河北省秦皇岛市卢龙县2027届九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

河北省秦皇岛市卢龙县2027届九年级数学第一学期期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（）①AC=AB，②AC=AB，③AB：AC=AC：BC，④AC≈0.618ABA．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，点C、D在圆O上，AB是直径，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD=（）A．70° B．60° C．50° D．40°3．从一张圆形纸板剪出一个小圆形和一个扇形，分别作为圆锥体的底面和侧面，下列的剪法恰好配成一个圆锥体的是（）A． B． C． D．4．下列图形中是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．5．下列结论正确的是（）A．垂直于弦的弦是直径 B．圆心角等于圆周角的2倍C．平分弦的直径垂直该弦 D．圆内接四边形的对角互补6．若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0（a≠0）的其中一个解是x=1，则2018﹣a﹣b的值是（）A．2022 B．2018 C．2017 D．20247．方程x2－4＝0的解是A．x＝2 B．x＝－2 C．x＝±2 D．x＝±48．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（）A．（4，4） B．（3，3） C．（3，1） D．（4，1）9．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（）A． B． C． D．10．《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有人，买鸡的钱数为，依题意可列方程组为（）A． B．C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则的取值范__________．12．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC＝60°，则∠BAC=__．13．若，且，则的值是______．14．布袋中装有3个红球和4个白球，它们除颜色外其余都相同，如果从这个布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是_______．15．某化肥厂一月份生产化肥500吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产化肥1750吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可列方程为_______．16．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．17．方程的解是_____________．18．已知二次函数y=－x－2x＋3的图象上有两点A(－7，)，B(－8，)，则▲.（用>、<、=填空）．三、解答题(共66分)19．（10分）用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．20．（6分）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．（1）计算矩形EFGH的面积；（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形，将矩形绕点按顺时针方向旋转，当落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形，设旋转角为，求的值．21．（6分）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为的条件下生长最快的新品种．下图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（°C）随时间x（小时）变化的函数图象，其中段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：（1）恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有________小时；（2）当时，大棚内的温度约为多少度？22．（8分）已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D，（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（8分）如图，抛物线过点，交x轴于A，B两点点A在点B的左侧．求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；连接OC，CM，求的值；若点P在抛物线的对称轴上，连接BP，CP，BM，当时，求点P的坐标．24．（8分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边做正方形ADEF，连接CF．（1）如图①，当点D在线段BC上时，直接写出线段CF、BC、CD之间的数量关系．（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他件不变，则（1）中的三条线段之间的数量关系还成立吗？如成立，请予以证明，如不成立，请说明理由；（3）如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC两侧，其他条件不变；若正方形ADEF的边长为4，对角线AE、DF相交于点O，连接OC，请直接写出OC的长度．25．（10分）已知：如图,在⊙O中,弦交于点,.求证：.26．（10分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+1．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可得.【详解】∵点C数线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC=AB，故①正确；由AC=AB，故②错误；BC：AC=AC：AB，即：AB：AC=AC：BC，③正确；AC≈0.618AB，故④正确，故选C．【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，熟记黄金分割的比为是解题的关键．2、D【分析】根据平角的定义求得∠AOC的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得∠AOD的度数．【详解】∵∠BOC＝110°，∠BOC＋∠AOC＝180°∴∠AOC＝70°∵AD∥OC，OD＝OA∴∠D＝∠A＝70°∴∠AOD＝180°−2∠A＝40°故选：D．此题考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆的基本性质、平行线性质及三角形内角和定理的运用．3、B【分析】根据圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，只要图形中两者相等即可配成一个圆锥体即可．【详解】选项A、C、D中，小圆的周长和扇形的弧长都不相等，故不能配成一个圆锥体，只有B符合条件．故选B．本题考查了学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．4、A【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的性质对各项进行判断即可．【详解】根据中心对称图形和轴对称图形的性质，只有下图符合故答案为：A．本题考查了中心对称图形和轴对称图形，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义和性质是解题的关键．5、D【分析】分别根据垂径定理、圆周角定理及圆内接四边形的性质对各选项进行逐一分析即可.【详解】解：A，垂直于弦的弦不一定是直径,故本选项错误;B，在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，故本选项错误;C，平分弦的直径垂直该弦(非直径),故本选项错误;D，符合圆内接四边形的性质故本选项正确.故选：D.本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及圆内接四边形的基本性质.6、D【分析】根据题意将x=1代入原方程并整理得出，最后进一步整体代入求值即可.【详解】∵x=1是原方程的一个解，∴把x=1代入方程，得：，即．∴，故选：D．本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握相关概念是解题关键.7、C【分析】方程变形为x1=4，再把方程两边直接开方得到x=±1．【详解】解：x1=4，∴x=±1．故选C．8、A【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．【详解】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，∴A点与C点是对应点，∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，∴点C的坐标为：（4，4）故选A．本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．9、D【分析】根据旋转的性质得出，利用全等三角形的性质和平行线的性质得出，即可得出答案.【详解】根据题意可得∴又∴∴∴故答案选择D.本题考查的是旋转和全等，难度适中，解题关键是根据图示找出旋转角.10、D【分析】一方面买鸡的钱数=8人出的总钱数－3钱，另一方面买鸡的钱数=7人出的总钱数+4钱，据此即可列出方程组.【详解】解：设有人，买鸡的钱数为，根据题意，得：.本题考查的是二元一次方程组的应用，正确理解题意、根据买鸡的总钱数不变列出方程组是解题关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、且；【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出不等式组，求出不等式组的解集即可．【详解】∵关于x的方程（k-1）x1-x+1=0有两个不相等的实数根，∴k-1≠0且△=（-1）1-4（k-1）•1=-4k+9＞0，即，解得：k＜且k≠1，故答案为k＜且k≠1．本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式组是解此题的关键．12、30°【分析】根据AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，再根据三角形内角和为180°以及∠OBC=60°，即可求出∠BAC的度数．【详解】∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∵∠OBC=60°，

∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°．

故答案为：30°．本题考查了圆周角定理以及角的计算，解题的关键是找出∠ACB=90°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出直径所对的圆周角为90°是关键．13、-20；【分析】由比例的性质得到，从而求出a和b+c的值，然后代入计算，即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，∴，，∴；故答案为：．本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质，正确得到，．14、【分析】由题意根据概率公式，求摸到红球的概率，即用红球除以小球总个数即可得出得到红球的概率．【详解】解：∵一个布袋里装有3个红球和4个白球，共7个球，∴摸出一个球摸到红球的概率为：，故答案为：.本题主要考查概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．15、500+500（1+x）+500（1+x）2＝1【解析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），根据二、三月份平均每月的增长为x，则二月份的产量是500（1+x）吨，三月份的产量是500（1+x）（1+x）=500（1+x）2，再根据第一季度共生产钢铁1吨列方程即可．【详解】依题意得二月份的产量是500（1+x），三月份的产量是500（1+x）（1+x）=500（1+x）2，∴500+500（1+x）+500（1+x）2=1．故答案为：500+500（1+x）+500（1+x）2=1．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够根据增长率分别表示出各月的产量，这里注意已知的是一季度的产量，即三个月的产量之和．16、：k＜1．【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△==4﹣4k＞0，解得：k＜1，则k的取值范围是：k＜1．故答案为k＜1．17、x1=3，x2=-1【分析】利用因式分解法解方程.【详解】，（x-3）（x+1）=0，∴x1=3，x2=-1，故答案为：x1=3，x2=-1.此题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点选择适合的方法解方程是关键.18、＞．【解析】根据已知条件求出二次函数的对称轴和开口方向，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y1的大小关系：∵二次函数y=﹣x1﹣1x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大．∵点A（﹣7，y1），B（﹣8，y1）是二次函数y=﹣x1﹣1x+3的图象上的两点，且﹣7＞﹣8，∴y1＞y1．三、解答题(共66分)19、(1)y关于x的函数关系式是y=﹣x2+16x；（2）当x是6或11时，围成的养鸡场面积为61平方米；（3）不能围成面积为71平方米的养鸡场；理由见解析.【解析】（1）根据矩形的面积公式进行列式；把y的值代入（1）中的函数关系，求得相应的x值即可．把y的值代入（1）中的函数关系，求得相应的x值即可．【详解】解：（1）设围成的矩形一边长为x米，则矩形的邻边长为：32÷2﹣x．依题意得y=x（32÷2﹣x）=﹣x2+16x．答：y关于x的函数关系式是y=﹣x2+16x；（2）由（1）知，y=﹣x2+16x．当y=61时，﹣x2+16x=61，即（x﹣6）（x﹣11）=1．解得x1=6，x2=11，即当x是6或11时，围成的养鸡场面积为61平方米；（3）不能围成面积为71平方米的养鸡场．理由如下：由（1）知，y=﹣x2+16x．当y=71时，﹣x2+16x=71，即x2﹣16x+71=1因为△=（﹣16）2﹣4×1×71=﹣24＜1，所以该方程无解．即：不能围成面积为71平方米的养鸡场．考点：1、一元二次方程的应用；2、二次函数的应用；3、根的判别式20、（1）；（2）矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是；（3）【解析】分析：（1）根据已知，由直角三角形的性质可知AB=2，从而求得AD，CD，利用中位线的性质可得EF，DF，利用三角函数可得GF，由矩形的面积公式可得结果；（2）首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与△CBD重叠部分为三角形时（0＜x≤），利用三角函数和三角形的面积公式可得结果；当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时（＜x≤），列出方程解得x；（3）作H2Q⊥AB于Q，设DQ=m，则H2Q＝m，又DG1＝，H2G1＝，利用勾股定理可得m，在Rt△QH2G1中，利用三角函数解得cosα．详解：（1）如图①，在中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2,又∵D是AB的中点，∴AD=1，．又∵EF是的中位线，∴，在中，AD=CD,∠A=60°,∴∠ADC=60°．在中,60°，∴矩形EFGH的面积．（2）如图②，设矩形移动的距离为则，当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，则，，∴．（舍去）．当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，则，重叠部分的面积S=,∴．即矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是．（3）如图③，作于．设，则，又，．在Rt△H2QG1中，，解之得（负的舍去）．∴．点睛：本题主要考查了直角三角形的性质，中位线的性质和三角函数定义等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形是解答此题的关键．21、（1）8；（2）．【分析】找出临界点即可.【详解】(1)8;∵点在双曲线上，

