特殊平行四边形之菱形存在性问题（压轴题20题）（解析版）

专题14特殊平行四边形之菱形存在性问题(压轴题，20题)

(解析版)

学校:姓名：班级：考号：

一、解答题

1.(21・22八年级下•江苏无埸♦阶段练习)已知，如图，O为坐标原点，四边形QA3C为

矩形，A(20,0),C(0,8),点。是OA的中点，动点P在线段8C上以每秒2个单

位快的速度由点C1向8运动.设动点尸的运动时间为1秒.

(1)当，为何值时，四边形PODB是平行四边形？

(2)在直线C8上是否存在一点。，使得0、。、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存

在，求/的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)在线段PB上有一点M,且PM=10,当户运动一秒时，四边形OAMP的周长最小，并

在图②画出点M的位置.

【答案】(1)当，的值为5时，四边形POO8是平行四边形：

(2)存在,当7=3时，Q(16,8),/=8时，Q(6,8),/=2时，Q(-6,8)；

(3)2.5

【分析】(1)由四边形OABC为矩形，A(20,0),C(0,8),可知BC=OA=20,AB=OC=S,

由点。是OA的中点，可得0。,。八=10,由运动可知，PC=2t,则BP=BC-PC=20

2

-2t,由于四边形POD8是平行四边形，则PB=OD=10,解得7=5,故当/的值为5时，

四边形PO。"是平行四边形：

(2)分三种情况讨论①当。点在。点右边时，当。在尸左侧，且在BC上时，当。在

P的左侧，且在8c的延长线上时，分别计算即可：

(3)由(1)知，OD=IO,由于PM=IO,则OO=PM,由于BC『OA,则四边形OPMO

是平行四边形，则。P=DM,根据四边形。4M尸的周长为

OA+4M+，M+OP=20+4M+KHQM=30+4M+QM,可知AM+QM最小时，四边形OAMP

的周长最小，则作点A关于8c的对称点E,连接。£交8c于点则由8c

OA,可知8M=，4。=5,进而可知PC=BC—8W—PA/=20—10—5=5,求解即可.

2

【详解】(1)解：:四边形。43c为矩形,A(20,0),C(0.8),

：,BC=OA=20,AB=OC=8,

•・•点。是OA的中点，

：,OD=-OA=}0,

2

由运动知，PC=2t,

：.BP=BC-PC=20-2t,

•・•四边形POQ8是平行四边形，

：.PB=OD=\0,

解得/=5,

・•・当，的值为5时，四边形POO8是平行四边形；

(2)解：分为三种情况：

当。点在P点右边时，如下图，

图①

•・•四边形OD。尸是菱形，

：・OD=OP=PQ=10,

...在RQOPC中，由勾股定理可得：PC=ylOP1-OC2=V102-82=6»

，2片6,

解得片3,

：.Q(16,8)；

当。在。左侧，且在8C上时，如图所示，

试卷第2页，共48页

同理①得PC=16,

即2r=6,

解得六8,

:.Q（6,8）：

当。在P的左侧，且在BC的延长线上时，，如图,

oD4X

同理①求出QC=6,

PC=10-6=4,

即2/=4,

解得：q2,

：.Q(-6,8),

综上所述，片3时，Q(16.8),/=8时，Q(6,8),42时，Q(-6.8)：

(3)如下图所示:

VPA/=10,

OD=PM,

\'BCOA,

・•・四边形0pM。是平行四边形，

0P=DM,

四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP=20+AM+10+OM=30+AM+OM,

：.AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小，

••・作点A关于BC的对称点E,连接DE交BC于点M,

；・AB=EB,

，：BCOA,

：.RM-I4D-5,

2

:.PC=BC-BM-PM=20-10-5=5,

即2r=5,

解得：r=2.5,

故答案为2.5.

【点睛】本题考查平行四边形的动点问题，菱形的判判定，勾股定理，能够分析出实际

的运动情况是解决本题的关键.

2.(21-22八年级下•河北保定•期末)如图，在平行四边形人3c。中，48=6cm,

AO=10cm,点P在边人。上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点。在边C8上,

以每秒2cm的速度从点C出发，在C8之间做往返运动.两个动点同时出发，当点。到

(1)用含，的代数式表示线段A。及的长度：

(2)在点P,。的运动过程中，，为何值时，四边形为平行四边形？

(3)在点"，。的运动过程中，是否存在，的值，使四边形人夕。8为菱形？若存在，直接

写出/的值：若不存在，请说明理由.

