=62°,度数.【分析】(1)(I)直接根据折叠的性质，得到∠CBE=∠C'BE即可；(Ⅱ)由平行的性质可求出∠ABC=80°,由折叠的性质可知：∠CBE=∠C'BE=20°,∠C'=∠C=100°,【详解】(1)解：(1)(I)由折叠的性质可知：∠CBE=∠C'BE,故答案为：∠CBE=∠C'BE(答案不唯一);∴∠1=∠ABC-∠CBE-∠C'BE=80°-20°(1)如图2,若点B'恰好落在OA'上，且∠AOC=32(2)如图3,当点B'在∠COA'的内部时，连接OB′,若∠AOC=44°,∠BOD=61°,求∠A'OB'的度数.(2)同(1)的方法求出∠A'OD,再由∠A'OB′=∠B'OD-∠A'OD即可求解.【详解】(1)解：由题意知∠AOC=∠A'OC,∠BOD=∠B'OD,CC(1)如图2,将纸片沿BM折叠，使AB落在边BC上，则∠MBC=.°;(2)如图3,将纸片沿BM,BN折叠，使AB,BC的对应边A'B,BC′重合，求∠MBN的度数；(3)如图4,将纸片沿PM,PN折叠，使PB,PC的对应边PB′,PC′重合，求∠BPM+∠CPN的度数；【分析】本题考查了折叠的性质，由折叠得角相等，再根据角之间的和差倍分关系解决问题是解题关键.(3)由折叠知∠BPM=∠B'PM,∠CPN=∠C'PN,再根据∠BPC=180°即可求解.【详解】(1)解：由折叠知∠ABM=∠CBM,(1)若∠CAB=60°,∠C=80°,【变式探究】(3)如图2,在Rt△ABC中，∠BAC=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线.设AC=a,AB=b,求BD的长(用含a,b的代数式表示);【思维拓展】(4)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=100°,D是边BC上的动点，连接AD,将【答案】(1)∠C'DB=40°;(2)AC+CD=AB,理由见解析；(3)BD=3a-b;(4)当△DEF是等【分析】(1)先求出∠B=40°,将AC沿AD折叠，点C落在AB上，点C的对应