2027届山东省曲阜市九上数学期末经典试题含解析

2027届山东省曲阜市九上数学期末经典试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应图形①、②、③、④：那么下列图形中，可以表示A*D，A*C的分别是（）A．（1），（2） B．（2），（4） C．（2），（3） D．（1），（4）2．如图，的顶点均在上，若，则的度数为（）A． B． C． D．3．下列事件属于必然事件的是（）A．在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球B．抛掷一枚硬币2次都是正面朝上C．在标准大气压下，气温为15℃时，冰能熔化为水D．从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品4．若将抛物线y＝2（x+4）2﹣1平移后其顶点落y在轴上，则下面平移正确的是（）A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位5．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（

）A．9人 B．10人 C．11人 D．12人6．对于题目“抛物线l1：（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，确定m的值”；甲的结果是m＝1或m＝2；乙的结果是m＝4，则（）A．只有甲的结果正确B．只有乙的结果正确C．甲、乙的结果合起来才正确D．甲、乙的结果合起来也不正确7．（2017广东省卷）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，已知点的坐标为，则点的坐标为（）A． B． C． D．8．某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，其俯视图如图所示，则此工件的左视图是（

）A． B． C． D．9．如图是二次函数图像的一部分，直线是对称轴，有以下判断：①；②＞0；③方程的两根是2和-4；④若是抛物线上两点，则＞；其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．410．一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有一个实数根 D．无实数根11．已知的图象如图，则和的图象为（）A． B． C． D．12．下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．点(2，3)关于原点对称的点的坐标是_____．14．某校九年1班共有45位学生，其中男生有25人，现从中任选一位学生，选中女生的概率是____．15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_____．16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是_____．17．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径等于_____cm．18．若，那么△ABC的形状是___．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=OB=1．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤的解集；（1）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由20．（8分）如图，在ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．(1)求证：△ABE∽△ECF；(2)若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．21．（8分）用列代数式或列方程（组）的方法，解决网络上流行的一个问题：法国新总统比法国第一夫人小24岁，美国新总统比美国第一夫人大24岁，法国新总统比美国新总统小32岁．求：美国第一夫人比法国第一夫人小多少岁？22．（10分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为点，像这样的三角形均为“中垂三角形.设.（1）如图1，当时，则_________，__________；（2）如图2，当时，则_________，__________；归纳证明（3）请观察（1）（2）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；拓展应用（4）如图4，在中，分别是的中点，且.若，，求的长.23．（10分）如图1,在矩形ABCD中AB=4,BC=8,点E、F是BC、AD上的点，且BE=DF.(1)求证：四边形AECF是平行四边形.(2)如果四边形AECF是菱形，求这个菱形的边长.(3)如图2,在(2)的条件下，取AB、CD的中点G、H,连接DG、BH,DG分别交AE、CF于点M、Q,BH分别交AE、CF于点N、P,求点P到BC的距离并直接写出四边形MNPQ的面积。24．（10分）如图，某实践小组为测量某大学的旗杆和教学楼的高，先在处用高米的测角仪测得旗杆顶端的仰角，此时教学楼顶端恰好在视线上，再向前走米到达处，又测得教学楼顶端的仰角，点三点在同一水平线上，(参考数据：)（1）计算旗杆的高；（2）计算教学楼的高．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．26．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．判断△ABC的形状，并证明你的结论；

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】先判断出算式中A、B、C、D表示的图形，然后再求解A*D，A*C．【详解】∵A*B，B*C，C*D，D*B分别对应图形①、②、③、④可得出A对应竖线、B对应大正方形、C对应横线，D对应小正方形∴A*D为竖线和小正方形组合，即（2）A*C为竖线和横线的组合，即（4）故选：B本题考查归纳总结，解题关键是根据已知条件，得出A、B、C、D分别代表的图形．2、D【分析】根据同弧所对圆心角等于圆周角的两倍，可得到∠BOC=2∠BAC，再结合已知即可得到此题的答案.【详解】∵∠BAC和∠BOC分别是所对的圆周角和圆心角，∴∠BOC=2∠BAC.∵∠BAC=35°，∴∠BOC=70°.故选D.本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键.3、C【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件，据此逐一判断即可.【详解】A.在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，一定不会发生，是不可能事件，不符合题意，B.抛掷一枚硬币2次都是正面朝上，可能朝上，也可能朝下，是随机事件，不符合题意，C.在标准大气压下，气温为15℃时，冰能熔化为水，是必然事件，符合题意．D.从车间刚生产的产品中任意抽一个，可能是正品，也可能是次品，是随机事件，不符合题意，故选：C.本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4、B【分析】抛物线y＝2（x+4）2﹣1的顶点坐标为（﹣4，﹣1），使平移后的函数图象顶点落在y轴上，则原抛物线向右平移4个单位即可．【详解】依题意可知，原抛物线顶点坐标为（﹣4，﹣1），平移后抛物线顶点坐标为（0，t）（t为常数），则原抛物线向右平移4个单位即可．故选：B．此题考察抛物线的平移规律，根据规律“自变量左加右减，函数值上加下减”得到答案.5、C【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：