【答案】(l)A"—/cm,4Q-(102/)cm

⑵”5或10

(3)不存在，理由见解析

【分析】(1)根据P的速度为每秒km,可得AP=fcm,。是速度为每秒2cm,可得

试卷第4页，共48页

C（2=2/cm,从而得到向2=（10—2i）cm；

（2）由四边形ABC。为平行四边形可得出PP〃8Q,结合平行四边形的判定定理可得

出当尸。=8Q时，由此构建方程，可得结论：

（3）先算出的时间为6秒，再算出6秒。运动了12cm,此时8Q=2cm,

AP=6cm,由此即可判断.

【详解】（1）解：尸的速度为每秒1cm,

/.AP=/cm,

。是速度为每秒2cm,

/.CQ=2/cm,

8Q=（10-21）cm：

（2）解:四边形A8C。为平行四边形，

/.AP//BQ,

当时，四边形APOB是平行四边形，

=—2/或，=27-10,解得，吟或10,

综上所述：满足条件的，的值为/或10：

（3）解：不存在.

理由：若以A、P、Q、4为顶点的四边形为菱形，则必有AP=AB=6cm,

.l=6+1=6,此时。运动了2x6=12cm,

:.BQ=2cm,

2w6,

二不存在/的值，使四边形八PQ8为菱形.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应

用，弄清。在BC上往返运动情况是解决此题的关键.

3.（21-22八年级下.贵州黔东南.期中）如图,在四边形48CZ）中,AD//BC,3B=90。,

AD=9cm,BC=13cm.点P从点A出发，以lcm/s的速度向终点O运动：点。从点C

同时出发,以2cm/s的速度向终点B运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随

之停止运动.设运动时间为显

（1）若A8=3cm,求CD的长;

（2）当，为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？

探究：

（3）若A8=3cm,在整个运动过程中是否存在一个时间，使得四边形PQC。是菱形？

若存在，请求出运动时间；若不存在，请说明理由.

能力提升：

（4）探究：如果要使第（2）小题中的四边形POCQ是菱形，则线段48的长又要等于

多少？

【答案】（1）ZX?=5cm；（2）当/为3s时，四边形PDCQ是平行四边形：（3）不存在;

理由见解析：（4）当AB=2、/5cm时，第（2）小题中的四边形POCQ是菱形.

【分析】（1）过点。作OE_LBC于点E,则NOE3=90。，根据矩形的判定和性质得出

AB=DE=3,BE=\3-9=4,再由勾股定理求解即可：

（2）根据题意得出尸£>=9T,CQ=2I,再由平行四边形的性质得出方程求解即可：

<3）根据（2）中过程及菱形的性质求解即可；

（4）根据菱形的性质及勾股定理求解即可得出结果.

【详解】解：（1）过点。作。E_L8C于点£则NOEB=90。，

VAD//BC,NB=90。，

/.ZA=ZB=90°,即NA=/B=NO£3=90。，

，四边形ABED是矩形，

：.AB=DE=3,CE=13-9=4,

在阳△OEC中，

£>C=V33+42=5(cm)

(2)由题意得，PD=9-l,CQ=2tt

,JAD//BC,

.•・当尸庆CQ时，四边形PDC。是平行四边形,

即9T=2/,

试卷第6页，共48页

解得，=3.

,当，为3s时，四边形POCQ是平行四边形.

(3)解：不存在：理由：

要使四边形PDCQ是菱形，则四边形P。。。一定是平行四边形

由(2)可知片3s时，四边形POCQ是平行四边形，此时。氏9-/=6,

又•・•")=反不"5，

:・PD手CD,

・•・四边形只能是平行四边形，不可能是菱形

(4)当f=3时,PD=9-3=6,

当DP=DC=6时，平行四边形PDCQ是菱形,

:,DE=AB=4^K=2旧

即当A8=2石cm时,第(2)小题中的四边形PQC。是菱形.

【点睛】题目主要考查矩形的判定和性质，菱形的判定和性质及勾股定理解三角形，•

元一次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.

4.(22-23九年级•广东佛山•阶段练习)如图，在RtaABC口，ZC=90°,ZB=30°,

AC=6,点。从点8出发沿B八方向以每秒2个单位长的速度向4点匀速运动，同时点

E从点A出发沿AC方向以每秒I个单位长的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达

终点时，另一个点也随之停止运动.设点。，E运动的时间是/秒(I〉。)，过点。作

OF1BC于点尸，连接。E,EF.

⑴填空：8c的长是；

(2)在。，E的运动过程中，线段E/与4。有什么关系？请证明.

(3)在。，E的运动过程中，是否存在四边形A&O为菱形？若存在，求出，的值，若不

存在，说明理由.

