《圆的面积（一）》教案（2课时）-2026-2027学年北师大版（新教材）小学数学六年级上册

《圆的面积（一）》教学设计适用版本：北师大版（2026年秋季新教材）小学数学六年级上册第二单元《圆》

课时：2课时（本教学设计为第7、8课时，置于《圆的周长》之后）一、学情分析六年级学生已掌握了长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等直线图形的面积计算方法，能够用"数方格""割补转化"等方法求面积，具备初步的转化意识。在学习圆的周长时，学生已认识了圆周率，并经历了"周长与直径的比值"的探究过程，对"化曲为直"有了感性认识。但圆是学生第一次系统研究的曲线图形，把曲线围成的圆"变"成直线图形来求面积，超出了学生已有的认知经验，多数学生难以主动想到"等分剪拼"的方法，对"份数越多，拼成的图形越接近平行四边形（长方形）"这一极限思想的理解也存在困难。因此，教学要以动手操作和直观演示为支撑，帮助学生跨越从"直线图形"到"曲线图形"的思维台阶。二、教材分析《圆的面积（一）》是第二单元《圆》的重要内容，上承圆的周长与圆周率，下启圆的面积的实际应用，也为今后学习圆柱、圆锥的体积奠定基础。教材安排了"估一估、想一想、拼一拼、说一说"的探究脉络：先让学生在方格纸上数格子，初步估算圆的面积，体会估算的价值与局限；再引导学生把圆平均分成若干份（8份、16份、32份），剪开后拼成近似的平行四边形，通过观察发现"拼成的平行四边形的面积等于圆的面积""平行四边形的底相当于圆周长的一半（πr），高相当于半径（r）"，进而由平行四边形面积公式推导出圆的面积公式S＝πr²。整节课以"转化"为主线，渗透"化曲为直"与"无限逼近"的极限思想，是培养学生几何直观和推理意识的优质载体。三、核心素养教学目标依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》及北师大版2026年秋季新教材的编排理念，本课教学目标的制定指向学生核心素养的发展，具体如下：量感与几何直观：结合生活情境和方格纸操作，理解圆的面积的意义；能通过数方格估测圆的面积，借助数形对应直观感知圆面积与半径的关系。空间观念与转化意识：经历把圆等分、剪拼成近似平行四边形的过程，体会"化曲为直""无限逼近"的极限思想，初步建立曲线图形与直线图形之间的联系。推理意识：能根据平行四边形面积与圆的面积的关系，有条理地推导出圆的面积计算公式S＝πr²，并能用语言、图示完整表达推导过程。应用意识与运算能力：会用S＝πr²解决简单的实际问题，能正确进行有关圆面积的计算，感受数学与生活的密切联系。四、教学重难点教学重点：经历圆的面积公式的推导过程，理解并掌握圆的面积计算公式S＝πr²，并能正确计算圆的面积。教学难点：理解"把圆等分、剪拼成近似平行四边形"的转化方法，体会极限思想；弄清拼成的平行四边形与原来圆的各要素之间的对应关系（底＝圆周长的一半，高＝半径）。五、教学过程本课教学分两个课时完成。第一课时重在"感知与转化"，让学生经历数方格估算、动手等分剪拼、初步发现关系的完整过程；第二课时重在"推导与应用"，在操作感悟的基础上系统推导公式并加以应用。第一课时圆面积的初步认识与转化（一）情境导入，引出问题师：同学们，上节课我们学习了圆的周长。老师带来了一个圆形飞镖靶和一块圆形桌布（出示图片）。如果我们要给这张圆形桌布配上同样大小的布料，需要知道桌布的什么？生：需要知道它的面积。师：对。圆的面就是"圆所占平面的大小"。那圆的面积该怎样计算呢？这就是我们今天要研究的问题。（板书课题：圆的面积）【设计意图：从学生熟悉的生活实物切入，唤起"面积"这一已有概念，制造认知需求，自然引出课题。】（二）数方格，初步估算师：圆是曲线围成的图形，面积不好直接算。我们能不能像以前估正方形、长方形那样，借助方格纸来估一估圆的面积呢？请同学们打开课本，看方格纸上这个半径是2格的圆，数一数它大约占多少个方格。（学生独立数格子，小组交流）师：你是怎么数的？遇到不满整格的格子怎么办？