专题强化练12空间几何体中的角度

专题强化练12空间几何体中的角度授课提示：对应专题强化练22页(分值：70分)一、单项选择题(每小题5分，共15分)1．(2025·河北邯郸模拟)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，则“AA1＝2”是“异面直线AC1与A1B所成角的余弦值是14”的(A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：如图，设AA1＝a.以AB，AC，AA1为基底，则|AB|＝|AC|＝2，|AA1|＝a，AB·AC＝2×2×cos60°＝2，AA1·AC＝AA1·AB＝0，|A1B|＝|AC1|＝a2+4.因为A1B＝AB-AA1，AC1＝AC+AA1，所以A1B·AC1＝(AB-AA1)·(AC+AA1)＝2－a2.由A1B·AC1A1BAC1＝14可得2-a2a答案：A2．(2025·河南郑州模拟)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，点M，N，P分别为A1B1，BC和AD的中点，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°且AB＝2AA1.记MN与AA1所成的角为α，MN与平面ABCD所成的角为β，二面角M-PN-B的平面角为γ，则()A．α>β>γB．β>γ>αC．γ>α>βD．α>γ>β解析：连接PB，DB，由底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，所以△ABD为等边三角形，故PB⊥AD.取A1D1中点P1，连接PP1，因为ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，所以PP1⊥平面ABCD，又AD，PB⊂平面ABCD，所以PP1⊥AD，PP1⊥PB.不妨设AA1＝2，所以AB＝2，故PA＝1，PB＝3，由PP1，AD，PB三线两两互相垂直，故以P为原点，PA，PB，PP1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则P(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，3，0)，A1(1，0，2)，M(12，32，2)，N(－1，3，0)，MN＝(－32，32，－2)，PN由AA1⊥平面ABCD，所以平面ABCD可取法向量为n1＝(0，0，1)．设平面PMN的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，所以n取x2＝23，则y2＝2，z2＝－6，故n2＝23，2，-6.由MN与AA1所成的角为α，MN与平面ABCD所成的角为β，二面角M-PN-B的平面角为γ，其中α，β，γ∈0，π2.所以cosα＝|cos⁡〈MN，AA1〉|＝MN·AA1MNAA1＝-25×2＝105，sinβ＝|cos〈MN，n1〉|＝MN·n1MNn1＝-25×1＝105，所以cosβ＝1-sin2β＝155，cosγ＝|cos〈n1答案：C3．(2025·河北秦皇岛模拟)(多选)已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E为棱BB1的中点，F为棱AA1的中点，则()A．A1E∥平面C1BFB．若AB＝AA1，则A1E⊥AC1C．若AB＝2AA1，则直线A1E与直线C1F所成角的余弦值为8D．若AB＝AA1，则平面C1EF与平面ABC的夹角为30°解析：对于A，依题意，A1F∥BE，A1F＝BE，则四边形BEA1F为平行四边形，A1E∥BF，而A1E⊄平面C1BF，BF⊂平面C1BF，因此A1E∥平面C1BF，A正确；对于B，AB＝AA1，A1E＝A1B1＋B1E＝AB-12AA1，AC1＝AC+AA1，A1E·AC1＝(AB-12AA1)·(AC+AA1)＝AB·AC1-12AA12＝12AB2-12AA12＝0，则A1E⊥AC对于D，取CC1的中点D，连接DE，DF，则△DEF是正三棱柱ABC-A1B1C1的中截面，平面DEF∥平面ABC，平面C1EF与平面ABC的夹角等于平面C1EF与平面DEF的夹角，取EF的中点O，连接C1O，DO，由C1F＝C1D2+DF2＝C1D2+DE2＝C1E，得C1O⊥EF，又DO⊥EF，则∠C1OD是平面C1EF与平面DEF的夹角，在Rt△C1OD中，tan∠C1OD＝C1DDO答案：ABD二、填空题(每小题5分，共10分)4．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为PC的中点，则直线PC与平面BDE所成角的正弦值为__________．解析：由题意知，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示．P(0，0，2)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，E12，12，1，PC＝(1，1，－2)，BD＝(－1，1，设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，BD·n=0，DE·n=0，即-x+y=0，12x-12y+z=0，取n＝(1，1，0)．设直线PC与平面BDE所成角为θ，则答案：35.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.若PD＝AD＝1，Q为l上的点，则PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为________．解析：因为DP，DA，DC两两垂直，建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示．因为PD＝AD＝1，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，B(1，1，0)．ABCD为正方形，有AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，则AD∥平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l，P∈l，AD⊂平面PAD，则AD∥l，即AD∥PQ.设Q(m，0，1)，则有DC＝(0，1，0)，DQ＝(m，0，1)，PB＝(1，1，－1)．