2026年人教版高中数学高二年级下册第6单元立体几何测试卷及答案

2026年人教版高中数学高二年级下册第6单元立体几何测试卷及答案第1页共1页2026年人教版高中数学高二年级下册第6单元立体几何测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于y轴对称的点的坐标是A.(-1,2,3)B.(1,-2,3)C.(-1,-2,-3)D.(1,2,-3)参考答案：A2.已知直线l1:x=1，直线l2:y=2，则直线l1与l2所成角的余弦值是A.0B.1C.√2/2D.-√2/2参考答案：C3.若直线l:ax+by+c=0与平面α:x+y+z=1平行，则a:b:c=？A.1:1:1B.1:1:-1C.-1:-1:1D.-1:-1:-1参考答案：B4.已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，PA=PB=PC=2，则点P到平面ABC的距离是A.√3B.2√3C.1D.2参考答案：A5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则直线BE与平面A1ABB1所成角的正弦值是A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1参考答案：A6.已知直线l1:x+y-1=0与直线l2:ax-y+2=0垂直，则a的值是A.1B.-1C.2D.-2参考答案：A7.若直线l:x=1与平面α:ax+by+cz=1平行，则a:b:c=？A.1:0:0B.0:1:0C.0:0:1D.1:1:1参考答案：A8.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是△ABC的重心，且PA=PB=PC=3，则三棱锥P-ABC的体积是A.3√3B.6√3C.9√3D.12√3参考答案：B9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是棱BC的中点，则直线AE与直线CF所成角的余弦值是A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1参考答案：C10.已知直线l1:x-y+1=0与直线l2:2x+ay-3=0平行，则a的值是A.-2B.2C.-1/2D.1/2参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱DD₁的中点，F为棱BC的中点，则直线EF与平面ABB₁A₁所成角的正弦值为______。参考答案：√3/22.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是△ABC的重心，且PA=3，则点P到平面ABC的距离为______。参考答案：13.过空间不共线的三点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)的平面方程为______。参考答案：x+y+z=14.设直线l:x=1与平面α:ax+by+cz=1平行，则实数a，b，c应满足的关系是______。参考答案：a=0,b+c=15.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA₁垂直于底面，则点A₁到平面BCC₁B₁的距离为______。参考答案：√3/36.已知圆C:(x-1)²+(y-2)²=4，则点P(2,0)到圆C的最短距离为______。参考答案：27.过点A(1,2)且与直线l:2x-y+3=0平行的直线方程为______。参考答案：2x-y=08.在空间直角坐标系中，向量a=(1,2,3)与向量b=(2,-1,1)的夹角余弦值为______。参考答案：7/109.已知直线l₁:x+y-1=0与直线l₂:ax-y+2=0垂直，则实数a的值为______。参考答案：110.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点，F是棱BB₁的中点，则直线AE与直线CF所成角的余弦值为______。参考答案：1/2三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.如果一个平面内的两条相交直线分别垂直于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面垂直。参考答案：×2.直线l平行于平面α，直线m垂直于直线l，则直线m一定垂直于平面α。参考答案：×3.空间中三条平行直线可以确定一个平面。参考答案：×4.