小学数学 几何综合之复杂平面几何问题二

小学数学几何综合之复杂平面几何问题二

模块一、角度问题

例1.如图，NAO3的顶点O在直线/上，已知图中所有小于平角的角之和是400。，则NA05=

解：由题意知N"N2+N3*(Nl*N2)+(N2*N3)=400。，

所以2x(/l+N2+N3)+N2=400。，XZl+Z2+Z3=180°,所以22=400°-360。=40。.

例2.一个考古发现的正多边形残片，如图所示，NEA8=N"8A=165。,那么原来是一个正边形。

解:一个正〃边形的内角=180。-当1,由题意得180。-坨=165。，解得〃二24,

nn

所以原来是正24边形。

例3.在△八8。中，ZB=45°,4。是N8AC的平分线，EF垂直平分4。交3C的延长线于点F,求/布。的

大小是_______

解：因为A。是N84C的平分线，所以Nl=/2,又£7;'垂直平分4。，所以N2+/3=N4,

有N4=N3+N1,所以N2+N3=N3+N1,解得N3=N8,

所以/用C=/3=45°.

例4.如图所示，已知AB平行于CDBE平分NABC,OE平分NADC,求证：ZE=l(Z^+ZD)o

«

解：过E做EFHAB,因为4B//C。，所以EF//CD,

因为EF//A8,所以N1=N3,因为跖是/力加的平分线,所以N3=N4,

得N1=J-NA同理得N2=N6="lN"

22

所以N斤Nl+N2=g(/B+ND)。

模块二、几何图形变换之轴对称

例5.如图，四边形ABC。中，AB=BC=CD,ZB=168°,ZC=108°,求N。的度数是—

解：如图，以AB为边做等边三角形ABE,连结。E、8D,则NC8E=I68。-60。=108。=/（7,

因为八8二BE,AB=CD,所以BE=CD,所以四边形8cQE是等腰梯形，ZBEI）=ZCDE=180°-102°=72°,

在等腰三角形CBO中，ZC=108°,所以/。8。=/（7。8=3*（180。—108。）=36。，

所以/。8芯=180。-36。=72。，/DBE=/BED,三角形8OE是等腰三角形，BE垂直于4。，

所以N8DE=180°—2x720=36。，因为人。平分N8D£,所以N3ZM=NAOE=18。，

所以/CDA=/CDE-ZADE=720-\8°=54°,

例6.如图，在AABC中，NBAC=NBCA=44。,M是△48C内一点，使得NMC4=30。，NMAC=16。，则N

MBC=。

解：在中，ZBAC=ZBCA=44°,所以N/18C=92°,

作/D4O30。交CM延长线TD,连接BD,

N3AM=NOAC-NMAC=30°—16°=14。，

所以/刖£>=44。-30。=14°,

可通过证明三角形BAD和AC7）全等来说明BD是角ABC的平分线,

可求得/人8£>=46。，

又ZAMD=NMAC+NMCA=46。，所以ZABD=ZAMD,

所以可证明出三角形A3。和AMD是全等的，所以AB=AM,

可以在等腰三角形ABM中求得N/WM=76。，所以NM8C=16。。

例7.在止三角形ABC内取一点。，使得DA二DB,在三角形ABC外取一点E,使得NDBE=NDBC,且

BE=BA,则。

解：连结。C,因为。A=O8,CA=CB,DC=DC,所以ACDA与全等，

所以NOCA=NOC8=30。（NAC8=60。），

又BE=BA=BC,NDBE=NDBC,BD=BD,所以与△OBC全等，得到NOE8=NOCB=30。.

