《修复铜镜》教案（2课时）-2026-2027学年北师大版（新教材）小学数学六年级上册

北师大版小学数学六年级上册《修复铜镜》教案课题：第二单元《圆》第4课时《修复铜镜》教学对象：六年级学生课型：图形与几何实践探究课课时：2课时一、学情分析学生在《圆》单元前几课已认识了圆心、半径、直径，掌握了在同圆中半径都相等、直径是半径的2倍、圆是轴对称图形（对称轴是直径所在的直线）等特征，并会用圆规画圆，具备一定的动手操作与推理基础。但学生多停留在“认识”圆的层面，面对一块不完整的圆弧残片，要逆向思考“怎样确定圆心和半径、把整圆补全”，还缺少相应的经验与方法；部分学生在表述找圆心的推理过程时，语言不够规范、条理不够清晰。因此，本课要紧扣“修复”任务，让学生经历观察、猜想、操作、验证的完整过程，在动手实践中突破难点。二、教材分析本课是北师大版（2026秋季新教材）六年级上册第二单元《圆》中的综合实践内容，安排在圆的各部分名称、圆的特征等知识之后。教材以“修复铜镜”为任务情境：一块出土的铜镜残片，要求学生运用圆的特征把残片复原成完整圆。教材引导学生经历“观察残片—明确复原需要确定圆心和半径—探究找圆心的方法—测量半径、补全圆—用半径都相等检验”的完整过程，呈现了对折找圆心、作垂直平分线（三点法）找圆心、外接正方形找圆心等多种方法。全课以真实任务为主线，把圆的认识、对称性等知识融于“做中学”，帮助学生深化对“圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小”的理解，体会数学的应用价值与中华优秀传统文化。三、核心素养教学目标依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》“图形与几何”领域核心素养要求，结合本课内容确定如下目标：1.空间观念与几何直观：通过观察、操作，能从残缺圆弧中把握圆的特征，理解“圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小”，发展空间观念和几何直观。2.推理意识：经历用对折、垂直平分线、外接正方形等方法确定圆心与半径的探究过程，能有条理地说明找圆心、复原圆的道理，发展推理意识。3.应用意识：在“修复铜镜”任务中，学会把现实问题转化为数学问题，综合运用圆的特征解决实际问题，感受数学的应用价值与中华优秀传统文化。四、教学重难点教学重点：掌握从残缺圆中确定圆心和半径、补全完整圆的方法。教学难点：理解确定圆心与半径的原理（圆的对称性、直径过圆心），能有条理地表述找圆心的推理过程。五、教学过程第一课时探究方法——确定圆心与半径（一）情境导入，明确任务师：同学们，请看大屏幕上的这幅图。（出示出土铜镜图片）这是我们出土的一枚铜镜残片。铜镜在我国有大约四千年的历史，是中国古代金属器物中沿用时间最长、使用范围最广的，具有很高的艺术价值和考古价值。可是这枚铜镜出土时已经破损了。师：今天，我们就来当一回“小修复师”，运用我们学过的圆的知识，把这枚破损的铜镜修复好。（板书课题：修复铜镜）师：修复铜镜，就是要把它还原成一面完好的圆形铜镜。想一想，这和我们学过的“圆”有什么关系？生：铜镜原来是圆形的，我们要把这个残缺的圆补成一个完整的圆。【设计意图】以出土铜镜的真实情境导入，既了解铜镜的文化价值、激发学习兴趣，又自然引出“把残缺的圆补成完整圆”这一数学任务，实现从现实问题到数学问题的转化。（二）观察思考，明确复原条件师：要把这块铜镜残片复原成一个完整的圆，请同学们想一想，我们需要知道这个圆的哪些信息？（学生独立思考，小组交流。）生1：要知道圆心在哪里。生2：还要知道半径有多长。师：对！我们学过的知识告诉我们，“圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小”。只要确定了圆心和半径，就能画出这个完整的圆，也就能把铜镜修复好。师：那怎样才能确定这个残缺圆的圆心和半径呢？请同学们结合我们学过的圆的特征，在小组里讨论讨论。（学生分组讨论，交流想法。）【设计意图】通过“复原需要什么信息”的追问，引导学生回顾“圆心决定位置、半径决定大小”，明确修复的关键，为探究找圆心、半径的方法作好铺垫。（三）动手探究，方法多样师：同学们有了自己的想法，下面我们就动手来试一试。老师给每个小组准备了一张模拟残片的圆形纸片。请同学们先用第一种方法试一试：怎样利用圆的对称性找到圆心？方法一：对折找圆心。（学生动手把残片纸片对折两次，观察折痕。）师：谁来说说你是怎样做的？生1：我把残片沿一条边对折，让两边完全重合，再换一个方向对折一次，两条折痕的交点就是圆心。师：为什么要对折两次？生2：因为圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。对折一次得到一条直径，再对折一次又得到另一条直径，两条直径相交的点就是圆心。师：说得好！两条直径都经过圆心，所以它们的交点就是圆心。这就是利用圆的对称性找圆心的方法。师：找到圆心后，怎样确定半径呢？生3：用直尺量出圆心到圆上任意一点的距离，就是半径。师：大家量一量，再把半径的数据记录在小组学习单上。方法二：垂直平分线找圆心（三点法）。师：如果这块残片破损得比较厉害，只剩下很小一段圆弧，没办法对折，我们又该怎样确定圆心呢？请同学们看，老师在这段圆弧上标了三个点A、B、C。师：想一想，在圆上，圆心到A、B、C三点的距离有什么关系？生4：都等于半径，所以距离相等。师：那我们怎样找到一个点，使它到A、B两点的距离相等，又到B、C两点的距离相等？