2026-2027学年北京市某校高二上学期期中考试数学试卷（人教A版必修第一册第1~3章双曲线）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年北京市某校高二上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，已知平行六面体ABCD−A′B′C′D′，则AB+BC+CC′=A.A′C B.BD′ C.AC′ D.B′D2.已知空间向量AB=6,8,6，AC=−3,a,−3，若A,B,C三点共线，则A.−4 B.4 C.±4 D.−23.在空间直角坐标系中，直线l的方向向量为s=1,1,−b，平面α的一个法向量为n=1,2,3，若直线l与平面α平行，则A.−1 B.1 C.2 D.34.已知直线l1:ax+y−1=0,l2:ax−y+1=0，则“a=1”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则MNA.12a−23b+126.已知空间向量a=13，b=5，且a⋅b=−9，则A.−91313b B.97.一束光线从点A3,1出发，经x轴反射后经过点B−1,2，则入射光线所在直线斜率为(

)A.−14 B.14 C.−8.已知F1，F2分别是双曲线C：x29−y227=1的左、右焦点，M是双曲线A.2 B.16 C.2或14 D.149.已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，AD=2AB=2A.429 B.42710.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，PA.2 B.333 C.4二、多选题：本题共1小题，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC上的动点，FA.直线A1D1与直线EF是异面直线

B.D1E+AE的最小值为24+22

C.存在点E，使得直线AD1与直线EF所成角为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。12.双曲线y22−x213.已知点M(4,5)到直线l:4x−3y+C=0的距离为2，则C=

．14.已知P−1,−1，点Q是圆(x−2)2+(y−3)2=1上任意一点，则PQ15.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，Q为AD的中点，P为正方体内部及其表面上的一动点，且PQ//平面BDD1B1，则满足条件的所有点P四、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)已知向量a=(1,−1,2)，b=(−2,1,−1)，(1)(a+c)⋅a;17.(本小题12分)已知▵ABC的三个顶点分别为A−3,0(1)BC所在直线的方程；(2)过点A与BC边平行的直线方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．18.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，点E，F分别是棱PB，PD的中点．(1)求证：EF//平面ABCD；(2)求直线EF与平面PAC所成角的正弦值．19.(本小题12分)

已知圆C：x2+(y−4)2=4，直线l：y=x+t．

(1)若t=5，求直线l被圆C所截得的弦长；

(2)若直线l与圆C相交，求实数t的取值范围；

(3)若直线m斜率为−1，且m与圆20.(本小题14分)

如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60º，M是AB的中点．

(1)求证：EM⊥AD；

(2)求平面ABE与平面CBE的夹角的余弦值；

(3)在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45º，若存在，求出EPEC的值；若不存在，说明理由．21.(本小题15分)已知椭圆W:x2a2+(1)求椭圆的方程；(2)经过点P1,0的直线与椭圆W相交于不同的两点C,D(不与点A,B重合).直线CB与直线x=4相交于点M，求证：A,D,M三点共线．

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】A

10.【答案】B

11.【答案】ABD

12.【答案】213.【答案】9或−11

14.【答案】4 ；6

15.【答案】四边形；216.【答案】(1)解：由题意，

a+c=3,−3,3

，则(2)解：由题意，

2b+c=−2,0,−1

(3)解：由题意，

cos<a

17.【答案】解：(1)如图，因为B2,1,C−2,3，所以直线BC由点斜式可得直线BC的方程为y−1=−12x−2(2)因为所求直线与直线BC平行，由(1)知可设所求直线方程为x+2y+c=0，又直线x+2y+c=0过点A−3,0所以将A−3,0的坐标代入x+2y+c=0可得−3+0+c=0，解得c=3所以所求直线方程为x+2y+3=0．(3)因为BC⊥DE，且其斜率都存在，所以kBC⋅k又直线DE过线段BC的中点0,2，由点斜式可得直线DE的方程为y−2=2x−0，即2x−y+2=0

18.【答案】解：(1)连接BD．在▵PBD中，因为E，F分别是PB，PD的中点，所以EF//BD.3分又因为BD⊂平面ABCD，且EF⊄平面ABCD，所以由线面平行的判定定理，得EF//平面ABCD．(2)法一：∵底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又EF//BD，∴EF⊥AC．由PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，又EF//BD，∴PA⊥EF，∵PA∩AC=A，PA,AC⊂平面PAC，∴EF⊥平面PAC，故直线EF与平面PAC所成角的正弦值为1．法二：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz如图．则A0,0,0，B2,0,0，D0,2,0，C因为E是PB的中点，所以E1,0,1因为F是PD的中点，所以F0,1,1因此EF=设平面PAC的法向量为n=∵AP=0,0,2由n令x=1，则y=−1，z=0．所以平面PAC的一个法向量为n=设直线EF与平面PAC所成角为θ，则sinθ=则EF⋅EF=(−1因此sinθ=所以直线EF与平面PAC所成角的正弦值为1．

19.【答案】14

(4−22,4+220.【答案】证明：(1)∵EA=EB，M是AB的中点，

∴EM⊥AB，

∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EM⊂平面ABE，

∴EM⊥平面ABCD，

又AD⊂平面ABCD，

∴EM⊥AD．

解：(2)∵EM⊥平面ABCD，MC⊂平面ABCD，

∴EM⊥MC，

菱形ABCD中，∠ABC=60°，所以△ABC是正三角形，

∴MC⊥AB．

∴MB、MC、ME两两垂直．

建立如图所示空间直角坐标系M−xyz．

则M(0,0,0)，A(−1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，

E(0,0,3)，BC=(−1,3,0)，BE=(−1,0,3)，

设m=(x,y,z)是平面BCE的一个法向量，

则m⋅BC=−x+3y=0m⋅BE=−x+3z=0，

令z=1，得m=(3,1,1)，

∵y轴与平面ABE垂直，

∴n=(0,1,0)是平面ABE的一个法向量．

cos<m,n>=m⋅n|m|⋅|n|=15×1=55，

∴平面ABE与平面BEC所成角的余弦值为55．

(3)假设在线段EC上存在点P，使得直线21.【