微专题18　幂、指、对数式比较大小问题

微专题18幂、指、对数式比较大小问题真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为()A．x>y>zB．x>z>yC．y>x>zD．y>z>x2．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝12，则下列判断正确的是(A．c<b<aB．b<a<cC．a<c<bD．a<b<c3．(2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1，b＝19，c＝－ln0.9，则(A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．a<c<b命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：指、对数式比较大小问题是高考选择题考查的热点，简单的设题形式，却能将函数、导数、不等式有机结合，较好地考查逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养．预测角度1利用函数的单调性或中间量比较大小预测1已知a＝0.53.1，b＝log0.90.3，c＝⁡log1312，则a，b，A．c<b<aB．c<a<bC．b<a<cD．a<c<b[听课笔记](1)可以根据函数的单调性比较大小．(2)找中间值与“0”“1”“2”的大小关系．(3)如果数在0～1之间，可以和“13”“12”“2(4)常用数据：ln2≈0.69，ln3≈1.1，ln5≈1.6，ln7≈1.95，ln1.1≈0.0953，2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，6≈2.449，e2≈7.39，1e≈(5)可以通过作图来判断与中间量的大小．[对点练1](1)(2025·陕西咸阳模拟)若a＝0.50.01，b＝0.40.02，c＝5log302，则()A．c<a<bB．b<c<aC．a<b<cD．b<a<c(2)(2025·河北沧州模拟)已知a＝e-19，b＝lg1.9，c＝1.90.6，则a，b，c的大小关系为A．a>b>cB．a>c>bC．c>b>aD．c>a>b预测角度2同时扩大范围求值预测2设a＝log0.30.2，b＝0.20.3，c＝logba，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<cB．b<a<cC．c<a<bD．c<b<a[听课笔记](1)可以粗略估计取值．(2)指数形式：可以同时进行n次方的运算，如213和312比较大小可以先把两(3)对数形式：同时乘n，如log23和log35比较大小，可以先同时乘2，再比较大小．[对点练2](1)(2025·江西赣州模拟)已知a＝log23，b＝33，c＝2，则(A．a>b>cB．a>c>bC．b>a>cD．b>c>a(2)(2025·江苏镇江模拟)设a＝2log32，b＝log23，c＝43，则a，b，c的大小顺序为(A．a>b>cB．c>b>aC．a>c>bD．b>c>a预测角度3构造函数、利用函数的单调性比较大小预测3设a＝34，b＝log32，c＝14＋sin14，则A．a>b>c B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c[听课笔记](1)当出现ab和ba的形式的时候，可以两边同时取对数，构造函数f(x)＝lnx熟记结论：当a，b＜e时，底数大的数大；当a，b＞e时，底数大的数反而小．(2)当题中出现ab＋1和ba＋1时，可以两边同时取对数，构造函数f(x)＝lnx(3)构造函数g(x)＝ex－x－1.[对点练3](1)(2025·安徽合肥模拟)已知a＝ln1.2，b＝0.2，c＝1.2－1，则a，b，c的大小关系为()A．a<c<bB．c<a<bC．c<b<aD．a<b<c(2)(2025·河南多校联考)已知a＝15cos15，b＝425，c＝sin15，则a，b，cA．c>a>bB．b>a>cC．c>b>aD．a>c>b请完成：专题强化练29微专题18幂、指、对数式比较大小问题真题重做1．解析：方法一由题意可得2＋lnxln2＝3＋lnyln3＝5＋lnzln5，则ln令t1＝lnx，t2＝lny，t3＝lnz，则t1ln2－1＝t2ln∵1ln2≈1.4，1ln3≈1，∴可令y1＝1.4t1－1，y2＝t2，y3＝2＋0.6t3，如图．①此时t1>t2>t3，即lnx>lny>lnz，即x>y>z；②此时t2>t1>t3，即lny>lnx>lnz，即y>x>z；③此时t2>t3>t1，即lny>lnz>lnx，即y>z>x；④此时t3>t2>t1，即lnz>lny>lnx，即z>y>x.综上，选项B不可能．