正方体的对角线与它所在的棱所成的角是45°。参考答案：×5.空间中一个角的三个面角之和一定大于180°。参考答案：×6.直线与平面所成角的取值范围是[0°,90°]。参考答案：√7.空间中两个平面的交线是唯一的。参考答案：√8.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱DD₁的中点，F为棱CC₁的中点，则四边形B₁EFD₁是平行四边形。参考答案：√9.过空间不共线的三点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)可以确定一个平面。参考答案：√10.设直线l:x=1与平面α:ax+by+cz=1平行，则实数a、b、c中至少有一个为0。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点，求证：平面AEF⊥平面BCC1B1。参考答案：①取BC中点G，连接EG、FG；②由正方体性质知BC⊥平面AEG，BC⊥平面BFG；③EG∩FG=G，BC⊥EG，BC⊥FG，故BC⊥平面AEF；④由面面垂直的判定定理知平面AEF⊥平面BCC1B12.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA1=3，求点A1到平面BCC1B1的距离。参考答案：①取BC中点G，连接AG、A1G；②由等边三角形性质知AG⊥BC，由三棱柱性质知A1G⊥平面BCC1B1；③AG=√3，A1G=√5，由勾股定理得A1到平面BCC1B1的距离为√53.过空间不共线的三点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)作平面α，求平面α的方程。参考答案：①设平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0；②由A、B、C三点在平面上，得方程组：A+D=0，B+D=0，C+D=0；③解得A=B=C=D=1，故平面α的方程为x+y+z+1=04.已知直线l1:x+y-1=0与直线l2:ax+by+c=0平行，求a:b:c的值。参考答案：①由平行线性质知斜率相等，即-a/b=1/b，解得a=-b；②设c=k，则a:b:c=-b:b:k，故a:b:c=-1:1:15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值。参考答案：①设正方体边长为1，则A(0,0,0)，E(0,0,1/2)，F(1/2,1,0)，求向量AE、CF的坐标；②向量AE=(0,0,1/2)，CF=(-1/2,1,0)，求向量夹角余弦值6.已知平面α和平面β相交于直线l，点P在平面α内，点Q在平面β内，且PQ⊥l，求证：PQ⊥平面β。参考答案：①设直线l的方向向量为d=(a,b,c)，PQ的方向向量为v=(x,y,z)；②由PQ⊥l，得v•d=0；③由PQ⊥平面β，得v与平面β内任意向量垂直，即v•n=0，其中n为平面β的法向量7.在空间直角坐标系中，平面α:x+2y-z=1上有点A(1,1,0)，求点A关于平面α的对称点B的坐标。参考答案：①设B(x,y,z)，由中点坐标公式得x=1，y=1，z=-2；②故点B(1,1,-2)8.判断命题“若ab，则a^2b^2”是否为真命题，并说明理由。参考答案：①取a=0，b=-1，则ab但a^2=b^2，故命题为假命题五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是棱PC的中点。求（1）异面直线AE与BC所成角的余弦值；（2）点E到平面PAB的距离。参考答案：（1）cosθ=√2/3；（2）√2/42.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA₁=3，D是棱AB的中点。求（1）直线AD与平面ABC所成角的正弦值；（2）二面角A-BB₁-C的余弦值。参考答案：（1）sinα=√3/2；（2）cosβ=-1/23.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，E是棱PC的中点。求（1）异面直线AE与BD所成角的正弦值；（2）点E到平面PAB的距离。参考答案：（1）sinθ=√3/2；（2）√3/34.如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=1，AA₁=2，D是棱AC的中点。求（1）直线AD与平面ABC所成角的正弦值；（2）二面角A-BC-C₁B₁的余弦值。参考答案：（1）sinα=√2/2；（2）cosβ=-√2/25.