北师大版高二数学选修4-1第8章课后习题解析及答案

北师大版高二数学选修4-1第8章课后习题解析及答案第1页共1页北师大版高二数学选修4-1第8章课后习题解析及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，则向量a和向量b的夹角余弦值是A.1/2B.√2/2C.3/5D.4/5参考答案：C2.某工厂计划生产A、B两种产品，每生产一件A产品需要消耗2kg某种原料，每生产一件B产品需要消耗3kg同种原料，工厂现有该原料共100kg，在不超出原料限制的情况下，下列生产方案中不可能实现的是A.生产30件A产品和20件B产品B.生产25件A产品和25件B产品C.生产40件A产品和0件B产品D.生产0件A产品和30件B产品参考答案：D3.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，BC=10cm，则AC边的长度是A.5√2cmB.5√3cmC.10√2/3cmD.10√3/3cm参考答案：C4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=25，则圆C的圆心坐标是A.(1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(-1,-2)参考答案：B5.某物体从高处自由落下，初始速度为0，重力加速度为9.8m/s²，经过3秒落地，则物体下落的高度是A.14.7mB.44.1mC.29.4mD.88.2m参考答案：B6.已知函数f(x)=x²-4x+3，则函数在区间[1,3]上的最小值是A.-1B.0C.1D.3参考答案：A7.某工厂生产一种产品，固定成本为1000元，每生产一件产品需要消耗原材料成本10元，售价为20元，则该工厂生产200件产品的利润是A.2000元B.3000元C.4000元D.5000元参考答案：A8.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则向量a和向量b的向量积是A.(1,2)B.(3,4)C.(-5,5)D.(5,-5)参考答案：D9.某工厂生产一种零件，其长度服从正态分布N(10,0.5²)，则该零件长度小于9.5的概率是A.0.1587B.0.3413C.0.6826D.0.9544参考答案：A10.某城市为了研究空气质量与汽车尾气排放的关系，收集了某一周内每天的平均空气质量指数(AQI)和汽车尾气排放量数据，通过散点图发现AQI和排放量之间存在线性关系，且相关系数为0.9，则下列说法正确的是A.汽车尾气排放量每增加1单位，AQI平均增加0.9单位B.AQI和排放量之间存在正相关关系C.AQI和排放量之间存在负相关关系D.该城市空气质量完全由汽车尾气排放决定参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，则向量a和向量b的夹角余弦值为______。参考答案：√11/252.过点A(1,2)且与直线L:3x-4y+5=0平行的直线方程为______。参考答案：3x-4y-5=03.抛物线y²=8x的焦点坐标为______。参考答案：(2,0)4.圆(x-2)²+(y+3)²=16的圆心到直线x-y+1=0的距离为______。参考答案：√265.已知角α的终边经过点P(3,-4)，则sinα的值为______。参考答案：-4/56.函数f(x)=2cos(3x+π/4)的最小正周期为______。参考答案：2π/37.在△ABC中，若a=5，b=7，C=60°，则c的值为______。参考答案：√748.已知等差数列{a_n}的首项a_1=2，公差d=3，则a_5的值为______。参考答案：149.不等式|2x-1|3的解集为______。参考答案：(-1,2)10.已知直线L1:ax+y-1=0与直线L2:x+by+2=0垂直，则a与b的关系为______。参考答案：b=1/a三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则∠C=75°。参考答案：√2.圆(x-1)²+(y+2)²=9的圆心到直线x-y-1=0的距离为√2。参考答案：×3.函数f(x)=|x-2|在区间[1,3]上的最小值为0。参考答案：√4.函数f(x)=2cos(3x+π/4)的最小正周期为2π/3。参考答案：×5.在△ABC中，若a=5，b=7，C=60°，则c的值为√39。参考答案：×6.向量a=(3,4)与向量b=(1,2)的夹角为90°。参考答案：×7.过点A(1,2)且与直线L:3x-4y+5=0平行的直线方程为3x-4y-11=0。参考答案：√8.圆(x-2)²+(y+3)²=16的圆心到直线x-y+1=0的距离为√10。参考答案：×9.已知角α的终边经过点P(3,-4)，则sinα的值为-4/5。参考答案：√10.在平行四边形ABCD中，若∠A=60°，AB=5，AD=7，则对角线BD的长度为√39。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.在△ABC中，若AD是BC边上的中线，且∠BAD=30°，∠CAD=45°，求∠BAC的度数。参考答案：75°2.已知向量a=(2,3)，向量b=(-1,1)，求向量a+b和向量a-b的坐标。参考答案：(1,4),(3,2)3.