【答案】(1)66

(2)线段即与AO平行且相等.证明见解析

⑶存在；f=4,

【分析】（1）在RtaABC中，NC=90。，N8=300,AC=6,则A8=2AC=12,由

勾股定理求得BC的长.

（2）先证四边形AEFD是立行四边形，从而证得线段律与AO平行且相等.

（3）由四边形AEFO为平行四边形.根据使四边形AEFO为菱形则需要满足的条件即

可求得答案.

【详解】（1）在Rl^ABC中，NC=90。，N8=300,AC=6,

:.AB=2AC=\2f

•••BC=>IAB2-AC2=V122-62=6A/3，

故答案为：6百

（2）线段石厂与AQ平行且相等.

证明：•・•/_L8。于点尸，

:.N8FD=90。，

•••々3=30°,BD=2t,

：.DF=-BD=-x2l=l,

22

又•・•AE=r,

:.AE=DF,

•.*/BFD=NC=*F,

:.AE!DF,

:.四边形AEFD为平行四边形.

・•・线段E厂与人。平行且相等..

（3）存在；1=4,求解过程如下：

由（2）得四边形AEFD为立行四边形.

VAB=12,BD=2t,

:.AD=AB-BD=\2-2t,

若使四边形AEFD为菱形，则需A£=AD,

即1=12-2/,

解得f=4,

即当f=4时，四边形AEF、。为菱形.

【点睛】此题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，直角

三角形30度角的性质、勾股定理、动点问题，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解

试卷第8页，共48页

本题的关键.

5.(2022•广东惠州•一模)在正方形ABC。中，AB=6,E、/分别是8C、人8边上的

动点，以。尸、为边作平行四边形EF7)G.

图1图2

(1)如图1,连接AE,若AF=BE,试说明EG与AE的关系：

(2)如图2,若E为8C的中点，厂在A8边上是否存在某个位置，使得四边形为

菱形？若存在，求出川的长：若不存在，说明理由.

【答案】(1)EG=AE,且EG_LAE,理由见解析

(2)尸在A3边上存在AF=?时，使得四边形EEDG为菱形

【分析】(I〉根据正方形A8C。的性质，得出ZDAF=ZABE,再判断

和一BAE全等,再根据平行四边形EFDG的性质即可得出答案；

(2)先判断存在，设A〃=x,再根据点E为8c中点、菱形。匹EG的性质，通过勾股

定理即可得出答案.

【详解】(1)解：EG=AE,且EG_LA£.

•・•四边形A8CO为正方形，

AAD=AB,N£MF=Z43E=90°,

在△AOF和中，

AD=BA

,Z.DAF=NABE,

AF=BE

:.ADF三BAE(SAS),

/.DF=AE，/ADF=/RAE,

,/ZME+ZE4D=90o

/.ZE4D+ZADF=90°,

/.AEA.DF,

••・四边形EFDG是平行四边形，

：.DF//EG,DF=EG

：.AE±EG,且A£=EG,.

(2)解：存在，理由如下：

设A/7：］,

VAB=6,

:.AD=BC=6,

:.BF=6-AF=6-x,

•・•点E为8c中点，

BE=-BC=-x6=3

22t

•.•四边形OFEG为菱形，

・\DF=EF,

由勾股定理可得AD2+AF2=BF2+BE2，即6+x2=(6-x)2+32

3

解得x=?

4

3

.•・尸在A8边上存在忖，使得四边形EFDG为菱形.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质、勾股

定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定、平行四边形和菱形的性质、勾股定理.

6.(21-22八年级下•黑龙江齐齐哈尔•期中)综合与探究

在平面直角坐标系中，矩形OA5C的顶点0、A、C的坐标分别为0(0,0),4(一兑0),

(1)矩形的顶点B的坐标是.

⑵若。是A8中点，沿。。折直矩形O4BC,使A点落在点E处，折痕为。。，连接BE

并延长班:交了轴于。点.求证：四边形Q0D8是平行四边形.

(3)若点加在丁轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N,使得A、C、N、M为

顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由.

试卷第10页，共48页

【答案】（1）（-4,6）

（2）见解析

⑶乂（4,0冈-4，-2呵,此（-4,2砌,吟）

【分析】（I）由题意可求得x和3'的值，再将其代入8的坐标即可求得；

（2）由折叠的性质可得4）=。"，ZADO=ZODE,由三角形外角性质可得

ZADO=NDBE,可得。。〃8。，即可证明四边形。8QO是平行四边形；

（3）分别以A,C为圆心，AC长为半径画圆和AC的线段垂直平分线与y轴交点得出

点”的可能性，进而得出点N的坐标.