在五棱锥P-ABCDE中，底面ABCDE是正五边形，PA⊥平面ABCDE，PA=2，F是棱PC的中点。求（1）异面直线AF与BE所成角的余弦值；（2）点F到平面PAB的距离。参考答案：（1）cosθ=√5/5；（2）√5/56.已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上，PA=PB=PC=2，底面ABC是边长为2的等边三角形，D是棱AB的中点。求（1）直线AD与平面PBC所成角的正弦值；（2）二面角A-BC-P的余弦值。参考答案：（1）sinα=√3/2；（2）cosβ=-1/27.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是棱PC的中点，F是棱PB的中点。求（1）异面直线AE与BF所成角的余弦值；（2）点E到平面PAB的距离。参考答案：（1）cosθ=√3/3；（2）√3/48.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，底面ABC是边长为2的等边三角形，D是棱AB的中点，E是棱AC的中点。求（1）直线DE与平面PBC所成角的正弦值；（2）二面角A-BC-P的余弦值。参考答案：（1）sinα=√3/2；（2）cosβ=-1/2标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：A解析：本题考查空间直角坐标系中点的对称性。点A(1,2,3)关于y轴对称的点的坐标应为(-1,2,3)，因为y轴对称只改变x坐标的符号，y和z坐标不变。选项B改变y坐标符号，选项C改变所有坐标符号，选项D改变z坐标符号，均不符合对称规律。2.参考答案：C解析：本题考查异面直线所成角的余弦值。直线l1:x=1是垂直于x轴的直线，直线l2:y=2是垂直于y轴的直线，二者所成角为45度，余弦值为√2/2。选项A余弦值为0，表示垂直；选项B余弦值为1，表示同向；选项D余弦值为-√2/2，表示反向。3.参考答案：B解析：本题考查直线与平面平行的条件。直线l1:x=1与平面α:x+y+z=1平行，说明直线l1的方向向量(0,0,1)与平面α的法向量(1,1,1)垂直，即01+01+11=1≠0，故a:b:c=1:1:-1。选项A比例相同但符号不符；选项C符号不符；选项D符号与比例均不符。4.参考答案：A解析：本题考查点到平面的距离。三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，重心到顶点的距离为2/3乘以高，高为√3。点P到平面ABC的距离为PA乘以cos60度，即2√3/2=√3。选项B是体积计算错误；选项C是高计算错误；选项D是重心位置错误。5.参考答案：A解析：本题考查直线与平面所成角的正弦值。正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，BE与平面A1ABB1所成角即为∠EBB1，tan∠EBB1=EB/BB1=√2/2，故sin∠EBB1=1/2。选项B是cos值；选项C是tan值；选项D是45度角的sin值。6.参考答案：A解析：本题考查直线与直线垂直的条件。直线l1:x+y-1=0与直线l2:ax-y+2=0垂直，说明两直线方向向量的点积为0，即(1,1)•(a,-1)=a-1=0，解得a=1。选项B是平行条件；选项C是斜率乘积为-1；选项D是垂直条件但数值错误。7.参考答案：A解析：本题考查直线与平面平行的条件。直线l:x=1与平面α:ax+by+cz=1平行，说明平面α的法向量(a,b,c)与直线l的方向向量(0,0,1)垂直，即0a+0b+1c=c=0，故a:b:c=1:0:0。选项B是y轴平行；选项C是z轴平行；选项D是平面过原点。8.参考答案：B解析：本题考查三棱锥体积计算。三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是重心，说明P到底面的距离为2/3乘以高，高为√3。三棱锥体积V=1/3底面积高=1/3√3√32=6√3。选项A是底面积计算错误；选项C是高计算错误；选项D是体积公式的错误应用。9.参考答案：C解析：本题考查异面直线所成角的余弦值。正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是棱BC的中点，AE与CF所成角即为∠AEF，tan∠AEF=EF/AE=√3/2，故cos∠AEF=√3/2。选项A是30度角的cos值；选项B是45度角的cos值；选项D是60度角的cos值。10.参考答案：B解析：本题考查直线与直线平行的条件。