设平面QCD的法向量为n＝(x，y，z)，则DC令x＝1，则y＝0，z＝－m，所以平面QCD的一个法向量为n＝(1，0，－m)．则cos〈n，PB〉＝n·PBn根据直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于|cos〈n，PB〉|＝1+m3当m＝0时，|cos〈n，PB〉|＝33当m≠0时，1+m3·m2+1＝33·1+2m+m2m2+1＝33·1+2mm2+1≤33·1+2mm所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63答案：6三、解答题(共45分)6．(15分)(2025·河北唐山模拟)在三棱台ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，A1B1＝1，AB＝AC＝2，D为BC的中点，(1)证明：AC⊥AB；(2)若AA1＝2，求平面BCC1B1与平面ADC1夹角的余弦值．答案：(1)在三棱台ABC-A1B1C1中，∵A1B1＝1，AB＝AC＝2，∴A1C1＝1，BC＝2B1C1.∵D为BC的中点，∴B1C1＝BD，B1C1∥BD，∴四边形BDC1B1为平行四边形，故B1B∥C1D．∵AC⊥C1D，∴AC⊥B1B.∵AA1⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，∴AA1⊥AC.∵AA1，BB1⊂平面ABB1A1，AA1，BB1为相交直线，∴AC⊥平面ABB1A1，∵AB⊂平面ABB1A1，∴AC⊥AB.答案： (2)以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(1，0，2)，C1(0，1，2)，D(1，1，0)，∴BC＝-2，2，0，BB1＝(－1，0，2)，AC1＝(0，1，2)，AD设m＝(x1，y1，z1)是平面BCC1B1的法向量，则BC·m令x＝2，则y＝2，z＝1，故m＝(2，2，设n＝(x2，y2，z2)是平面ADC1的法向量，则AD·n令x＝2，则y＝－2，z＝1，故n＝(2，－2，1)．∴cos〈m，n〉＝m·nm∴平面BCC1B1与平面ADC1夹角的余弦值为157．(15分)(2025·江西景德镇模拟)如图①，平面四边形PBAC为“箏型”，其中PB＝PC，AB＝AC，将平面PBC沿着BC翻折得到三棱锥P-ABC(如图②)，D为BC的中点．(1)证明：平面PAD⊥平面PBC；(2)如图②，若AB⊥AC，AB＝2，PA＝PD＝322，求平面PAB与平面答案：(1)证明：∵PB＝PC，AB＝AC，D为BC的中点，∴PD⊥BC，AD⊥BC，∵PD∩AD＝D，PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC⊥平面PAD.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC.答案：(2)如图，以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴，过点A且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系．取AD中点E，连接PE，∵PA＝PD，∴PE⊥AD.由(1)可知BC⊥平面PAD，∵PE⊂平面PAD，∴BC⊥PE，又∵AD∩BC＝D，AD⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PE⊥平面ABC.∵AB⊥AC，AB＝AC＝2，D为BC的中点，∴AD＝2.又∵PA＝PD＝322，E为AD的中点，∴PE则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，E12，12∴AB＝(2，0，0)，AP＝12，12，2，设平面PAB的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·AB=2x1=0，n1·AP=x12+y12+2z1=0，令设平面PAC的一个法向量n2＝(x2，y2，z2)，则n2·AC=2y2=0，n2·AP=x22+y22+2z2=0，令设平面PAB与平面PAC的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝n1·n2n1n2＝∴平面PAB与平面PAC夹角的正弦值是1228.(15分)(2025·安徽芜湖模拟)在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，∠DAB＝45°，CD＝2AB＝2BD＝4A1B1＝4，AB⊥BB1，AD⊥DD1.(1)证明：BC⊥DD1.(2)若四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为7，(ⅰ)求直线BD1与平面ACD1所成角的正弦值；(ⅱ)若P为棱CC1上一动点，求平面ABP与平面CDD1C1所成角余弦值的最大值．答案：(1)证明：在△ABD中，∵AB＝BD，∴∠BDA＝∠DAB＝45°，∴∠ABD＝90°，即AB⊥BD，∵AB⊥BB1，BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BDD1B1，∴AB⊥平面BDD1B1，DD1⊂平面BDD1B1，∴AB⊥DD1.∵AD⊥DD1，AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD，∴DD1⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴BC⊥DD1.答案：(2)∵S四边形ABCD＝12(AB＋CD)×BD＝12(2＋4)×2＝6，S四边形A1B1C1D1＝14S四边形ABCD＝32，∴VABCD-A1B1C1D(ⅰ)以D为原点，DB，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(2，－2，0)，C(0，4，0)，D1(0，0，2)，B(2，0，0)，则AC＝-2，6，0，AD1＝(设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC令y＝1，得x＝3，z＝2，所以n＝(3，1，2)．∵D1B＝(2，0，－2)，则cos〈n，D1B〉＝n·D1BnD1∴直线BD1与平面ACD1所成角的正弦值为714(ⅱ)C(0，4，0)，C1(0，2，2)，A(2，－2，0)，B(2，0，0)，则BC＝-2，4，0，