故选B.方法二令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，当t＝3时，x＝2，y＝1，z＝125，则x>y>z，选项A当t＝5时，x＝8，y＝9，z＝1，则y>x>z，选项C成立；当t＝8时，x＝64，y＝243，z＝125，则y>z>x，选项D成立．故选B.答案：B2．解析：a＝log52<log55＝12＝log822<log83＝b，即a<c<b.故选答案：C3．解析：设f(x)＝(1－x)ex－1，x＞0，则当x＞0时，f′(x)＝－ex＋(1－x)ex＝－xex＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(0.1)＜f(0)＝0，即0.9e0.1－1＜0，所以0.1e0.1＜19，即a＜b；令g(x)＝x－ln(1＋x)，x＞0，则当x＞0时，g′(x)＝1－11+x＝x1+x＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(19)＞g(0)＝0，即19－ln(1＋19)＞0，所以19＞－ln0.9，即b＞c；令h(x)＝xex＋ln(1－x)，0＜x≤0.1，则h′(x)＝(1＋x)ex＋1x-1＝x2-1ex+1x-1，设t(x)＝(x2－1)ex＋1，则当0＜x≤0.1时，t′(x)＝(x2＋2x－1)ex＜0，所以t(x)在(0，0.1]上单调递减，所以t(x)＜t(0)＝0，所以当0＜x≤0.1时，h′(x)＞0，所以h(x)在(0，0.1]上单调递增，所以h(0.1)＞h(0)＝0，即0.1e0.1＋ln0.9＞0，所以0.1e0.1＞－答案：C命题预测预测1解析：因为y＝0.5x在R上单调递减，则0.53.1<0.51＝12，即a<12；又因为y＝log0.9x在(0，＋∞)上单调递减，则log0.90.3>log0.90.9＝1，即b>1；可得c＝log1312＝log32，且y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，则12＝log33<log32<log33＝1，即1答案：D[对点练1]解析：(1)因为y＝x0.02在(0，＋∞)上单调递增，y＝log30x在(0，＋∞)上单调递增，y＝0.5x在(0，＋∞)上单调递减，所以b＝0.40.02<0.50.02<0.50.01＝a<1，c＝5log302＝log3025＝log3032>log3030＝1，所以b<a<c.故选D.解析：(2)因为y＝e－x在定义域R上单调递减，所以12＝e-ln2<e-19<e0＝1，即12<a<1；因为y＝1.9x在定义域R上单调递增，所以1.90.6>1.90＝1，即c>1；因为y＝lgx在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以lg1.9<lg10＝12，即b<答案：(1)D答案：(2)D预测2解析：由指数函数的性质可得0<0.20.3<0.20＝1，所以0<b<1，根据对数的运算性质可得a＝log0.30.2>log0.30.3＝1，所以a>1，由0<b<1，a>1，所以c＝logba<logb1＝0，即c<0，所以c<b<a.故选D.答案：D[对点练2]解析：(1)对于a，b，∵log23＝1＋log232，32＝1.5>2，∴log23>1＋由(32)3＝278>248＝3，得32>33，对于b，c，∵(33)6－(2)6＝32－23＝1>0，得33>2，∴b>综上所述，a>b>c.故选A.解析：(2)∵3a＝6log32＝log364<log381＝4，3b＝3log23＝log227>log216＝4，又3c＝4,∴3a<3c<3b，即b>c>a.故选D.答案：(1)A答案：(2)D预测3解析：因为a＝34＝log3334=log32714>log32514＝log3512>log3412＝log32，所以a>b；令f(x)＝x－sinx，则f′(x)＝1－cosx≥0，所以f(x)在R上单调递增，所以f(14)>f(0)＝0，即14－sin14>0，所以14>sin1答案：A[对点练3]解析：(1)构造函数f(x)＝x－ln(1＋x)(x>0)，f′(x)＝1－11+x＝x1+x，当x>0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(0.2)＝0.2－ln1.2>f(0)＝0，所以b>a；构造函数g(x)＝ln(1＋x)－(1+x－1)(x则g′(x)＝11+x-121+x＝2-1+x21+x，当x∈(0，2)，g′(x)>0时，g(x)在(0，2)上单调递增，所以g(0.2)＝ln1.2－(1.2－1)>g(0)＝ln1－(1－1)＝0，即a>c.所以解析：(2)由题意可得ca＝sin1515cos