提分点 2　三角形中的综合问题

提分点2三角形中的综合问题真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sin(1)若C＝2π3，求B(2)求a22．(2025·天津卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinB＝3bcosA，c－2b＝1，a＝7.(1)求A的值；(2)求c的值；(3)求sin(A＋2B)的值．命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：将三角函数、平面向量、不等式与解三角形等核心考点，完美契合“学科交叉显性化”的新高考命题导向，具有较强的备考指导价值．预测角度1平面向量与解三角形融合预测1在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋2ccosA＝2b＋ccosB.(1)求ab(2)若c＝2，AD＝2DB，CD＝103，求△ABC[听课笔记]将向量条件转化为三角形元素关系是解题的关键．如本题由平面向量的减法可得出3CD＝2CB+CA，利用平面向量数量积的运算性质结合与余弦定理可得出关于a，cosC的方程组，解出这两个量的值，可得出sinC的值，然后利用三角形的面积公式可求得△[对点练1](2025·江西上饶模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ab＝3sinC3＋(1)求角B；(2)若b＝3，MA+MB+MC＝0，且BM预测角度2三角形中的最值与范围问题预测2在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a-bsinA+sinB(1)求A；(2)若a＝1，求3b－c的取值范围．[听课笔记](1)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简，再利用三角函数的性质求最值、范围．(2)利用余弦定理，找三角形三边直接的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求直线、范围．[对点练2](2025·河北保定模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bacosB+bcosA＝c(1)求b的值；(2)若C＝π2，求c(3)求△ABC周长的最大值．请完成：专题强化练6提分点2三角形中的综合问题真题重做1．答案：(1)由已知条件得sin2B＋sinAsin2B＝cosA＋cosAcos2B，所以sin2B＝cosA＋cosAcos2B－sinAsin2B＝cosA＋cos(A＋2B)＝cos[π－(B＋C)]＋cos[π－(B＋C)＋2B]＝－cos(B＋C)＋cos[π＋(B－C)]＝－cos(B＋C)－cos(B－C)＝－2cosBcosC，所以2sinBcosB＝－2cosBcosC，即(sinB＋cosC)cosB＝0.由已知条件得1＋cos2B≠0，则B≠π2，所以cosB≠0，所以sinB＝－cosC＝1又因为0＜B＜π3，所以B＝π答案：(2)由(1)知sinB＝－cosC＞0，则B＝C－π2所以sinA＝sin(B＋C)＝sin(2C－π2)＝－cos2C由正弦定理得a2+b2c2＝sin2A+sin2Bsin2C＝cos22C+cos2Csin2当且仅当sin2C＝22时，等号成立，所以a2+b22．答案：(1)因为asinB＝3bcosA，所以由正弦定理可得sinAsinB＝3sinBcosA，因为B∈(0，π)，所以sinB＞0，所以sinA＝3cosA，所以tanA＝3.又因为A∈(0，π)，所以A＝π3答案：(2)因为c－2b＝1，a＝7，cosA＝12，所以由a2＝b2＋c2－2bccosA可得7＝b2＋(2b＋1)2－2b(2b＋1)×12，化简得b2＋b－2＝0又b＞0，故b＝1.由c＝2b＋1，得c＝3.答案：(3)由正弦定理得asinA＝bsinB，得7sinπ3＝因为b＝1＜3＝c，所以B为锐角，cosB＝1-sin2Bsin2B＝2sinBcosB＝5314，cos2B＝2cos2B－1＝所以sin(A＋2B)＝sin(π3＋2B)＝sinπ3cos2B＋cosπ3sin2B＝3命题预测预测1答案：(1)由a＋2ccosA＝2b＋ccosB及正弦定理可得sinA＋2sinCcosA＝2sinB＋sinCcosB，即sinB+C＋2cosAsinC＝2sinA+C＋cosBsinC，即sinBcosC＋cosBsinC＋2cosAsinC＝2sinAcosC＋2cosAsinC＋cosBsinC，即sinBcosC＝2sinAcosC，因为C为锐角，故cosC>0，可得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，故ab＝1答案：(2)因为AD＝2DB，则CD-CA＝2CB-CD，故3CD所以9CD2＝2CB+CA2＝4CB2＋CA2＋4CB即4a2＋b2＋4abcosC＝8a2＋8a2cosC＝10，即4a2＋4a2cosC＝5，①由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abccosC，即5a2－4a2cosC＝4，②联立①②可得a＝1，cosC＝14，故sinC＝1-cos因此，S△ABC＝12absinC＝a2sinC＝15[对点练1]答案：(1)由正弦定理得ab＝3sinC3＋cosC⇒3sinA＝3sinBsinC＋3sinBcosC，所以3sinB+C＝3sinBsinC＋3sinB所以3sinBcosC＋3cosBsinC＝3sinBsinC＋3sinBcosC，得3cosBsinC＝3sinBsinC.因为C为三角形的内角，所以sinC≠0，所以tanB＝3.又B∈0，π，所以B＝答案：(2)如图，因为MA+MB+MC＝0，所以M延长BM交AC与点D，则D为AC中点．因为BM＝1，所以BD＝32因为BD＝12所以BD2＝14BA+BC2⇒BA2＋BC2＋2BA·BC＝9，即c2＋a2＋在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB⇒a2＋c2－ac＝3，②由①②得ac＝3.所以S△ABC＝12acsinB＝12×3×32预测2答案：(1)由正弦定理得a-ba+b＝c-3∴a2－b2＝c2－3bc，即b2+c2-a22bc＝32，∴cosA＝32，又答案：(2)∵a＝1，A＝π6，∴bsinB＝csinC＝asinA＝2，则b＝2sin∴3b－c＝23sinB－2sinC＝23sinB－2sin5π＝23sinB－212cosB+32sinB＝3sinB∵△ABC为锐角三角形，则0<B<∴π3<B<π2，则B－π6∴sinB-π6∈12，32∴3b－c的取值范围为1，[对点练2]答案：(1)因为bacosB+bcosA＝c，由正弦定理可得bsinAcosB+sinBcosA＝sinC，所以b