x（x-1）=55，

化简得：x2-x-110=0，

解得：x1=11，x2=-10（舍去），

故答案为C.考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.6、C【分析】画出抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）的图象，根据图象即可判断．【详解】解：由抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，4），如图所示：∵m为整数，由图象可知，当m＝1或m＝2或m＝4时，抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，∴甲、乙的结果合在一起正确，故选：C．本题考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题，作出函数的图象是解题的关键．7、A【分析】过原点的直线与反比例函数图象的交点关于原点成中心对称，由此可得B的坐标．【详解】与相交于A，B两点∴A与B关于原点成中心对称∵∴故选择：A．熟知反比例函数的对称性是解题的关键．8、A【解析】从左面看应是一长方形，看不到的应用虚线，由俯视图可知，虚线离边较近，故选A．9、C【分析】根据函数图象依次计算判断即可得到答案.【详解】∵对称轴是直线x=-1，∴，∴，故①正确；∵图象与x轴有两个交点，∴＞0，故②正确；∵图象的对称轴是直线x=-1，与x轴一个交点坐标是（2,0），∴与x轴另一个交点是（-4,0），∴方程的两根是2和-4，故③正确；∵图象开口向下，∴在对称轴左侧y随着x的增大而增大，∴是抛物线上两点，则<，故④错误，∴正确的有①、②、③，故选：C.此题考查二次函数的性质，根据函数图象判断式子的正负，正确理解函数图象，掌握各式子与各字母系数的关系是解题的关键.10、B【分析】把一元二次方程转换成一般式：（），再根据求根公式：，将相应的数字代入计算即可．【详解】解：由题得：∴一元二次方程有两个相等的实数根故选：B．本题主要考查的是一元二次方程的一般式和求根公式，掌握一般式和求根公式是解题的关键．11、C【解析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y=ax+b经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限．【详解】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，可得a＜0，b＞0，c＜0，∴y=ax+b过一、二、四象限，双曲线在二、四象限，∴C是正确的．故选C．此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．12、A【分析】根据反比例函数的性质，函数若位于一、三象限，则反比例函数系数k＞0，对各选项逐一判断即可．【详解】解：A、∵m2+1＞0，∴反比例函数图象一定在一、三象限；B、不确定；

