初中七年级数学多边形的内角和与外角和及正多边形铺设地面教学设计

初中七年级数学多边形的内角和与外角和及正多边形铺设地面教学设计一、设计理念本课依据华东师大版七年级下册教材第8章第2、3节内容设计，将"多边形的内角和与外角和"与"用正多边形铺设地面"整合为一个完整的学习单元。两节内容看似独立，实则一脉相承：前者解决"角是多少"的数量问题，后者解决"为什么能铺满"的结构问题，其共同的思维内核都是通过分割、转化，把陌生图形还原为已知的三角形。教学中坚持"由学生动手、由学生发现、由学生表达"的原则。多边形内角和公式不直接告诉学生，而是从四边形出发，让学生在画图、连对角线、数三角形的过程中自己"碰"出规律；外角和的处理则借助"沿多边形走一圈"的直观想象，把抽象的360°变成身体可以感知的旋转经验。铺设地面一节承接前面的计算结果，引导学生用拼接纸片的方式验证"哪些正多边形能铺满、为什么"，让几何直觉与代数推理互相印证。二、教材与学情分析教材将本单元安排在三角形内角和、平行线性质之后，学生已经掌握三角形内角和为180°、平角与周角的概念，具备了把多边形问题转化为三角形问题的知识基础。新教材在外角和部分强化了"每个顶点处外角的定义统一性"，在铺设地面部分引入了正多边形组合的探究活动，这与本设计的两条主线完全吻合。七年级学生的思维正处于由具体运算向形式运算过渡的阶段。他们能熟练进行角度计算，但对"n边形"这样含字母的一般化表达仍有畏难情绪；部分学生会把"内角和随边数增加而增大"的经验错误迁移到外角和上，想当然地认为边数越多外角和越大。铺设地面的探究活动动手性强、趣味性足，恰好可以调节纯计算带来的疲劳，同时为"镶嵌"这一实际应用提供数学解释，回应"学这个有什么用"的真实疑问。三、教学目标1.通过分割多边形的操作活动，探索并掌握多边形内角和公式(n－2)·180°，能运用公式进行有关计算。2.理解多边形外角的概念，通过多种思路探索并记住"任意多边形的外角和都等于360°"这一结论。3.经历用正多边形纸片拼铺的活动，理解围绕一点拼在一起的几个内角之和为360°时可以铺满地面，能判断单一正多边形及常见组合能否密铺。4.在探索过程中体会转化思想、由特殊到一般的归纳方法，发展几何直观与推理能力，感受数学与生活的联系。四、教学重点与难点教学重点：多边形内角和公式与外角和定理的探索与应用；正多边形铺设地面的条件。教学难点：把多边形分割为三角形的多种方法及其统一性；"外角和与边数无关"的理解；铺设地面问题中"360°条件"的建立。五、教学准备教师准备多媒体课件、几种正多边形的彩色硬纸板模型（正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形各若干）、磁性黑板贴。学生分组准备相同的正多边形纸片、量角器、练习本。六、教学过程（一）情境引入：从地砖回到图形上课伊始，投影呈现三组照片：学校走廊的方形地砖、蜂巢的横截面、街边六边形的步道砖。教师提问：这些铺法和形状，里面藏着我们已经学过的什么图形？学生很快答出三角形、四边形、六边形。教师顺势指出：这些图形有一个共同的名字——多边形。今天我们先解决多边形的两个角度问题，下课前再回来回答"为什么地面能用它们铺得严丝合缝"。回顾平面内由三条及以上线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，明确边、顶点、内角、对角线的概念，并在黑板画出一个凸五边形，请学生数边、数顶点、画出对角线，为后面的分割活动扫清术语障碍。同时说明本节课只研究凸多边形。（二）探究一：多边形的内角和教师提出问题：三角形的内角和是180°，那么四边形、五边形、六边形的内角和是多少？n边形呢？学生自然想到量一量。教师不否定测量，但要指出测量有误差，我们需要的是一定成立的结论。引导回忆：研究四边形时用过什么办法？学生想到连接一条对角线，把四边形分成两个三角形，于是四边形内角和为2×180°＝360°。分组活动一：请各组在练习本上画出五边形、六边形，从同一个顶点出发引对角线，数一数分成了几个三角形，再算出内角和，填入表格。|多边形边数|分成三角形个数|内角和||3|1|1×180°||4|2|2×180°||5|3|3×180°||6|4|4×180°|学生观察表格，归纳出：从n边形一个顶点出发引对角线，可引(n－3)条，把n边形分成(n－2)个三角形，所以n边形的内角和等于(n－2)·180°。教师追问：只能从一个顶点出发分割吗？鼓励学生尝试其他方法。学生展示三种思路：其一，在n边形内部任取一点，与各顶点相连，分成n个三角形，内角和为n·180°－360°＝(n－2)·180°；其二，在一条边上取一点（非顶点），与各顶点相连，分成(n－1)个三角形，内角和为(n－1)·180°－180°＝(n－2)·180°；其三，在外部取点也可推导（留作思考）。方法不同，结果相同，学生对公式的确信由此建立，也体会到"殊途同归"的数学美感。教师强调公式结构：边数减2是因为每增加一条边就多一个三角形；公式的应用是双向的——已知边数求内角和，已知内角和反过来求边数。（三）巩固练习一例1：求十边形的内角和。解：(10－2)×180°＝1440°。