直线l1:x-y+1=0与直线l2:2x+ay-3=0平行，说明两直线方向向量的比例关系为1:-1:1，即2/a=1/-1，解得a=-2。选项C是垂直条件；选项D是斜率乘积为-1；选项A是平行条件但数值错误。二、填空题1.参考答案：√3/2解析：本题考查“直线与平面所成角的计算”。首先，连接BF，由于F为BC中点，所以BF平行于AD，且AD垂直于平面ABB₁A₁。因此，∠EBF即为直线EF与平面ABB₁A₁所成角。在正方体中，BC=1，BF=√2/2，BE=√5/2。由勾股定理得，EF=√(EB²-BF²)=√(5/4-1/2)=√3/2。在直角三角形EBF中，sin∠EBF=BE/EF=√3/2。2.参考答案：1解析：本题考查“点到平面的距离”。由于P在底面ABC上的射影G是△ABC的重心，所以PG垂直于平面ABC。设PG=x，则AG=2x，BG=2x，CG=2x。由重心性质，AG+BG+CG=3AG，即2x+2x+2x=3AG，解得AG=2x。在直角三角形PAG中，PA=3，AG=2x，由勾股定理得，PG²+AG²=PA²，即x²+(2x)²=3²，解得x=1。所以点P到平面ABC的距离为1。3.参考答案：x+y+z=1解析：本题考查“平面方程的求解”。设平面方程为ax+by+cz+d=0。由于平面过A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，代入得a+d=0，b+d=0，c+d=0，解得a=b=c=-d。取d=1，得平面方程为x+y+z=1。4.参考答案：a=0,b+c=1解析：本题考查“直线与平面平行的判定”。直线l:x=1与平面α:ax+by+cz=1平行，说明直线l的方向向量(0,0,1)与平面α的法向量(a,b,c)垂直。因此，a×0+b×0+c×1=0，即c=0。又因为直线l在平面α外，所以a×1+b×0+c×0=1，即a+b=1。由于c=0，所以a+b=1，即a=0,b+c=1。5.参考答案：√3/3解析：本题考查“点到平面的距离”。由于AA₁垂直于底面，所以AA₁垂直于平面BCC₁B₁。设点A₁到平面BCC₁B₁的距离为h，则h即为AA₁在平面BCC₁B₁上的投影长度。在等边三角形△BCC₁中，BC=2，高为√3。由于AA₁垂直于底面，所以AA₁垂直于BC，且AA₁=2。在直角三角形AA₁B中，AB=2，AA₁=2，由勾股定理得，A₁B=2√2。在直角三角形A₁BC中，A₁B=2√2，BC=2，由勾股定理得，A₁C=2√2。在等边三角形△BCC₁中，高为√3，所以CC₁=2√3/3。因此，点A₁到平面BCC₁B₁的距离为√3/3。6.参考答案：2解析：本题考查“点到圆的距离”。圆C的圆心为(1,2)，半径为2。点P(2,0)到圆心(1,2)的距离为√((2-1)²+(0-2)²)=√5。因此，点P到圆C的最短距离为√5-2=2。7.参考答案：2x-y=0解析：本题考查“直线方程的求解”。直线l:2x-y+3=0的斜率为2。过点A(1,2)且与直线l平行的直线方程为y-2=2(x-1)，即2x-y=0。8.参考答案：7/10解析：本题考查“向量夹角余弦的计算”。向量a=(1,2,3)与向量b=(2,-1,1)的夹角余弦值为cosθ=|a•b|/(|a|×|b|)。a•b=1×2+2×(-1)+3×1=3，|a|=√(1²+2²+3²)=√14，|b|=√(2²+(-1)²+1²)=√6，所以cosθ=3/(√14×√6)=7/10。9.参考答案：1解析：本题考查“直线垂直的判定”。直线l₁:x+y-1=0的斜率为-1。直线l₂:ax-y+2=0的斜率为a。由于直线l₁与直线l₂垂直，所以-1×a=-1，解得a=1。10.参考答案：1/2解析：本题考查“异面直线所成角的计算”。首先，连接AC₁，由于E是棱CC₁的中点，所以CE平行于A₁D₁，且CE垂直于平面ABB₁A₁。因此，∠AEF即为直线AE与直线CF所成角。在正方体中，AC₁=√5，AE=√5/2，EF=√2。在直角三角形AEF中，cos∠AEF=EF/AC₁=√2/√5=1/2。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查空间直线与平面垂直的判定定理。两个平面垂直的判定定理是：如果一个平面内的两条相交直线分别垂直于另一个平面，那么这两个平面垂直。题干中只说两条直线相交，但没有说明是否在同一个平面内，因此不能保证这两个平面垂直。正确表述应该是：如果一个平面内的两条相交直线分别垂直于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面垂直。2.参考答案：×解析：本题考查直线与平面平行的性质。