【详解】（I）解：一一4之0且4一%20,

x-4>

■.y=6,

•••点A（-4,0）,点C（O,6）,

二点B（T6）,

故答案为：（Y,6）；

（2）证明：。是A8中点，

:.AD=BD,

•・•折叠，

:.AD=DE,ZADO=ZODE,

；.〃）BE=NDER,

ZADE=NDBE+NDEB,

/.ZADO+ZODE=/DBE+QEB,

；.ZADO=NDBE,

OD//BQt且A8〃OC

••・四边形3。。。是平行四边形：

（3）解：:A、C\N、M为顶点的四边形是菱形，

分别以A,C为圆心，AC长为半径画圆和AC的线段垂直平分线与丁轴交点得出点

如图所示：

AC=V42+62=2>/13

AN2=AC=2y/i3,ON「OA=4,N若

M(4,O)，M(T,-2m),M(T,2Vi5),

【点睛】本题是四边形的综合题，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，折直的性质，

相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的有关知识，熟练运用这些性质进行推理是本

题的关键.

7.(21-22八年级下•广东中山•期末)如图,直线产质+3分别与x轴、y轴相交于点八、

B,/。18=30°,点。从点A出发以每秒2个单位长度的速度向点8匀速运动，点。

同时从点8出发以每秒1个单位长度的速度向点。匀速运动，当其中一个点到达终点

时，另一个点也停止运动.设点C、。运动的时间为I秒(/>0),过点C作CE_Lx轴于

点E，连接C。、DE.

(I)是否存在某个时间，，使得四边形8QEC成为菱形？请说明理由;

试卷第12页，共48页

(2)当，为何值时，ACQ£为直角三角形？请说明理由.

【答案】(1"=2

⑵”衿3麦12

【分析】(1)首先证明M=CE,再证明四边形BDEC为平行四边形，进而利用菱形的

性质得出80=8。，求出，的值，进而得出答案：

(2)分三种情况讨论：①当/E£)F=900时：②当/£>所=以尸时；③当/£73>=90。时，

分别求解即用.得出答案.

【详解】(1)解：在ACE4口，ZC4E=30°,ZCE4=90°,AC=2t,

:.CE=-AC=t,

2

,BD=t,

:.BD=CE,

当x=0时，y=6+3=AxO+3=3,

.,.8(0,3)

；.0B=3,

QZAOB=90°ZA=30°

AB=2OB=6

AO=yjAB-08=依-3?=35

/.BC=AB-AC=6-2t,

OH±OA,CE1OA,

'.OB//CE,

BD=CE,

二四边形BDEC为平行四边形，

要使四边形BDEC为菱形，只需BD=BC,

/=6—2/

解得：1=2：

312

(2)解：当/=/或/=彳时，ACDE为直角三角形，理由如下：

①当NQCE=90°时，四边形。。£。为矩形，在RMDC中,N8CQ=ZA=30°,

BC=2BD,即6-2/=2?解得/=2；

2

②当NCDE=90°时，由（1）知DEHBC,

:.ZBCD=ZCDE=90°,

QZB=90°-Z4=60°,

NBOC=90°-NB=30°,

:.在RiMCD中,

BC=-BD,

2

iI?

.•-6-2r=-r,解得f=?；

③当ZDEC=90°时，此种情况不存在；

312

故当或1=玄时，ADEF为直角三角形.

【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形

的性质，灵活的应用性质与定理是解题的关键.

8.（21-22八年级下•山东聊城•期末）己知，如图O为坐标原点，四边形OA8C为矩形，

8（10,4）,点。是。4的中点，动点”在线段8C上以每秒3个单位长的速度由点C

向B运动.设动点P的运动时间为/秒.

（1）当/为何值时，AKD。的面积为10?

（2）在直线C8上是否存在一点Q,使得0、。、Q、/＞四点为顶点的四边形是菱形？若存

在，求f的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）当Z=|时，A8DP的面积为10

Q2

（2）/=-,点Q的坐标为（3,4）或,点。的坐标为（-3,4）或f=l,点Q（8,

4）

【分析】（1）根据点的坐标以及由三角形的面枳公式可求解：

（2）分两种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论.