生5：到线段AB两个端点距离相等的点，在AB的垂直平分线上。师：对！所以我们可以连接AB、BC，分别画出这两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点，到A、B、C三点的距离都相等，这个点就是圆心。（教师示范，学生操作）师：这样找圆心有道理吗？谁能解释一下？生6：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，两条垂直平分线的交点同时满足到三个点距离相等，所以它就是圆心。师：非常棒！这就是用垂直平分线（也叫“三点法”）确定圆心的方法。量出圆心到圆上一点的距离，就是半径。【设计意图】通过“对折找圆心”和“垂直平分线找圆心”两种方法，让学生在动手操作中理解“对称轴是直径、两条直径交于圆心”“到两端点距离相等的点在垂直平分线上”等道理，经历由操作到推理的过程，发展空间观念与推理意识。（四）梳理方法，感悟原理师：刚才我们用两种方法都找到了圆心和半径。请同学们想一想，这两种方法有什么共同的地方？生1：都是利用圆和直径、半径的特征来找到圆心的。生2：都要先确定圆心，再确定半径，就能画出完整的圆。师：总结得真好！不管是哪一种方法，道理都是一样的——圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。只要确定了圆心和半径，我们就能把这个残缺的圆补全，修复好铜镜。师：除此之外，还有的同学想到用“外接正方形”的方法：画一个正方形，让圆弧内切其中，正方形对角线的交点就是圆心；还有“旋转补全法”：以残片为模板旋转补齐。这些方法也都值得一试，课下请同学们继续探究。【设计意图】引导学生在对比中归纳“确定圆心和半径”这一核心方法，把握“圆心决定位置、半径决定大小”的本质，同时鼓励多种解法，发展思维的开放性与创新意识。第二课时动手修复——补全整圆，综合应用（一）复习导入，重温方法师：上一节课，我们探究了从残片中确定圆心和半径的方法。谁来说说，我们是怎样确定圆心和半径的？生1：可以对折两次，折痕的交点就是圆心。生2：也可以在圆弧上取三个点，作两条弦的垂直平分线，交点就是圆心。师：有了圆心和半径，我们就可以修复铜镜了。今天这节课，我们就来动手修复，并用学到的方法解决更多的问题。（二）动手修复，补全整圆师：请同学们拿出课前准备的“铜镜残片”（残缺的圆形纸片），运用你喜欢的找圆心的方法，先确定圆心，再量出半径，最后用圆规把它补成一个完整的圆。（学生独立操作：确定圆心、测量半径、用圆规画圆、剪下补全。教师巡视指导，重点关注圆心定位是否准确、画圆是否规范。）师：同学们都补出了完整的圆。我们怎样检验自己补出的圆是否正确呢？请想一想圆的特征。生3：同一个圆里，半径都相等。我可以量一量，圆心到补出圆周上几个点的距离是不是都相等。师：说得对！这就是“用半径都相等”来检验补出的圆。请同学们量一量、验一验，看自己补出的圆合不合格。（学生用半径都相等的方法检验补出的圆，修正不准确的地方。）师：请一位同学来展示你的修复成果，并说一说你是怎样确定圆心和半径的，又是怎样检验的。生4：我先对折找到圆心，量出半径是4厘米，用圆规画了一个半径4厘米的圆，再量了几个地方，圆心到圆周的距离都是4厘米，说明我补的圆是正确的。【设计意图】让学生完整经历“确定圆心—量半径—画圆—检验”的修复全过程，在用半径都相等检验的过程中，深化对圆的特征的理解，培养动手实践能力和严谨的检验习惯。（三）拓展应用，解决问题师：学会了修复铜镜的方法，我们还能用它解决更多生活中的问题。请看这几个问题。问题一：圆形木料残料。师：木工师傅锯下了一块圆形木料的一小部分，要判断这块木料原来是不是圆形，并求出它原来的半径，可以怎样做？生5：在圆弧上取三个点，作两条弦的垂直平分线，找出交点（圆心），量出圆心到弧上一点的距离就是半径。师：很好，这正是垂直平分线法的应用。问题二：补画残缺的圆。师：一张图纸上的圆有一部分被墨水污染看不清了，只留下一段圆弧。要把这个圆完整地画出来，该怎样做？生6：同样在保留的圆弧上取三个点，找出圆心，量半径，就能补画完整。师：同学们都能举一反三了！其实，这些方法都能用来解决“根据一段圆弧复原一个圆”的问题。问题三：生活中的大圆。师：如果我们要在操场上画一个半径很大的圆（比如做游戏、布置场地），圆规不够大，又该怎样确定圆心和半径？生7：可以先确定圆心，用绳子的一端固定在圆心，另一端系上画粉，拉紧绳子绕一圈，就能画出一个大圆，绳子的长度就是半径。师：这个方法正是应用了“圆心决定位置、半径决定大小”以及“半径都相等”的道理。【设计意图】通过木料残料、图纸补圆、操场画大圆等变式问题，引导学生把“修复铜镜”的方法迁移到不同情境，体会数学方法的一般性与应用价值，发展应用意识和创新意识。（四）总结提升，感受价值师：通过这两节课的学习，你有哪些收获？生1：我知道了只要确定圆心和半径，就能画出一个完整的圆，也就能修复残片。生2：我学会了用对折、垂直平分线等方法确定圆心和半径。生3：我还明白了，数学知识可以帮助我们解决修复文物、补全图形这样的实际问题。师：大家收获真多！今天我们不仅学会了“修复铜镜”，更重要的是学会了用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达。希望大家今后也能带着数学的智慧，去发现和解决生活中更多的问题。六、小结本课是《圆》单元的综合实践内容，共安排两个课时。第一课时以“修复铜镜”真实任务导入，引导学生明确“确定圆心和