生1：我是先数整格的，一共有12个整格。生2：剩下的格子有的接近整格，有的接近半格。我把接近整格的按1格算，接近半格的按半格算，数出来圆大约占16格。师：同学们说得真好。把不满整格的"拼凑"起来估算，圆大约占了16格，也就是它的面积大约是16个方格那么大。师：这样估出来的结果准不准？生：不太准，有误差。师：那怎样才能估得更准一些？如果把方格画得更小一些呢？生：方格越小，估出来的结果就越接近真实的面积。师：说得非常好。不过，这样一格一格地数太麻烦，也不够精确。有没有更科学、更简便的方法来求圆的面积呢？【设计意图：通过数方格让学生体会估算的价值与局限，引出"求精确面积"的需要，为后续转化思想的展开埋下伏笔。同时复习面积意义，训练量感。】（三）动手操作，化圆为方师：以前我们学习平行四边形面积时，是用什么办法把它变成我们熟悉的图形来求的？生：沿高剪开，拼成长方形。师：这种方法叫什么？生：割补法。师：割补法把新图形"转化"成了旧图形。圆是曲线围成的，能不能也把它"转化"成直线图形呢？请大家拿出课前准备好的圆，想一想、试一试。（学生四人一组动手操作，教师巡视指导）师：有些同学已经动手了，我们来交流一下。你们把圆分成了几份？生1：我们把它平均分成了8份，剪开后拼在一起，拼出来的图形有点像平行四边形。师：哦，拼成了近似的平行四边形（出示8等分拼图）。大家看，拼出来的图形边缘是什么形状？生：边缘是弯弯曲曲的，不像长方形那么直。师：为什么会弯弯曲曲？生：因为每一份的弧边还是弯的。师：既然8份不够，那我们把份数再多一些，好不好？请同学们再试一试用16份、32份来拼。（学生继续操作，汇报交流）师：比较一下，把圆分成8份、16份、32份再拼，拼出的图形有什么变化？生：份数越多，拼出来的图形越接近长方形，边也越直了。师：观察得真仔细！如果分的份数更多，比如64份、128份……会怎样呢？生：拼出来的图形就越来越接近长方形，几乎就是长方形了。师：同学们，这就是数学里的极限思想——当把圆平均分的份数无限多的时候，拼成的图形就无限接近长方形。这种把圆的"弯边"变成"直边"的方法，我们叫它"化曲为直"。（板书：化曲为直）【设计意图：以动手操作为主线，让学生亲历8份、16份、32份等分剪拼的过程，直观感受"份数越多越接近长方形"，在操作中感悟极限思想，发展空间观念和几何直观。】（四）观察对应，初步感知关系师：现在请同学们观察32等分拼成的近似长方形，它和原来的圆之间有哪些联系？小组讨论，把你的发现记下来。（学生观察、讨论、汇报）生1：拼成的长方形面积等于原来圆的面积。生2：长方形的长是圆周长的一半，宽是圆的半径。师：你是怎么看出来的？生2：弧都分布在上下两边，把上下的弧连起来正好等于圆周长的一半；宽就是圆的半径。师：说得很有道理！我们把这个重要的发现记下来：长方形的面积＝圆的面积；长方形的长≈圆周长的一半；长方形的宽≈圆的半径。有了这些关系，我们就能想办法求出圆的面积了。不过今天时间有限，具体怎么用这些关系算出圆的面积，我们下节课继续研究。（五）课堂回顾，明确收获师：这节课我们学会了用什么方法估圆面积？生：数方格。师：还学会了什么重要的方法？生：把圆等分、剪拼成长方形，用"化曲为直"来求圆的面积。师：通过数方格，我们知道了估算；通过等分剪拼，我们找到了圆与长方形之间的联系。下节课，我们就利用这些联系，把圆的面积公式推导出来。第二课时圆面积公式的推导与应用（一）复习引入，承接转化师：上节课我们把圆等分、剪拼成了近似的长方形，还记得拼成的长方形和圆有什么关系吗？生：长方形的面积等于圆的面积，长方形的长约等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。师：非常好。今天我们就顺着这个发现，把圆的面积公式完整地推导出来。【设计意图：复习上节课的关键发现，明确推导的出发点，实现新旧知识的自然衔接。】（二）合作推导，得出公式师：我们知道长方形的面积＝长×宽。现在把"长"和"宽"换成圆的相关量，能不能推出圆的面积公式？请大家边观察课本上的图，边完成下面的填空。（出示填空：