例8.如图，NAO4=30。，点P位于NAOZ?内，OP=3,点M、N分别是射线。4、05上的动点，则△PMN

的最小周长是o

解:以0A为对称轴，做P的对称点产，连结OP'、MP，、PP\

则OP'=OP,MP'=MP,

同样以OB为对称轴，做尸的对称点尸'，连结OP“、NP"、PP”,

则OP、'=OP,NP、'=NP,

随堂练习

1.一个正多边形的一个外角是22.5度，那么这是一个正_____边形。

360°

解：正〃边形的一个外角-=22.5%所以片16.

n

解：连结BC,由图知，ZD+ZE+Z1=Z2+Z3+Z4,因为N1=N2,所以NO+NE=/3+N4,

所以NA+N/?+/C+/O+/E=N4+/A8C+/4C8=l800.

3.在四边形A8CO中，已知AB=BC=CD,ZABC=70°,NBCD=170°,则/8人。的大小是.度。

解：如图，以AB为一边做正三角形ABE,连结。E,

WOBE=AE=AB=BC=CD,ZABE=W°,乂NA8C=70。，所以/C8E=10。，

ZBCZ>170°,所以BE//CD,四边形8CDE是菱形，DE=BC=EB=AE,NBED=NBCD=1W,

△AE。是等腰三角形，Z4EZ>360°-60°-170°=130°,所以NOAE=，X(180°T30。尸25°,

2

所以/孙0=60。+25。=85。.

4.如图，三角形纸片ABC中，乙4=65。，NB=75。,将纸片一角折叠，使得点。落在内，若Nl=20。,

则N2的大小是度.

c

AC

解：AAHC中，Z4=65°,NB=75。,所以NC=40。，所以N3+N4=/A+/8=I4O。，

又N人+N8+Nl+N2+N3+N4=360。，所以Nl+N2=80。，其中Nl=20。，所以N2=60。.

5./是AABC的内心（三角形内角平分线的交点），LLCA+A/=5C,若/5AC=80。，那么NA/B的大小是

.度。

解：如图，以CO为轴做A点的对称点G,连结AG、GI,则AC=CG,AI=IG,Z1=Z2,

因为C4+A/=8C,所以8G=A/=/G,得到N3=/4,乂8”是NA8C的平分线，所以/3=/5,

得N4=N5,所以/G/M8,四边形A8G/是等腰梯形，NA8G=/84/=1N8AO40。,

2

于是N5=20°,在A48/中，Z5=2O°,ZBAI=40°,所以/A/B=18(T-200-40°=120°.

6.在△/IBC内取一点M,使得NM8/1=30。，NAM8=10。，ZACB=80°,AC=BC,那么N/1MC的大小是

,度。

解：如图，以AB为轴，做M点的对称点M连结MMCM则MB=WB,Zl=Z3=30°,Z2=Z4=10°,

所以NM8N=2x/l=60",所以AMNB是一个止三角形，M2M氏N3

所以N5=60。，

又NAC3=80。，AC=BC,月似/A8C=N3AC=50。，所以/CAN=60。，

ZANB=ZAMB=180°-30°-10°=l40%即/5+N7=140°,于是N7=l40°—60°=80°,

由于外角等于圆心角的一半，所以点N在以。点为圆心，CA为半径的圆上，得CN=C4=C8,

在△CMB和△(?"/中，CB=CN,BM=NM,CM=CM,所以△CM8与△OWN全等，

得NCM8=NCMN=Lx(360°—60°尸150°,

2

在A4MN中NMA220。，所以NAMN=NANM=80。，

所以/AMC=ZCMN-NAMN=150°-80o=70°.

7.在凸四边形ABC。中，NAO8=/A8C=105。，NCBD=75°,如果A3=CQ=I2厘米，则四边形A8CO的面

积是平方厘米。

解：如图，以8。为轴，做点C的对称点E,连结4E、BE、DE,

贝|JDE=DC=12,△BOC与全等，Z/\Dfi=105°,ZDBE=ZDBC=750,

因为105。+75。=180。，所以AD//3E，则与面积相等，

所以四边形ABCD的面枳等于四边形AEBD的而积，

又梯形AEB。中AB=DE,即两条对角线相等，所以这是一个等腰梯形。

因为NABC=N/lO8=105°,ZCBD=75°,

所以/DBA=105°-75°=30°,ZD