C、不确定；

D、不确定．

故选：A．本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的性质是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、（-2，-3）．【解析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”可知：点P(2,3)关于原点对称的点的坐标是(−2,−3).故答案为（－2，－3）.14、【详解】解:选中女生的概率是：.15、【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN=AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．【详解】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16、（6，）．【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，先根据勾股定理求出菱形的边长，即可得到点B、D的坐标，进而可根据菱形的性质求得点A的坐标，进一步即可求出反比例函数的解析式，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后解由直线BC和反比例函数的解析式组成的方程组即可求出答案.【详解】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，∵D（3，4），∴OM＝3，DM＝4，∴OD＝＝5，∵四边形OBCD是菱形，∴OB＝BC＝CD＝OD＝5，∴B（5，0），C（8，4），∵A是菱形OBCD的对角线交点，∴A（4，2），代入y＝，得：k＝8，∴反比例函数的关系式为：y＝，设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入得：，解得：k＝，b＝﹣，∴直线BC的关系式为y＝x﹣，将反比例函数与直线BC联立方程组得：，解得：，（舍去），∴F（6，），故答案为：（6，）．本题考查了菱形的性质、勾股定理、待定系数法求函数的解析式以及求两个函数的交点等知识，属于常考题型，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键.17、1．【分析】把扇形的弧长和圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．【详解】设此圆锥的底面半径为r．根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：2πr，解得：r=1．故答案为1．本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．18、等边三角形【分析】由非负性和特殊角的三角函数值，求出∠A和∠B的度数，然后进行判断，即可得到答案．【详解】解：，∴，，∴∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形；故答案为：等边三角形．本题考查了特殊角的三角函数值，非负性的应用，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，正确得到∠A和∠B的度数．三、解答题（共78分）19、（1）；（2）-1≤x＜0；（1）存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12）【分析】（1）根据平行线分线段成比例性质可得，求出A（1，0），B（0，4），C（-1，8），再用待定系数法求解；（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围：0＜-x+4≤-；（1）△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，有BC=BP或BC=PC两种情况.【详解】解：（1）∵CD⊥OA，∴DC∥OB，∴，∴CD=2OB=8，∵OA=OD=OB=1，∴A（1，0），B（0，4），C（-1，8），把A、B两点的坐标分别代入y=ax+b可得，解得，∴一次函数解析式为，∵反比例函数y=的图象经过点C，∴k=-24，∴反比例函数的解析式为y=-（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，即线段BC（包含C点，不包含B点）所对应的自变量x的取值范围，∵C（-1，8），∴0＜-x+4≤-的解集为-1≤x＜0（1）∵B（0，4），C（-1，8），∴BC=5，∵△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，∴有BC=BP或BC=PC两种情况，①当BC=BP时，即BP=5，∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP-OB=5-4=1，∴P点坐标为（0，9）或（0，-1）；②当BC=PC时，则点C在线段BP的垂直平分线上，∴线段BP的中点坐标为（0，8），∴P点坐标为（0，12）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12）考核知识点：相似三角形，反比例函数.数形结合分类讨论是关键.20、(1)详见解析；(2)【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为又∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF；（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝1，所以EC＝BC−BE＝1−2＝2，代入计算即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB．又∵∠DAE＝∠F，∴∠AEB＝∠F．∴△ABE∽△ECF；（2）∵△ABE∽△ECF，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝1．∴EC＝BC−BE＝1−2＝2．∴．∴FC＝.本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC．21、美国第一夫人比法国第一夫人小16岁．【分析】将法国新总统设为x岁，然后用含x的代数式分别表示出法国第一夫人，美国新总统，美国第一夫人，然后用法国第一夫人减去美国第一夫人的年龄即可得出答案.【详解】设法国新总统x岁，则法国第一夫人：（x+24）岁，美国新总统：（x+32）岁，美国第一夫人：（x+32﹣24）＝（x+8）岁，故美国第一夫人比法国第一夫人小：（x+24）﹣（x+8）＝16（岁）．故美国第一夫人比法国第一夫人小16岁．本题主要考查代数式的应用，掌握列代数式的方法是解题的关键.22、（1），；（2），；（3），证明见解析；（4）【分析】（1）根据三角形的中位线得出；，进而得到计算即可得出答案；（2）连接EF，中位线的性质以及求出AP、BP、EP和FP的长度再根据勾股定理求出AE和BF的长度即可得出答案；（3）连接EF，根据中位线的性质得出，根据勾股定理求出AE与AP和EP的关系以及BF与BP和FP的关系，即可得出答案；（4）取的中点，连接，结合题目求出四边形是平行四边形得出AP＝FP即可得到是“中垂三角形”，根据第三问得出的结论代入，即可得出答案(连接，交于点，证明求得是的中线，进而得出是“中垂三角形”，再结合第三问得出的结论计算即可得出答案).【详解】解：（1）∵是的中线，∴是的中位线，∴，且，易得.∵，∴，∴.由勾股定理，得，∴.（2）如图2，连结.∵是的中线，∴是的中位线，∴，且，易得..∵，∴，∴.由勾股定理，得，∴.（3）之间的关系是.证明如下：如图3，连结.∵是的中线，∴是的中位线.∴，且，易得.在和中，∵，，∴.∴.∴，即.（4）解法1：设的交点为.如图4，取的中点，连接.∵分别是的中点，是的中点，∴.又∵，∴.∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴是“中垂三角形”，∴，即，解得.（另：连接，交于点，易得是“中垂三角形”，解法类似于解法1，如图5）解法2：如图6，连接，延长交的延长线于点.在中，∵分别是的中点，∴.∵，∴.又∵四边形为平行四边形，∴，易得，∴，∴，∴是的中线，∴是“中垂三角形”，∴.∵，∴.∴，解得.∵是的中位线，∴.本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，注意类比思想在本题中的应用，第四问方法一得出是解决本题的关键.23、（1）见解析；（2）菱形AECF的边长为5；（3）距离为，面积为【分析】（1）根据矩形的性质可得AD∥BC，AD=BC，又BE=DF，所以AF∥EC，AF=EC，从而可得四边形AECF为平行四边形；（2）设菱形AECF的边长为x，依据菱形的性质可得AE=EC=x，BE=8－x，在Rt△ABE中运用勾股定理可求解；（3）先由中位线的性质得出CH=2，OH=1.5，再证明△PQH∽△PCB，根据相似三角形的性质得出h的w的值，再求出四边形MNPQ的面积即可.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，BE=DF，∴AD∥BC，AD=BC，∴AF∥EC，AF=EC，∴四边形AECF为平行四边形.（2）解：设菱形AECF的边长为x，∵四边形AECF为菱形，AB=4，BC=8，∴AE=EC=x，BE=8－x，在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2即x2=42+（8－x）2，解得x=5，∴菱形AECF的边长为5.（3）连接GH交FC于点O，设点P到BC的距离为h，∵G、H分别为AB、CD的中点，∴OH是△CDF的中位线，CH=2，∴△POH∽△PCB，∵DF=8－5=3，∴QH=1.5，∴，解得h=，由P到BC的距离可得N到BC的距离为，四边形NECP的面积为，菱形面积为5×4=20；∴四边形MNPQ面积为=菱形AECF的面积-四边形NECP的面积×2=20-×2=此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握对应关系是解此题的关键．24、（1）旗杆的高约为米；（2）教学楼的高约为米．【分析】（1）根据题意可得，，在中，利用∠HDE的正切函数可求出HE的长，根据BH=BE+HE即可得答案；（2）设米，由可得EF=GF=x，利用∠GDF的正切函数列方程可求出x的值，根据CG=GF+CF即可得答案．【详解】（1）由已知得，，，∵在中，，∴，∴，∴，∴旗杆的高约为米．（2）设米，在中，，∴，在中，，∴，，∴，即，解得：，∴CG=CF+FG=1+=≈21.25，∴教学楼的高约为米．本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．25、（1）；（2）PG=；