因为长方形的面积＝长×宽，

而长方形的长＝（），长方形的宽＝（），

所以圆的面积＝（）×（）。）（学生独立思考、填空，全班交流）师：谁来汇报？生：长方形的长等于圆周长的一半，也就是πr；长方形的宽等于圆的半径r。所以圆的面积＝πr×r＝πr²。师：用字母表示就是——如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积公式就是——生：S＝πr²。（板书：S＝πr²）师：谁能把整个推导过程完整地说一遍？生：把圆平均分成若干份，剪拼成近似的长方形，长方形的面积等于圆的面积；长方形的长等于圆周长的一半，即πr，宽等于圆的半径r；因为长方形面积＝长×宽，所以圆的面积＝πr×r＝πr²。师：推导得又清楚又完整！请同学们照这个方法，同桌互相说一说，把推导过程说给同伴听。【设计意图：引导学生把直观操作上升为抽象的公式推导，在"找联系—作替换—得结论"的过程中发展推理意识与符号表达意识，避免死记硬背。】（三）即时练习，巩固公式师：公式会用了，我们来试一试。一个圆形花坛的半径是3米，它的占地面积是多少平方米？（学生独立计算，指名板演）生：S＝πr²＝3.14×3×3＝3.14×9＝28.26（平方米）。师：算得又快又对。注意格式要规范，先写公式，再代入计算。这里的π按3.14计算，得数保留两位小数。师：再来看这一题。一个圆形桌面的直径是20厘米，它的面积是多少平方厘米？生：要先求半径，20÷2＝10（厘米），再算面积，S＝3.14×10×10＝314（平方厘米）。师：为什么直径要先除以2？生：因为公式里用的是半径，题目给的是直径，要把直径转化成半径。师：非常好。以后看到"直径"，一定要先想起"半径＝直径÷2"这一步，再代入面积公式。【设计意图：通过有梯度的练习，让学生熟练运用公式，并强化"已知直径求面积须先求半径"这一易错点的辨析，落实运算能力与应用意识。】（四）应用拓展，解决问题师：同学们，学过的知识要用起来。老师家里的圆形餐桌，桌面直径是1.4米。如果要在桌面上铺一块玻璃，这块玻璃至少需要多大？请同学们列式解答。（学生独立完成，汇报）生：1.4÷2＝0.7（米），S＝3.14×0.7×0.7＝1.5386≈1.54（平方米）。这块玻璃至少需要约1.54平方米。师：解答得完整、规范。"至少需要多大"实际上就是求什么？生：就是求桌面的面积。师：对，求桌面的面积就是求圆的面积。生活中求圆形物体的面积，都可以用S＝πr²来计算。师：我们再思考一个更有挑战的问题。如果半径扩大到原来的2倍，面积会扩大到原来的几倍？生：半径是原来的2倍，r×r就是原来的4倍，所以面积扩大到原来的4倍。师：谁能举例子验证一下？生：原来半径2米，面积约12.56平方米；半径变成4米，面积约50.24平方米，50.24正好是12.56的4倍。师：通过举例验证，我们发现圆的面积与半径的平方有关。这个规律以后还会用到，大家可以先记住。【设计意图：以真实生活情境为载体，让学生在解决实际问题的过程中巩固公式、体会应用价值；通过"半径变化引起面积变化"的探究，深化对S＝πr²中"r²"含义的理解，渗透函数思想。】（五）全课总结，回顾方法师：这节课我们学习了什么内容？生：圆的面积公式S＝πr²。师：我们是怎样得到这个公式的？生：把圆等分剪拼成长方形，用"化曲为直"的方法，根据长方形的面积公式推导出来的。师：今后遇到曲线图形的面积问题，你会想到用什么思想？生：转化，把不会的转化成会的。师：这节课大家不仅学会了公式，更重要的是学会了"转化"和"极限"这两种数学思想方法，这就是我们这节课