【详解】（1〉解：（10,4）,点。是QA的中点，

r.5C=IO,OC=4,00=08=5,

试卷第14页，共48页

•••△8。户的面积为10,

/.^-xBPx4=10,

：.BP=5,

，CP=5,

..・t—5—：

J

••・当时，48。尸的面积为10

（2）①当点。在线段8c上时，如图1,

若四边形OOPQ是菱形，

：.OQ=OD=5,

在R3OCQ中,CQ=JOQZ-OC?=3,

/.CP=3+5=8,

Q

・•」=§，点Q的坐标为（3,4）；

若四边形OOQP是菱形，

同理可得点P<3,4）,PQ=5,

3

=1,点Q（8,4）：

：.OQ=OD=5,

在RAOCQ中，CQ=ylo^-OC，=3,

：.CP=5-3=2,

・[=：，点。的坐标为（一3,4）.

Q9

综上所述：，=§,点。的坐标为（3,4）或[=1,点。的坐标为（-3,4）或1=1,

点。（8,4）.

【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积

公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.

9.（21-22八年级下•河北衡水•期中）如图，在平行四边形A8CD中,AB=6cm,AD=10cm,

点尸在边4。上，以每秒1cm的速度从点A向点。运动，点。在边上，以每秒2cm

的速度从点。出发，在C8之间做往返运动.两个动点同时出发，当点P到达点。时两

（2）在点化。的运动过程中，，为何值时，四边形4PQ8为平行四边形？

（3）在点P,。的运动过程中，是否存在f的值，使四边形4P08为菱形？若存在，直接

写出，的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（l）AP=«cm）；当0<y5时，A?C=10-2/（cm）,当5"£10时，^=2/-10（cm）,

⑵片5秒或10秒；

（3）不存在，见解析

【分析】（1）根据P的速度为每秒1cm,可得AP=tcm,Q是速度为每秒2cm,可得CQ=2t

cm,从而得到30s（10-20cm；

（2）由四i力形ABC。为平行四i力形可■得;HPO〃BQ,结合平行四访形的判定定理可得

出当PZA8Q时，由此构建方程，可得结论：

（3）先算出AP=AB的时间为6秒,再算出6秒Q运动了12cm,此时BQ=2cm,AP=6cm,

由此即可判断.

【详解】（1）解：TP的速度为每秒1cm,

，AP=«cm）：

试卷第16页，共48页

•・・Q是速度为每秒2cm,

.•.当Ou<5时，B0=lO-2/(cm)；当5〈也10时,8Q=2I0(cm)；

(2)解：：四边形A8c。为平行四边形，

：.AP//BQ,

当人P=8Q时，四边形/1PQ8是平行四边形，

.•・/=10-2/或片2“0,

解得0三或10，

综上所述：满足条件的I的值为六1秒或10秒；

(3)解:不存在.

理由：若以A、P、0、3为顶点的四边形为菱形，

则必有AP=AB=6cm,

Z=6-rl=6,

此时Q运动了2x6=12cm,

此时I3Q=2cm,

・•・不存在，的值，使四边形AP08为菱形.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应

用，分弄清。在8c上往返运动情况是解决此题的关键.

10.(21-22八年级下•江苏无锡・期中)如图①，将正方形A8O/)放在平面直角坐标系中，

图①图③

图②备用图

（1）若点〃为对角线8。上的动点，作等腰直角三角形4PE,使/附£=90。，如图②，

连接。£试说明。后与8P的关系；

（2）在⑴的条件下，再作等边三角形4//，连接EF、F。,如图③，在。点运动过程中

当£尸取最小值时，此时NDFE=.。；

（3）点M在x轴上，在平面内是否存在点N,使以8、D、M、N为顶点的四边形是菱形？

若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）3P_LOE,BP=DE,理由见解析

（2）150

（3）点N坐标为（2#4-2）或（-2"《,-2）或（8,2）或（-2,6）.

【分析】（1）由“SAS”可证AAOEgaODE可得乙482=乙4。£=45。，BP=DE,可证

BPYDE,

<2）由尸为等边三角形，△出E是等腰直角三角形，可得是等腰三角形，且

E尸为底边，当七尸取最小值时，AE为最小值，即AP应当取最小值，由等腰直角三角

形的性质和等腰三角形的性质可得NAFE=NPFD=75。，由周角的性质可求解：

（3）分两种情况讨论，当B。为边时，分,必力=8。=2屈或M8=BD=2j用，利用两点

距离公式可求点M坐标，由平移的性质可求点N坐标，当80为对角线时，点N与点4

重合，即可求解.

