微专题15　分布列、期望与方差

微专题15分布列、期望与方差真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2025·全国一卷)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)＝________．2．(2024·北京卷)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：索赔次数01234保单份数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立，用频率估计概率．(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．(ⅰ)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中EX估计值的大小．(结论不要求证明)命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：高考对随机变量的分布列、期望与方差的考查往往突破教材常规，通过实际情境构建复杂的分布列问题，强化对数学建模、逻辑推理等关键能力的考查，呼应高考“四层四翼”评价体系．预测角度1相互独立事件预测1某学校组织“一带一路”有奖知识竞赛，有A，B两个问题，已知甲同学答对问题A的概率为0.6，回答正确得奖金10元，回答错误得奖金0元；答对问题B的概率为0.5，回答正确得奖金x元，回答错误得奖金0元．甲同学回答A，B两个问题正确与否相互独立．(1)若甲同学对两个问题都作答，求他仅答对其中一个问题的概率；(2)若规定只有在答对第一个问题的情况下，才能回答下一个问题，若甲先回答A问题和先回答B问题所获得的奖金总额的期望相同，求x的值．[听课笔记]解题时，常常需要将相互独立事件的乘法公式与对立事件的概率公式结合使用．在进行计算时，要认真仔细，特别注意多个事件概率的乘法和加法运算．[对点练1](2025·河南新乡模拟)如图，点A，B，C，D，E均在直线l上，且AB＝BC＝CD＝DE＝1，质点M与质点N均从点C出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为14，每个质点均移动2次．已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量X为两个质点各自移动2ABCDE积分－200－1000100200(1)求质点M移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率；(2)求随机变量X的分布列及数学期望．预测角度2二项分布与超几何分布预测2一个袋子中有4个红球，n个绿球，已知一次性取出的2个球都是红球的概率为215(1)求n的值；(2)从中依次随机地摸出4个球作为样本，设采用有放回地摸球和不放回地摸球得到的样本中绿球的个数分别为X，Y.(ⅰ)求X的数学期望和方差；(ⅱ)分别就有放回地摸球和不放回地摸球，用样本中绿球的比例估计总体中绿球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，请说明其实际含义．[听课笔记](1)随机变量X服从二项分布B(n，p)，则其概率、期望与方差可直接利用公式P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p(2)随机变量X服从超几何分布H(N，M，n)，则其概率与期望可利用公式P(X＝m)＝CMmCN-Mn-mCNn(m＝0，1，…，min{n，M})，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N[对点练2](2025·江西南昌模拟)为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛．比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分．第一阶段，每个问题甲选手答对的概率都是23；第二阶段，若甲选手进入高分组，每个问题答对的概率都是14，若甲选手进入低分组，每个问题答对的概率都是(1)求甲选手第一阶段不被淘汰的概率；(2)求甲选手在该次比赛得分数为40分的概率；(3)已知该次比赛甲选手进入了高分组，记甲选手在该次比赛中得分数为X，求随机变量X的分布列和期望值．预测角度3正态分布预测3(多选)2024年12月，DeepSeek正式上线全新系列大语言模型DeepSeek－V3，其具备多语言对话、实时信息检索、复杂逻辑推理和创意内容生成等能力，该大语言模型算法降低了应用门槛，预测未来AI应用上限将更高．某校科技兴趣小组设计调查问卷调查本校学生对“大语言模型”的了解程度，被调查学生所得分数X可近似看作服从正态分布N(76，225)，则(附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)()A．P(X<20)＝P(X>132)B．P(X>30)>P(X<120)C．P(46≤X≤106)＝0.8186D．P(31≤X≤91)＝0.84[听课笔记]利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的活用：(1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．(2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0)．(3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．[对点练3](1)(2025·河南许昌模拟)已知随机变量X服从正态分布N(2.3，σ2)，且P(2.3<X≤4.2)＝0.23，设P(X>0.3)＝m，则()A．