微专题3　三角函数的图象与性质

微专题3三角函数的图象与性质真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2025·全国一卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan(x－π3)的图象的一个对称中心，则a的最小值为(A．π6B．C．π2D．2．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin(3x－π6)的交点个数为(A．3B．4C．6D．83．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin(ωx＋π4)＋b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π，且y＝f(x)的图象关于点3π2，2中心对称，则fA．1B．3C．52D．4．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝12与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝π6，则f(π)＝5．(2025·全国二卷)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝12(1)求φ；(2)设函数g(x)＝f(x)＋f(x－π6)，求g(x)命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：三角函数的图象与性质每年必考，甚至一卷多考，在“重视基础、回归教材”的大命题背景下，将三角与函数的性质结合，充分体现了将函数思想作为基本解题策略的命题思路．预测角度1三角函数的图象与解析式预测1已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，y＝f(x)的图象与y轴交于点C，D(5，0)，B(2，A)，且BC·CD＝0，则f(4)＝(A．4 B．25C．10 D．42[听课笔记]已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．[对点练1](1)(2025·河北多校联考)已知函数f(x)＝sin2x＋acos2x满足f(x)≤fπ12恒成立，则当x∈-π2，3π2时，曲线y＝f(x)与yA．3B．4C．5D．6(2)(2025·安徽合肥模拟)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，其中M(x1，0)，P(x2，2)，N(x3，0)，∠MPN＝90°，MN＝4MO，则f(－13)＝(A．2 B．1C．6-22 预测角度2三角函数性质的综合应用预测2(多选)已知偶函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，下列说法正确的是(A．f(x)在(0，π2)B．直线x＝π4是曲线y＝f(x)C．直线4x＋2y－π＝0是曲线y＝f(x)的一条切线D．若函数g(x)＝f(ax)(a>0)在(0，π)上恰有三个零点、三个极值点，则32<a≤[听课笔记]研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sinx的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sinx的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sint的性质判断各选项．[对点练2](1)(2025·安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)在区间(－5π12，π12)上单调递减，直线x＝－5π12和x＝π12为函数f(x)的图象的两条对称轴，则f(A．1B．－1C．3D．－3(2)(2025·河南郑州模拟)(多选)函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x，则下列关于f(x)的说法中正确的是()A．最小正周期是πB．最大值是2C．是区间(－π6，D．图象关于点(π6，0)请完成：专题强化练3微专题3三角函数的图象与性质真题重做1．解析：令x－π3＝kπ2，k∈Z，得x＝kπ2+π3，k∈Z，故y＝2tan(x－π3)的图象的对称中心为(kπ2+π3，0)，k∈Z，由题意知答案：B2．解析：因为函数y＝sinx的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin(3x－π6)的最小正周期为T＝2π3，所以在x∈[0，y＝2sin(3x－π6)有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点．故选答案：C3．解析：因为2π3＜T＜π，所以2π3＜2πω＜π.又因为ω＞0，所以2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点(3π2，2)中心对称，所以b＝2，3π2ω＋π4＝kπ，k∈Z，所以ω＝－16+23k，k∈Z.