【详解】（I〉解：BPA.DE,BP=DE,

理由如下：如图②，

图②

;四边形A8O。是止方形，△小E是等腰直角三角形，

：,^BAD=9Q0=ZPAE,A3=A。，PA=AE,ZABD=^ADB=45\

：,ZBAP=ZDAE,

:、△RBPWXADE(SAS),

ZAfiP=Z4DE=45°,BP=DE,

试卷第18页，共48页

:.ZBDA=ZADB+ZADE=90°,

即BP人DE；

（2）•••△人”为等边三角形，△心£是等腰直角三角形，N例E=90。,

：.AP=AF=AE,ZFAE=30°,

.•.△AE尸是等腰三角形，且E尸为底边，

.••当EF取最小值时，人后为最小值，即八P应当取最小值，

匕L8Q时，E户有最小值，

Ox

图③

,：AB=AD,N3AQ=90°,APLBD,

1・AP=BP=PD,

•••△AP"是等边三角形，

：.AP=PD=PF=AF=AE,ZAFP=ZFAP=ZAPF=60°,

AZE4F=30°,ZDPF=30°,

180。—30°180。—30。

:.ZAFE==75°,4PFD==75%

，ZDFE=360o-600-75o-75°=150°,

故答案为：150：

图①

•.•四边形ABC。是正方形，。是坐标原点，点。的坐标为（2,4）,

：,OF=2,DF=4,OB=OD,NBOD=/BEO=NDFO=90。,

:・NBOE+ND()F=90°,NBOE+NOBE=90°,

：.ZOBE=ZDOF,

：.^BOE^^ODF(AAS),

:・BE=0F=2,0E=DF=4,

・••点8坐标(-4,2),

,:D(2,4),

:.BD="(2+4)2+(4-2)2，

=27JO

设点M(a,0)

①当3。为菱形的边时，

如图，若MD=8D=2W，

:.2而="2-4+16,

.•・a=2+2",

可得M（2而+2,0）或必（-2遥+2,0）,

•••。向左平移6个单位再向下平移2个单位得到B,

（2指4-2）、N2（-2x/6-4,-2）；

若MB=BD=2M,

•，2>/1（）=+4>

.*.0=2或-10,

可得（2,0）或（・10,0）,此时陆与以。三点共线，无法形成菱形，舍去,

•••3向右平移6个单位再向上平移2个单位得到。，

:N（8,2）：

②当8。为菱形的对角线时.

则M与O重合，此时N与A重合，即M（-2,6）,

试卷第20页，共48页

综上所述，点N坐标为(2而4-2)或(-2^4-2)或(8,2)或(-2,6).

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定

和性质，勾股定理，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键.

11.(22-23八年级下•江苏无锡•阶段练习)已知，如图，0为坐标原点，四边形018c为

矩形，4(10,0),C(0,4),点。是OA的中点，动点P在线段8C上以每秒2个单位长

的速度由点。向8运动.设动点P的运动时间为，杪

以

(1)当，为何值时，四边形P0DB是平行四边形？

(2)在直线上是否存在一点Q,使得0、。、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存

在，求/的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)在线段依上有一点用，且PM=5,当P运动秒时，四边形04”。的周长最小，

并画图标出点M的位置.

【答案】(1)/=2.5

⑵存在，f=L5时，Q(8,4)；f=4时，。(3,4)：，=1时，°(一3,4)；

(3)7＞图见解析

4

【分析】(1)先求出04,进而求出00=5,再由运动知8P=10-2八进而由平行四边

形的性质建立方程10-2/=5即可得出结论：

(2)分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论：

(3)先判断出四边形0AMP周长最小，得出AM+OW最小，即可确定出点”的位置,

再用三角形的中位线得出8W,进而求出PC,即可得出结论.

【详解】(1)解：四边形Q4BC为矩形，A(10,()),C(0,4),

BC=OA=\0,A8=OC=4,

.点。是OA的中点，

：.0D=^0A=5,

由运动知，PC=2t,

:.BP=BC-PC=\0-2t,

四边形P0D8是平行四边形,

：.PB=0D=5,

/.10-2/=5,

/=2.5；

(2)①当。点在。的右边时，如图1,

四边形。。。户为菱形，

.\OD=OP=PQ=5t

・•・在RtQPC中，由勾股定理得：PC=3,

2r=3：

..r=1.5t

•••0(8,4)

②当Q点在P的左边「L在线段上时，如图2,

图2

同①得出1=4,

・•.Q(3,4),

③当。点在P的左边且在BC的延长线上时，如图3,

，。(-3,4),

综上所述，7=1.5时，Q(8,4)；f=4时，Q(3,4)；f=l时，Q(—3,4)；

(3)如图4,由(1)知，OD=5,

试卷第22页，共48页

E

图4

.PM=5,

:.OD=PM,

BC//OA,

四边形OPMO是平行四边形，

:.OP=DM,

四边形0AMp的周长为Q4+AM+PM+OP

=]0+AM+5+DM

=15+AM+DM,

.•.AM+ZW最小时，四边形OAMP的周长最小，

工作点A关于8C的对称点E,连接DE交PB于M,

AB=EB,

BC//0A,

:.BM=-AD=-

22t

PC=BC-BM-PM=10-5-2=2,

22

CM=CB-BM=\O--=—

22t

【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，三角形中位

线的性质，坐标与图形，勾股定理，分类讨论是解题的关键.