直线l平行于平面α，直线m垂直于直线l，则直线m可能与平面α平行，也可能在平面α内，甚至可能垂直于平面α。因此，直线m一定垂直于平面α的说法是错误的。3.参考答案：×解析：本题考查空间直线与平面的关系。空间中三条平行直线不一定共面，因此不一定能确定一个平面。例如，三条互相平行的直线可以位于不同的平面上。4.参考答案：×解析：本题考查空间几何体的性质。正方体的对角线与它所在的棱所成的角不是45°，而是30°。可以通过空间几何计算得到这个结论。5.参考答案：×解析：本题考查空间几何角的知识。空间中一个角的三个面角之和不一定大于180°，例如，当三个面角分别位于一个三棱锥的三个侧面时，它们的和可能等于180°。6.参考答案：√解析：本题考查直线与平面所成角的定义。直线与平面所成角是指直线与它在平面上的投影之间的夹角，其取值范围是[0°,90°]。7.参考答案：√解析：本题考查空间中两个平面的交线的性质。空间中两个平面的交线是唯一的，这是空间几何中的基本性质。8.参考答案：√解析：本题考查平行四边形的判定。在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱DD₁的中点，F为棱CC₁的中点，因此B₁E平行于FD₁，且B₁E=FD₁，所以四边形B₁EFD₁是平行四边形。9.参考答案：√解析：本题考查空间中平面的确定。过空间不共线的三点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)可以确定一个平面，这是空间几何中的基本性质。10.参考答案：×解析：本题考查直线与平面平行的条件。直线l:x=1与平面α:ax+by+cz=1平行，则直线的方向向量(0,0,1)与平面的法向量(a,b,c)垂直，即a×0+b×0+c×1=0，所以c=0。因此，实数a、b、c中至少有一个为0的说法是错误的。四、简答题1.参考答案：①取BC中点G，连接EG、FG；②由正方体性质知BC⊥平面AEG，BC⊥平面BFG；③EG∩FG=G，BC⊥EG，BC⊥FG，故BC⊥平面AEF；④由面面垂直的判定定理知平面AEF⊥平面BCC1B1解析：本题考查“平面与平面垂直的判定”，融合了“线面垂直的判定”与“面面垂直的判定”考点。首先，在正方体中取BC中点G，连接EG、FG。由正方体性质知BC⊥平面AEG，BC⊥平面BFG。因为EG∩FG=G，BC⊥EG，BC⊥FG，根据线面垂直的判定定理，BC⊥平面AEF。最后，由面面垂直的判定定理，因为BC⊥平面AEF且BC在平面BCC1B1内，所以平面AEF⊥平面BCC1B1。2.参考答案：①取BC中点G，连接AG、A1G；②由等边三角形性质知AG⊥BC，由三棱柱性质知A1G⊥平面BCC1B1；③AG=√3，A1G=√5，由勾股定理得A1到平面BCC1B1的距离为√5解析：本题考查“点到平面的距离”，融合了“等边三角形性质”与“线面垂直的判定”考点。首先，取BC中点G，连接AG、A1G。由等边三角形性质知AG⊥BC，由三棱柱性质知A1G⊥平面BCC1B1。因为AG=√3，A1G=√5，根据勾股定理，A1到平面BCC1B1的距离为√5。3.参考答案：①设平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0；②由A、B、C三点在平面上，得方程组：A+D=0，B+D=0，C+D=0；③解得A=B=C=D=1，故平面α的方程为x+y+z+1=0解析：本题考查“平面方程的求解”，融合了“线性方程组求解”考点。设平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0。由A、B、C三点在平面上，得方程组：A+D=0，B+D=0，C+D=0。解得A=B=C=D=1，故平面α的方程为x+y+z+1=0。4.参考答案：①由平行线性质知斜率相等，即-a/b=1/b，解得a=-b；②设c=k，则a:b:c=-b:b:k，故a:b:c=-1:1:1解析：本题考查“直线平行条件”，融合了“斜率相等”考点。由平行线性质知斜率相等，即-a/b=1/b，解得a=-b。设c=k，则a:b:c=-b:b:k，故a:b:c=-1:1:1。5.参考答案：①设正方体边长为1，则A(0,0,0)，E(0,0,1/2)，F(1/2,1,0)，求向量AE、CF的坐标；②向量AE=(0,0,1/2)，CF=(-1/2,1,0)，求向量夹角余弦值解析：本题考查“异面直线所成角”，融合了“空间向量运算”考点。设正方体边长为1，则A(0,0,0)，E(0,0,1/2)，F(1/2,1,0)，求向量AE、CF的坐标。向量AE=(0,0,1/2)，CF=(-1/2,1,0)，求向量夹角余弦值。6.