令2＜－16+23k＜3，解得134＜k＜194.又因为k∈Z，所以k＝4，ω＝52.所以f(x)＝sin(52x答案：A4．解析：设A(xA，12)，B(xB，12)，对比正弦函数y＝sinx的图象易知，点(2π3，0)为“五点(画图)法”中的第五点，所以2π3ω＋φ＝由题知|AB|＝xB－xA＝π6，ωxA+φ=π6，ωxB+φ=5π6，两式相减，得ω(xB－xA)＝4π6，即π6ω＝4π6，解得ω＝4.代入答案：－35．答案：(1)由f(0)＝12得cosφ＝12，因为φ∈[0，π)，所以φ＝答案：(2)由(1)得f(x)＝cos(2x＋π3)，所以g(x)＝cos(2x＋π3)＋cos[2＝cos(2x＋π3)＋cos2x＝12cos2x－32sin2x＋＝32cos2x－32sin2x＝3cos所以g(x)的值域为-3令2kπ≤2x＋π6≤2kπ＋π，k∈Z解得kπ－π12≤x≤kπ＋512π，k∈所以g(x)的单调递减区间为kπ-π12，kπ+512令2kπ－π≤2x＋π6≤2kπ，k∈Z解得kπ－712π≤x≤kπ－π12，k∈所以g(x)的单调递增区间为kπ-712π，kπ-π命题预测预测1解析：由题干图象可知T4＝5－2＝3，则T＝12，所以ω＝2πT＝π6，所以f(x)＝Asinπ6x+φ，由f(5)＝Asin5π6+φ＝0，得5π6＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝π6＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<π2，所以φ＝π6，则f(x)＝Asinπ6x+π6.又f(0)＝Asinπ6＝A2，则C0，A2，又BC＝-2，-A2，CD＝5，-A2，BC·CD答案：C[对点练1]解析：因为f(x)≤fπ12恒成立，所以x＝π12为f(x)的一条对称轴，那么f(0)＝fπ6，所以a解得a＝3，f(x)＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x+π3，f(x)＝2sin2x+π3与y＝sinx的图象如图所示，由图可知曲线y＝f(x)与y＝sinx解析：(2)依题意，△MNP为等腰直角三角形，则MN＝4，故T＝8，故ω＝2π8＝π4，则f(x)＝2cosπ4x+φ；而MN＝4MO，故f(1)＝2cosπ4+φ＝2，解得φ＝－π4＋2kπ(k∈Z)，又－π<φ<0，∴φ＝－π4，故f(x)＝2cosπ4x-答案：(1)B答案：(2)B预测2解析：已知f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)，根据辅助角公式可得f(x)＝2sin(ωx＋φ＋π4)．因为f(x)是偶函数，则φ＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，即φ＝kπ＋π4(k∈Z)．又因为|φ|<π2，所以k＝0，φ＝π4，那么f(x)＝2sin(ωx＋π2)＝2cosωx.由f(x)的最小正周期T＝2πω＝π(ω>0)，可得ω＝2，所以f(x)＝2cos2x.对于A，当x∈(0，π2)时，2x∈(0，π)，根据余弦函数的性质，y＝cost在(0，π)上单调递减，所以f(x)＝2cos2x在(0，π2)上单调递减，故A正确.对于B，因为f(π4)＝2cos(2×π4)＝2cosπ2＝0，而余弦函数的对称轴处函数值应取到最值±2，所以直线x＝π4不是曲线y＝f(x)的一条对称轴，故B错误.对于C，对f(x)＝2cos2x求导，可得f′(x)＝－22sin2x.直线4x＋2y－π＝0可化为y＝－22x＋2π2，其斜率为－22.令f′(x)＝－22sin2x＝－22，则sin2x＝1，2x＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋π4(k∈Z)．当x＝kπ＋π4(k∈Z)时，f(kπ＋π4)＝2cos[2(kπ＋π4)]＝2cos(2kπ＋π2)＝0.把x＝kπ＋π4代入直线方程y＝－22x＋2π2得y＝－22(kπ＋π4)＋2π2＝－22kπ，当k＝0时，直线与曲线有公共点(π4，0)，且在该点处切线斜率与直线斜率相等，所以直线4x＋2y－π＝0是曲线y＝f(x)的一条切线，故C正确.对于D，g(x)＝f(ax)＝2cos2ax(a>0)，当x∈(0，π)时，2ax∈(0，2答案：ACD[对点练2]解析：(1)因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)在区间-5π12，π12上单调递减，直线x＝－5π12和x＝π12为函数f(x)的图象的两条对称轴，所以π12--5π12＝T2，所以T＝π，即ω＝2πT＝2，所以ω＝2或－2.又fπ12＝－2，所以2sin2×π12+φ＝－2或2sin-2×π12+φ＝－2，所以2×π12＋φ＝－π2＋2kπ，k∈Z或－2×π12＋φ＝－π2＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－2π3＋2kπ，k∈Z或所以f5π2＝2sin