12.(21-22八年级下•江苏扬州•阶段练习)如图I,在平面直角坐标系中，直线尸-11+8

分别与x轴、y轴交十点4、B,旦点A的坐标为(8,0),四边形A8C。是止方形.

y.ccy

DDD

BBB

x

AAA

图1图2备用图

（1）求人的值和点。的坐标：

⑵点M是线段八8上的一个动点（点A、8除外）

①如图2,将ABMC•沿CM折叠，点3的对应点是点石，连接ME井延长交A。边于点

凡问△AM产的周长是否发生变化?若不变，求出其值：若变化，请说明理由：

②探索在％轴上方是否存在另一个点M使得以0、庆M、N为顶点的四边形是菱形?

若不存在，请说明理由：若存在，请求出点N的坐标.

【答案】（1）。的值为6,ZX14,8）

（2）①4AM产的周长不变，且为20：

14419?

②存存.N点坐标为（-4.3）或者（H.综）

3

【分析】（I）将点48,0）代入），=-二"+6，即可求出力的值，从而即得出直线A3的

解析式为y=-=x+6,进而即得出A（0,6）.过点。作。轴于点从由正方形的

性质结合题意利用'AA夕证E月Z\AO的,即可得解；

（2）①由折叠和正方形的性质可知CD=BC=CE=4,ZCDF=ZCEF=90°,

CF=CF,可证明凡ZX。。「经用△（?£尸（HL）,得出。/=所.再由A/IM尸的周长

=AM+ME+EF+AF=AM+BM+DF+AF=AB+AD,结合勾股定理即可求出A3,

则问题得解：②分类讨论i当OB为菱形的对角线时，ii当OM为菱形的对角线时和iii

当OM为菱形的对角线时，根据菱形的性质、坐标系中两点之间的距离公式以及中点坐

标公式列方程组，解方程即可求出答案.

【详解】（1）将点48,0）代入y=-。+〃，得0=-?x8+〃，

44

解得：b=6,

3

・•・直线AB的解析式为y=--x+6,

4

当x=0,时y=6,

：.A（0,6）,

：.OB=6,OA=S.

试卷第24页，共48页

如图，过点。作。〃_Lx轴于点〃,

图1

•••四边形ABC。为正方形，

：.AB=AD,N8八0=90°,

••・NBAO+NZM〃=9()。.

■:NK4O+430=90°,

・•・ZABO=ZDAH.

又；ZAOB=NDHA=90°,

AAO修△QH4C4AS),

/.DH=OA=S,AH=OB=6,

^OH=OA+AH=\4,

.f,8)；

即入的值为6,D(14,8)：

(2)①AAM尸的周长不变：理由如下，

由折登的性质可知8M=EM,BC=CE=4,NCBM=NCEM=90°,

丁四边形ABC。是正方形，

：.CD=BC=CE=4fZ.CDF=4CEF=90°,

又♦:CF=CF,

R丛CDFQK4CEF<HL\

:.DF=EF.

:△AMF的周长=AM+MF+A/LMF=ME+EF,

.••△人闻产的周长=/^+砂+即+月/7=40+80+。「+4/=回+4£).

・.・0B=6.QA=8,

•••AB=g#+Oa=10,

•••△AM”的周长=10+10=20,

故△AMA'的周长不变，且为20；

②存在以。、B、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下：

3

•••点M在线段A8(不含端点)上，且直线A8的解析式为)，=-；x+6,

4

3

・,•设M点坐标为。小一一机+6),且0V〃r<8,

4

VO«=6,

点坐标为(0,6),

设N(s,f),根据N点在％轴上方，即有/X).

