专题强化练26概率与其他知识的交汇问题

专题强化练26概率与其他知识的交汇问题授课提示：对应专题强化练52页(分值：30分)解答题(共30分)1．(15分)(2025·湖北黄冈模拟)在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入了比赛决胜局，且在该局中的比分为10∶10，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利．已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6.比赛既是实力的较量，也是心态的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为p(0<p<0.8).记甲运动员在第n球比赛中获胜的概率为Pn.(1)求甲以12∶10的比分赢得比赛的概率；(2)求Pn与Pn＋1的关系；(3)若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于0.6，求p的取值范围．(参考知识：当c∈(0，1)时，若n→＋∞，则cn→0)答案：(1)记第一球比赛甲运动员获胜的事件为A，第二球比赛甲运动员获胜的事件为B，由题意知P(B|A)＝0.8，且P(A)＝0.6，可知P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.48.即甲以12∶10的比分赢得比赛的概率为0.48.答案：(2)记甲运动员在第n球比赛中获胜的概率为Pn，则乙运动员在第n球比赛中获胜的概率为1－Pn，所以Pn＋1＝0.8Pn＋p(1－Pn)＝(0.8－p)Pn＋p，即Pn＋1＝(0.8－p)Pn＋p.答案：(3)由(2)可知Pn＋1－pp+0.2＝(0.8－p)(Pn－pp+0.2可知数列{Pn－pp+0.2}是首项为0.6－pp+0.2，公比为0.8－则有Pn＝(0.8－p)n－1(0.6－pp+0.2)＋pp+0.2，n∈N①当0<p<0.3时，0.8－p>0，又0<0.6－pp+0.2<0.6故{Pn}是一个递减数列，当n→＋∞时，Pn→pp+0.2依题需使pp+0.2≥0.6，即0.3≤p<1，这与0<p<0.3②当p＝0.3时，Pn＝0.6，不合题意；③当0.3<p<0.8时，0<0.8－p<0.5，又－0.2<0.6－pp+0.2<0，故{Pn}依题意，只需P2>0.6，即P2＝(0.8－p)×0.6＋p>0.6，解得p>0.3，故0.3<p<0.8.综上0.3<p<0.8时，甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于0.6.2．(15分)(2025·江苏南通模拟)在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB＝2A1B1，P，Q分别是AB，AC的中点．(1)求证：四边形B1PQC1是矩形；(2)若A1B1＝A1A，求直线AC与平面BCC1B1所成角的正弦值；(3)若一只电子猫从点A出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在n(n∈N*)次运动后电子猫仍停留在下底面ABC的概率为pn，求pn.答案：(1)证明：延长AA1，BB1，CC1交于点T，过点T作TO⊥平面ABC，垂足为O，连接OA.在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB＝2A1B1，△ABC是正三角形，因为P，Q分别是AB，AC的中点，所以BC∥PQ，且BC＝2PQ，又BC∥B1C1，且BC＝2B1C1，所以B1C1∥PQ，且B1C1＝PQ，四边形B1PQC1是平行四边形．因为几何体ABC-A1B1C1是正三棱台，所以三棱锥T-ABC是正三棱锥，O是底面正△ABC的中心，所以AO⊥BC.又TO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以TO⊥BC.因为AO∩TO＝O，AO，TO⊂平面AOT，所以BC⊥平面AOT，又AA1⊂平面AOT，所以BC⊥AA1，所以PQ⊥AA1.在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB＝2A1B1，P是AB的中点，所以A1B1∥AP，且A1B1＝AP，所以四边形A1B1PA是平行四边形，A1A∥B1P.所以PQ⊥B1P.所以四边形B1PQC1是矩形．答案：(2)方法一延长AO交BC于点M，连接TM，过点A作AH⊥TM，垂足为H，连接CH.由(1)可知，BC⊥平面AOT，即BC⊥平面AMT，因为AH⊂平面AMT，所以AH⊥BC，又AH⊥TM，BC∩TM＝M，BC，TM⊂平面TBC，所以AH⊥平面TBC.所以∠ACH为直线AC与平面BCC1B1所成角．在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB＝2A1B1，A1B1＝A1A，不妨设A1A＝1，则TA＝2，AM＝TM＝3，AO＝23AM＝2在等腰△MTA中，AH＝TO＝TA2-AO2在Rt△AHC中，sin∠ACH＝AHAC＝263所以直线AC与平面BCC1B1所成角的正弦值为63方法二过O作Oy∥BC.以O为坐标原点，OA，Oy，OT所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB＝2A1B1，A1B1＝A1A，不妨设A1A＝1，则A(233，0，0)，C(－33，1，0)，B(－33，－CB＝(0，－2，0)．设上底面A1B1C1的中心为O1，在直角梯形AOO1A1中，AO＝233，A1O1＝12AO＝33，A1A＝1，所以O1O＝故O1(0，0，63)，又O1C1＝12OC＝所以C1-36，12设m＝(x，y，z)为平面BCC1B1的法向量，即m·CB=-2y=0，m·CC1=36x-12所以m＝(22，0，－1)是平面BCC1B1的一个法向量．又CA＝(3，－1，0)，所以cos〈m，CA〉＝m＝22×3设直线AC与平面BCC1B1所成角为θ，所以sinθ＝|cos〈m，CA〉|＝63所以直线AC与平面BCC1B1所成角的正弦值为63答案：(3)记电子猫在n次运动后“在下底面ABC”为事件Mn，“在上底面A1B1C1”为事件Mn显然，当n≥2，n∈N*时，P(Mn|Mn－1)＝23，P(M由全概率公式，当n≥2，n∈N*时，可得P(Mn)＝P(Mn-1＝P(Mn-1即pn＝pn－1×23＋(1