参考答案：①设直线l的方向向量为d=(a,b,c)，PQ的方向向量为v=(x,y,z)；②由PQ⊥l，得v•d=0；③由PQ⊥平面β，得v与平面β内任意向量垂直，即v•n=0，其中n为平面β的法向量解析：本题考查“线面垂直的判定”，融合了“空间向量运算”考点。设直线l的方向向量为d=(a,b,c)，PQ的方向向量为v=(x,y,z)。由PQ⊥l，得v•d=0。由PQ⊥平面β，得v与平面β内任意向量垂直，即v•n=0，其中n为平面β的法向量。7.参考答案：①设B(x,y,z)，由中点坐标公式得x=1，y=1，z=-2；②故点B(1,1,-2)解析：本题考查“点关于平面的对称点”，融合了“中点坐标公式”考点。设B(x,y,z)，由中点坐标公式得x=1，y=1，z=-2。故点B(1,1,-2)。8.参考答案：①取a=0，b=-1，则ab但a^2=b^2，故命题为假命题解析：本题考查“命题真假的判断”，融合了“反例法”考点。取a=0，b=-1，则ab但a^2=b^2，故命题为假命题。五、应用题1.参考答案：（1）cosθ=√2/3；（2）√2/4解析：本题考查空间向量在立体几何中的应用。①以A为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1)。向量AE=(0,1,1),BC=(0,2,0)。cosθ=|AE•BC|/|AE||BC|=2/√2×√2=√2/3。②平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z)，由n⊥AB,n⊥AP得x=0,z=0，取n=(0,1,0)。点E到平面PAB的距离d=|n•E|=|1×1|=1。点E到平面PAB的距离为√2/4。2.参考答案：（1）sinα=√3/2；（2）cosβ=-1/2解析：本题考查空间向量在立体几何中的应用。①以A为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,√3,0),A₁(0,0,3),B₁(2,0,3),C₁(1,√3,3),D(1,0,0)。向量AD=(1,0,0),平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1)。sinα=|AD•n|/|AD||n|=1×1/√1×1=√3/2。②平面A-BB₁-C的一个法向量为n=(x,y,z)，由n⊥AB,n⊥BB₁得x=0,y=0，取n=(0,0,1)。cosβ=|n•BC|/|n||BC|=2/√1×√4=1/2。二面角A-BB₁-C的余弦值为-1/2。3.参考答案：（1）sinθ=√3/2；（2）√3/3解析：本题考查空间向量在立体几何中的应用。①以A为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,√3),E(0,1,√3/2)。向量AE=(0,1,√3/2),BD=(-2,2,0)。sinθ=|AE•BD|/|AE||BD|=1×2/√1×√8=√3/2。②平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z)，由n⊥AB,n⊥AP得x=0,z=0，取n=(0,1,0)。点E到平面PAB的距离d=|n•E|=|1×1|=1。点E到平面PAB的距离为√3/3。4.参考答案：（1）sinα=√2/2；（2）cosβ=-√2/2解析：本题考查空间向量在立体几何中的应用。①以A为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),A₁(0,0,2),B₁(1,0,2),C₁(1,1,2),D(0.5,0.5,0)。向量AD=(0.5,0.5,0),平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1)。sinα=|AD•n|/|AD||n|=0.5×0.5/√0.5×0.5×1=√2/2。②平面A-BC-C₁B₁的一个法向量为n=(x,y,z)，由n⊥AB,n⊥BC得x=0,y=0，取n=(0,0,1)。cosβ=|n•BC|/|n||BC|=1/√1×√2=-√2/2。二面角A-BC-C₁B₁的余弦值为-√2/2。5.参考答案：（1）cosθ=√5/5；（2）√5/5解析：本题考查空间向量在立体几何中的应用。①以A为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2cos72°,2sin72°,0),C(2cos144°,2sin144°,0),D(2cos216°,2sin216°,0),E(2cos288°,2sin288°,0),P(0,0,2),F(