分类讨论：i当OB为菱形的对角线时，则另一条对角线为

即根据菱形的性质有ON=8N,对角线。仄MN互相平分，

3

根据00,0)、8(0,6)、N(5,f)、M(也-7〃+6),结合中点坐标公式有:

4

^-^=0n

2m+.v=()

<34，即有：3，

—不"6+/0+6y丁

,2=~T

根据ON=BN,即ON?=BN2，34s

有：ON2=52+/2=(0-s)2+(6-/)2=BN2,即：f=3,

m+5=0

s=-4

将片3代入3，得，

m=4

4

此时N点坐标为：N(-4,3):

ii当OM为菱形的对角线时，则另一条对角线为BN,

即根据菱形的性质有ON=OB,对角线OM、8N互相平分,

3

根据Q。,。)、8(0,6)、N(,")、小孙-7〃+6)’结合中点坐标公式有:

/n+05+0

-------=-------

22m=s

3,，即有：，3

%加+6+0n—6=——m

4

2=^~

根据。N=O8,03=6,即0M=08、

有：ON2=s2+r=62=OB'»

m=s

3

联合：1=一小，

4

s2+r=6-

试卷第26页，共48页

1g

根据0V/Z8,解得/=-1,

24

s=一

5

?418

此时N点坐标为：-）,

此时不满足IX）,故舍去；

iii当ON为菱形的对角线时，则另一条对角线为BM,

即根据菱形的性质有BN=OB,对角线ON、8M互相平分,

"（肛・1〃+6）’结合中点坐标公式有:

根据50.0）、根0,6）、N（s,f）、

/〃+05+0

2=~m=s

,即布,3口

7+6+6j+o=—/〃+12

4

根据BN=OB,08=6,即BM=OB2,

有：BN*234=s2+(l-6)2=62=OB2,即S2+(—6)2=6?,

144

/»=——

m=s25

3192

联合：t=--/«+12,解得­t=——

425

.y2+(r-6):=62144

s=----

25

14419?

此时N点坐标为：A^（-:

综上所述：，点坐标为（T3）或者（芸144，安19?）

【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理以

及菱形的判定和性质、中点坐标公式等知识.正确的作出辅助线并利用数形结合的思想

是解题关键.

13.（22-23九年级•福建厦门•期中）如图，正方形O4BC的边04、OC分别在x轴和），

轴上，顶点8在第一象限，48=6,点E、“分别在边A8和射线。8上运动（E、尸不

与正方形的顶点重合），OF=2&BE，设BE=f,

(1)当，=2时，则AE=,BF=：

(2)当点尸在线段03上运动时，若48所的面积为g,求，的值.

4

(3)在整个运动过程中，平面上是否存在一点P,使得以P、0、E、尸为顶点，且以为

边的四边形是菱形？若存在，求出，的值：若不存在，请说明理由.

【答案】⑴9=4,跖=2』

(2)/=|

30—6\/15_p.6\/15-6

(3)/=--------或/=4或/=--------,理由见解析

57

【分析】(I)由题意可直接得出答案：

(2)由题意易得然=1,肝=6应-2而，进而得至U"7=6-2/,然后求解即可；

(3)根据题意易得。eEF、E。的长，要使以P,O,E,尸为顶点的四边形是菱形,

故而有三种情况：一是OF=EF,二是OE=EF,三是OE=OF,然后分别求解即可.

【详解】(1)解：AB=6,BE=2,

\AE=AB-BE=6-2=4,

AO=AB,?A90?,

\==6&

\OF=2。24盘，

\分=6灰-46=2应：

(2)如下图，作/77_LA8.

试卷第28页，共48页

由题意，得BE=t,BF=6屈-2回，

:.FH=6-2t,

19

由面积得》(6-21)=%

乙*

解得：/=;3;

(3)由已知得:

0尸=(2万丫=8/，

E产=(6-2如+(6-3r)2=13?-60r+72，

6^2=(6-Z)2+62=i2-⑵+72,

解得…叱誓

如果。E=£b,如下图,

产―12，+72=13产―60/+72,

解得：/=4,

如果。石=0尸，如下图,

6厉-6

解得：f=~T~

士警或，=4或，=早.

综上所述,

【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质，勾股定理，解题的关键是能灵活利用

数形结合思想及分类讨论思想进行分析问题.

14.(22-23八年级下•四川成都•期末)在平面直角坐标系xOy中，四边形OA3C是矩形,

08=25ZA(M=30°.

⑴如图I,点尸为射线0B上的动点，连接/%,若工乃钻是等腰三角形，求N的长度；

(2)如图2,是否在x轴上存在点E,在直线8C上存在点F,以0,B,E,尸为顶点的四

边形是菱形？若存在，求出点E,尸的坐标：若不存在，请说明理由；

试卷第30页，共48页

⑶如图3,点M是3C边上的动点，过点M作0B的垂线交直线0A于点N,求

QM+MN+N8的最小值