广东省深圳市罗湖区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市罗湖区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得集合，集合，所以.故选：B.2.若，则（）A. B.2 C.4 D.【答案】A【解析】根据题意，，则.故选：A.3.已知函数则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】根据题意，.故选：B4.已知根据如下数据，可得到关于的经验回归方程为，则3号观测的残差（精确到0.1）为（）编号12345678910111218.120.122.224.426.028.329.632.433.735.738.340.218.819.221.021.022.122.122.422.623.024.323.924.7A.0.5 B. C.0.6 D.【答案】C【解析】根据经验回归方程为，3号观测的预测值为，则3号观测的残差为.故选：C.5.记等比数列的前项和为，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】等比数列的前项和为，若，设等比数列公比为，则，当时，则的最小值为.故选：D.6.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，根据二倍角公式，令，则可得：根据三角函数诱导公式，对进行变形可得：令，则，由，所以.故选：A.7.在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知：，因为，且，可知为锐角，则，设，则，则，整理可得，解得或（舍去），所以的横坐标为.故选：C.8.设，，为函数的3个相邻零点，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则的最小正周期为，可知，又因为，可得，即，且，且，可知或为的零点，若为的零点，则，可得，且，可得，若为的零点，则，可得，这与矛盾；综上所述：.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆，双曲线的离心率分别为，，则（）A.的焦距小于的焦距 B.可能为等轴双曲线C. D.与恰有四个公共点【答案】AC【解析】根据题意，椭圆，半焦距，的焦距为，双曲线，半焦距，的焦距为，显然，A正确；因为，所以不可能为等轴双曲线，B错误；，则，C正确；因为椭圆中，双曲线中，则与只有和两个交点，D错误.故选：AC10.已知事件，满足，，则（）A. B.若，则C.若与相互独立，则 D.若，则【答案】BC【解析】因为，，对于选项A：因为PA∪B当且仅当时，等号成立，故A错误；对于选项B：若，则，故B正确；对于选项C：若与相互独立，则与相互独立，所以PAB=P对于选项D：因为PB|A=P又因为PA所以PB|A=P11.已知函数，则（）A.当，且时，没有零点B.曲线是中心对称图形C.当时，在定义域内是单调函数D.当时，函数既有极大值，又有极小值【答案】ABD【解析】考察选项A：当，且时，，，，函数没有零点，故A选项正确；考察选项B：当时，，曲线为直线，显然是中心对称图形；当时，，，记的定义域为，不难知道，当时，必有，且当时，必有，又，，曲线是中心对称图形，对称中心为，故B选项正确；考察选项C：，当，时，的定义域为，恒有，在区间和上单调递增，在内单调递减；同理可知当，时，在区间和上单调递减，在内单调递增.在定义域内非单调函数，故C选项错误；考察选项D：，当，时，令，∵，解得定义域为或.，存在，使得，，，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数既有极大值，又有极小值，同理，当，时，可知亦既有极大值，又有极小值，故D选项正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，满足，，若，则，的夹角为________.【答案】【解析】因为，，则，又因为，则，即，可得，则，且，可得，所以，的夹角为.故答案为：.13.若一个位数，各位数从高到低分别为，且满足，我们便将其称之为“递减数”.则正整数之中的“递减数”共有________个.【答案】1013【解析】由题意，当时，从0到9共10个数字中任取2个数均可组成1个递减数，当时，共有个递减数；同理当时，有个递减数；当时，有个递减数…当时，有个递减数；故共有个递减数.故答案为：1013.14.已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为3，点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，若，则的轨迹长度为________.【答案】.【解析】由题意知，点在以线段为直径的球与正三棱柱表面的交线上，如图，取的中点，过点作，垂足为，在等边中，为的中点，在正三棱柱中，平面，平面，，，，平面，平面，连接，取的中点，连接，，平面，点到平面的距离为，在平面中，点在以为圆心，以为半径的圆上，又点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，点在侧而的运动轨迹为，其长度为，同理，点在侧面的运动轨迹为，共长度为，点在上底面的运动轨迹为，其长度为，点在下底面的运动轨迹为，其长度为，综上，的轨迹长度为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，，，，在边上，的面积为.（1）求：（2）求的周长.解：（1）在中，由正弦定理得，，，又，，又的面积，解得，故.（2）由（1）知，为直角三角形，在中，，，在中，由余弦定理，得，，的周长为.故的周长为：.16.已知某车间有甲、乙两条生产线生产相同型号的产品.质检人员分别从甲、乙两条生产线各抽取了600件产品，其中甲生产线有优质品450件，非优质品150件：乙生产线有优质品400件，非优质品200件.（1）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品是否优质与生产线有关；（2）用频率估计概率，每次从甲生产线中有放回地抽取1件产品，共抽取4次，记抽取到优质品的次数为，求的分布列及数学期望.附：，.解：（1）列联表如下：

优质品非优质品合计甲生产线450150600乙生产线400200600合计8503501200零假设：产品是否优质与生产线无关，，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品是否优质与生产线有关.（2）由已知得，甲生产线中产品的优质品率为，所有可能取值为0，1，2，3，4，.所以，则，，故的分布列为01234.17.如图1，菱形的边长为2，，将沿折起至（如图2），且点为的中点.（1）证明：平面平面：（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：连接，交于点，连接，，在菱形中，，，且既是的中点，也是的中点，又，是等边三角形，，，又，，平面，平面，平面，，，又是的中点，，又，、平面，平面，平面，平面平面；（2）解：在边长为2的菱形中，，，以为原点，，所在直线分别为，轴，作平而，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，设，，，解得，又折叠过程中，，，解得，，，，由（1）知平而，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，取，则，，，设平面与平面夹角为，则，平面与平面夹角的余弦值为.18.已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且.（1）求的渐近线方程：（2）求面积S的最小值：（3）证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程.（1）解：由题意，双曲线的焦点在轴上，不可能经过点，将，代入得：，解得，，的渐近线方程为；（2）解：设，，则，由于，则，显然，可得，且，，，当且仅当，时，等号成立，的最小值为16；（3）证明：显然，直线，即，其中，，即，，故点到直线的距离为，存在定圆与直线相切.19.已知函数.（1）证明：当时，直线与曲线相切；（2）若是增函数，求实数的取值范围；（3）设，且，分别为的极大值点和极小值点，记，，证明：直线与曲线有异于，的交点.（1）证明：由题设得，不难知道，且，曲线在点处的切线方程为，即直线与曲线相切.（2）解：由题设得，令，①若，则，故在区间单调递增，令，则，或，当时，；当时，.当时，；当时，.当且仅当，，故，即.②若，则，恒成立，，当时，；当时，，在区间单调递减，在区间单调递增，，，解得.③时，由题设得，当时，，单调递减，不符合题意.综上所述，实数的取值范围是.（3）解：由（2）可知，，且或由（2）不难知道，当时，，，直线的方程