m＝0.73B．m＝0.77C．0.5<m<0.73D．m>0.73(2)(2025·河北多校联考)已知某市高三年级某次模拟考试中数学试卷的满分为150分，阅卷结果显示，全市100000名学生的数学成绩X近似服从正态分布N(130，25)，则这次考试数学成绩超过140分的人数约为__________．(附：若随机变量X服从N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)请完成：专题强化练23微专题15分布列、期望与方差真题重做1．解析：由题意得X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝C5153＝125，P(X＝2)＝A52C31则X的分布列为X123P11212E(X)＝1×125＋2×1225＋3×1225答案：612．答案：(1)设一份保单索赔次数为Y，则P(Y≥2)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＋P(Y＝4)＝601000+301000＋∴一份保单索赔次数不少于2的概率为110答案：(2)(ⅰ)X的可能取值为0.4，－0.4，－1.2，－2，－2.6，则P(X＝0.4)＝8001000＝4P(X＝－0.4)＝1001000＝110，P(X＝－1.2)＝601000P(X＝－2)＝301000＝3100，P(X＝－2.6)＝101000∴EX＝0.4×45－0.4×110－1.2×350－2×3100＝0.32－0.04－0.072－0.06－0.026＝0.122.(ⅱ)保单的保费调整后，无索赔保单的保费为0.384万元，有索赔保单的保费为0.4×(1＋20%)＝0.48万元．毛利润X的可能取值为0.384，－0.32，－1.12，－1.92，－2.52，∴此时EX＝0.384×45－0.32×110－1.12×350－1.92×3100－2.52×1100＝0.3072－0.032－0.0672－0.0576∴调整后的保单毛利润的数学期望的估计值大于调整前的保单毛利润数学期望的估计值．命题预测预测1答案：(1)设甲同学答对问题A的概率为P(A)，答对问题B的概率为P(B)，易知P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，又回答A，B两个问题正确与否相互独立，所以仅答对其中一个问题的概率为P＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B)＝0.6×(1－0.5)＋(1－0.6)×0.5＝0.5.答案：(2)设甲先回答A问题所获得的奖金总额为X，则X的所有可能取值为0，10，10＋x，易知P(X＝0)＝1－0.6＝0.4，P(X＝10)＝0.6×(1－0.5)＝0.3，P(X＝10＋x)＝0.6×0.5＝0.3，此时期望值为E(X)＝0×0.4＋10×0.3＋(10＋x)×0.3＝6＋0.3x；设甲先回答B问题所获得的奖金总额为Y，则Y的所有可能取值为0，x，10＋x，易知P(Y＝0)＝1－0.5＝0.5，P(Y＝x)＝0.5×(1－0.6)＝0.2，P(Y＝10＋x)＝0.5×0.6＝0.3，此时期望值为E(Y)＝0×0.5＋0.2x＋(10＋x)×0.3＝3＋0.5x.由E(X)＝E(Y)可得6＋0.3x＝3＋0.5x，解得x＝15.[对点练1]答案：(1)设事件F为“质点M移动2次后到达的点所对应的积分为0”，由题意可知点M两次移动后在点C，又起点为点C，即M的移动一次向左一次向右，所以P(F)＝14×3答案：(2)X的所有可能取值为－400，－200，0，200，400，P(X＝－400)＝14×1P(X＝－200)＝14×14×P(X＝0)＝14×14×34P(X＝200)＝34×34×P(X＝400)＝34×3所以随机变量X的分布列为X－400－2000200400P13272781E(X)＝－400×1256＋(－200)×364＋0×27128＋200×2764＋400预测2答案：(1)由题可得C42Cn+42＝6n+4n+32＝215，n∈N*，即n2答案：(2)(ⅰ)对于有放回地摸球，每次摸到绿球的概率为35，且每次试验之间的结果是独立的，则X～B(4，35)，E(X)＝4×35＝125，D(X)＝4×35×(1－(ⅱ)样本中绿球的比例分别为X4有放回地摸球时，概率P1＝P(|X4－0.6|≤0.2)＝P(X＝2)＋P(X＝＝C42×252×不放回地摸球时，概率P2＝P(|Y4－0.6|≤0.2)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝C62C4所以P1<P2，在误差不超过0.2的相同限制下，用样本中绿球比例估计总体中绿球比例，采用不放回估计的结果更可靠些．[对点练2]答案：(1)甲选手第一阶段不被淘汰，即甲回答三个问题答对其中2个或3个，其概率为P1＝C322答案：(2)甲选手在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题；进入低分组，答对4个问题．故概率为P2＝C32答案：(3)X的可能取值有0，20，40，60，80，P(X＝0)＝C403P(X＝20)＝C413P(X＝40)＝C423P(X＝60)＝C43(P(X＝80)＝C44(所以X的分布列为X020406080P8110854121所以E(X)＝0×81256＋20×108256＋40×54256＋60×12256＋80预测3解析：20+1322＝76，P(X<20)＝P(X>132)，故A正确；30+1222＝76，P(X>30)＝P(X<122)>P(X<120)，故B正确；μ＝76，σ＝15，P(46≤X≤106)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，故C错误；P(31≤X≤91)＝P(μ－