例2：一个多边形的内角和为1980°，求它的边数。解：设边数为n，(n－2)·180°＝1980°，解得n－2＝11，n＝13。提醒学生检验：边数必须是大于2的整数。例3：一个多边形的每个内角都相等，内角和为1080°，求每个内角的度数。解：先求边数n＝8，再1080°÷8＝135°。此题为后面正多边形铺设地面埋下伏笔。（四）探究二：多边形的外角和先厘清概念：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。强调在每个顶点处只取一个外角，n边形就有n个外角。教师创设直观情境：想象一辆小车沿多边形的边行驶，每到一个顶点就要转一次弯，转过的角度恰好是这个顶点处的外角。当小车绕多边形一周回到起点、且车头方向与出发时一致，它一共转过了多少度？学生答：360°，正好一圈。这就是多边形外角和的直观意义。直观之后必须有推理。引导学生计算：n边形每个顶点处内角与外角之和为180°，n个顶点共n·180°；减去内角和(n－2)·180°，得n·180°－(n－2)·180°＝2×180°＝360°。结论：任意多边形的外角和都等于360°。教师特别提示学生注意这个结论的"反常"之处：无论三角形还是一百边形，外角和恒为360°，与边数无关。可以请学生分别计算三角形、四边形、五边形的外角和加以验证，破除"边数越多外角和越大"的直觉误区。（五）巩固练习二例4：一个正多边形的每个外角都等于45°，求它的边数和每个内角的度数。解：360°÷45°＝8，是八边形；每个内角为180°－45°＝135°。归纳通法：正n边形每个外角为360°÷n，每个内角为180°－360°÷n，或直接用(n－2)·180°÷n。例5：一个多边形的内角和是外角和的3倍，求边数。解：(n－2)·180°＝3×360°，n－2＝6，n＝8。此类"内角和与外角和成倍数关系"的题是常见考点，提醒学生先写360°再列方程。（六）探究三：用正多边形铺设地面回到开头的地砖问题。教师说明：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫平面图形的密铺，也叫镶嵌。分组活动二：每组发下若干相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸片，要求学生只用其中一种正多边形尝试拼铺，观察哪种能在拼接点处严丝合缝。动手之后，学生汇报：正三角形可以，6个围在一点；正方形可以，4个围在一点；正五边形不行，3个有缝隙，4个会重叠；正六边形可以，3个围在一点。教师引导学生把目光聚焦到拼接点：围绕同一点的几个内角，拼满时必须满足什么条件？学生答：和为360°，正好一个周角。继续追问：那能不能铺满，归根结底取决于什么？——正多边形的每个内角能否整除360°（用同一种正多边形铺设时）。算一算验证：正三角形每个内角60°，360°÷60°＝6，可以；正方形每个内角90°，360°÷90°＝4，可以；正五边形每个内角108°，360°÷108°不是整数，不可以；正六边形每个内角120°，360°÷120°＝3，可以；正八边形每个内角135°，360°÷135°不是整数，不可以。由此得出结论：用同一种正多边形铺设地面，只有正三角形、正方形、正六边形三种。进一步拓展：用两种正多边形组合能否铺满？例如正三角形与正方形组合：在一个拼接点处放2个正三角形和3个正方形，60°×2＋90°×3＝120°＋270°＝390°，多了；调整为3个正三角形和2个正方形，60°×3＋90°×2＝180°＋180°＝360°，恰好可以。再让学生尝试正三角形与正六边形、正方形与正八边形的组合，找出60°×4＋120°＝360°、90°＋135°×2＝360°等可行方案。学生惊奇地发现：只要是拼接点处各内角之和为360°，组合方式可以千变万化。教师点题：铺设地面这个生活问题，最后归结为一个方程——几个正多边形内角的度数乘以个数之和等于360°。这正是内角和知识的一次真实应用。（七）课堂小结请学生用三句话概括今天的收获：其一，n边形内角和为(n－2)·180°，核心思想是分割成三角形；其二，任意多边形外角和恒为360°，与边数无关；其三，围绕一点拼在一起的几个角之和为360°时就能铺满，单一正多边形只有正三角形、正方形、正六边形三种可行。教师补充思想层面的提升：陌生转化为熟悉、特殊归纳出一般、直观体验与逻辑推理相互印证，是几何学习的三条基本路径。（八）布置作业必做题：教材相应习题中内角和、外角和的计算题；判断正十二边形能否单独铺满地面并说明理由。选做题：探究用正三角形、正方形、正六边形三种图形混合铺设的一种方案，画图并验证拼接点处角度之和。实践题：回家观察家中的地面、墙面或小区路面，拍摄或画下一处密铺图案，指出其中用到的图形，并用量角器验证拼接点处的角度之和。七、板书设计主板书分三栏。左栏：多边形内角和——分割成(n－2)个三角形，(n－2)·180°，附五边形分割图。中栏：外角和——n·180°－(n－2)·180°＝360°，任意多边形恒为360°。右栏：铺设地面——拼接点处各角之和为360°；可独铺的正多边形：正三角形（6个）