∴，

∴解得：．

当时，，

所以当时，大棚内的温度约为．理解临界点的含义是解题的关键.22、（2）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．（2）证明见解析；（2）点P坐标为（，）或（2，2）．【解析】试题分析：（2）将A（﹣2，0）、C（0，2），代入二次函数y=ax2+bx﹣2a，求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．试题解析：（2）∵二次函数y=ax2+bx﹣2a经过点A（﹣2，0）、C（0，2），∴将A（﹣2，0）、C（0，2），代入，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2；（2）如图，连接DC、BC、DB，由y=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣2）2+4得，D点坐标为（2，4），∴CD==，BC==2，BD==2，∵CD2+BC2=（）2+（2）2=20，BD2=（2）2=20，∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形；（2）y=﹣x2+2x+2对称轴为直线x=2．假设存在这样的点P,①以CD为底边，则P2D=P2C，设P2点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P2C2=x2+（2﹣y）2，P2D2=（x﹣2）2+（4﹣y）2，因此x2+（2﹣y）2=（x﹣2）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P2点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x=﹣x2+2x+2，即x2﹣2x+2=0，解得x2=，x2=＜2，(不满足在对称轴右侧应舍去），∴x=，∴y=4﹣x=，即点P2坐标为（，）．②以CD为一腰，∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x=2对称，此时点P2坐标为（2，2）．∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，2）．考点：2.二次函数图象性质；2.等腰三角形性质；2.直角三角形的判定.23、抛物线的解析式为，顶点M的坐标为；；P点坐标为或【解析】根据待定系数法，可得函数解析式；根据顶点式解析式，可得顶点坐标；根据勾股定理及逆定理，可得，根据正切函数，可得答案；根据相似三角形的判定与性质，可得PM的值，可得M点坐标．【详解】由抛物线过点，得，解得，抛物线的解析式为，顶点M的坐标为；如图1，连接OM，，，，，，，，；如图2，过C作对称轴，垂足N在对称轴上，取一点E，使，连接CE，．当时，，解得的，，，．，，，，∽，，易知，，，解得，P点坐标为或本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线面构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．24、（1）CF+CD＝BC；（2）CF+CD＝BC不成立，存在CF﹣CD＝BC，证明详见解析；（3）．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF＝BD，据此即可证得；（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD＝CF，即可得到CF﹣CD＝BC；（3）先证明△BAD≌△CAF，进而得出△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到OC的长．【详解】（1）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∵BD+CD＝BC，∴CF+CD＝BC；故答案为：CF+CD＝BC；（2）CF+CD＝BC不成立，存在CF﹣CD＝BC；理由：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