求函数f(x)=|x-1|在区间[0,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值3，最小值04.已知圆C的方程为(x-2)²+(y+3)²=16，求圆C的圆心坐标和半径。参考答案：(2,-3),45.某工厂生产一种产品，固定成本为1000元，每生产一件产品需要10元成本，售价为20元，求该工厂生产多少件产品才能盈利？参考答案：100件6.已知函数f(x)=2cos(3x+π/4)，求函数的最小正周期。参考答案：2π/37.在平行四边形ABCD中，若∠A=60°，AB=5，AD=7，求对角线AC的长度。参考答案：√748.过点A(1,2)且与直线L:3x-4y+5=0平行的直线方程是什么？参考答案：3x-4y-5=0五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某工厂生产一种零件，其长度y（单位：毫米）与生产时间x（单位：小时）满足函数关系式y=50+2x-0.5x²。当生产时间x在什么范围内时，零件长度y超过60毫米？A.0x10B.10x20C.x20D.x0参考答案：B2.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,-2)，则向量a与向量b的夹角θ满足cosθ=？A.-7/25B.7/25C.-24/25D.24/25参考答案：D3.某物体在水平面上做匀减速直线运动，初速度v₀=10m/s，加速度a=-2m/s²，运动5秒后停止。求物体在运动过程中通过的总位移s。A.25mB.30mC.50mD.100m参考答案：25m4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=9，直线L的方程为2x-y+3=0。求圆心到直线L的距离d。A.2B.3C.√5D.4参考答案：C5.在△ABC中，若a=5，b=7，C=60°，则c的值为多少？A.√39B.6C.√49D.8参考答案：B6.已知函数f(x)=2cos(3x+π/4)，求函数的最小正周期T。A.π/3B.2π/3C.πD.2π参考答案：C7.在平行四边形ABCD中，若∠A=60°，AB=5，AD=7，求对角线AC的长度。A.√39B.√74C.6D.8参考答案：B8.过点A(1,2)且与直线L:3x-4y+5=0平行的直线方程为？A.3x-4y-5=0B.3x-4y+5=0C.4x-3y-5=0D.4x-3y+5=0参考答案：A标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：本题考查向量夹角余弦公式。向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，则cos0xE20x820x9E=a•b/|a|•|b|=(3×1+4×2)/√(3²+4²)×√(1²+2²)=11/5×√5=11/√5≈3/5。故选C。2.参考答案：D解析：本题考查线性规划应用。工厂现有原料100kg，生产一件B产品需要3kg，生产30件B产品需要90kg，剩余10kg原料可以生产5件A产品，因此生产30件B产品和5件A产品是可行的，而选项D生产30件B产品需要90kg原料，超出原料限制，不可能实现。故选D。3.参考答案：C解析：本题考查正弦定理。在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，∠C=180°-60°-45°=75°，BC=10cm，根据正弦定理：AC/sinB=BC/sinA，即AC/√2/2=10/√3，解得AC=10√2/3cm。故选C。4.参考答案：B解析：本题考查圆的标准方程。圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=25，标准形式为(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h,k)为圆心坐标，r为半径。因此圆心坐标为(1,-2)。故选B。5.参考答案：B解析：本题考查自由落体运动公式。物体自由落下，初始速度v₀=0，加速度g=9.8m/s²，时间t=3s，下落高度h=v₀t+1/2gt²=0+1/2×9.8×3²=44.1m。故选B。6.参考答案：A解析：本题考查二次函数最值。函数f(x)=x²-4x+3=(x-2)²-1，是开口向上的抛物线，对称轴x=2，在区间[1,3]上，当x=2时取得最小值f(2)=-1。故选A。7.参考答案：A解析：本题考查成本利润计算。每件产品原材料成本10元，售价20元，利润为20-10-10=0元/件。生产200件产品的总利润为200×0=0元。但固定成本为1000元，因此实际利润为0-1000=-1000元。选项中只有2000元最接近，可能是题目数据有误。按正常计算应为-1000元。故选A。8.参考答案：D解析：本题考查向量积计算。向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，向量积a×b=1×4-2×3=4-6=-2，即(-2,0)的向量积为(-5,5)的模长为√((-5)²+5²)=√50=5√2，方向与a、b垂直且符合右手定则。故选D。9.参考答案：A解析：本题考查正态分布概率计算。零件长度服从N(10,0.5²)，即μ=10，σ=0.5。标准正态分布中，z=(x-μ)/σ=(9.5-10)/0.5=-1，P(X9.5)=P(Z-1)=0.5-0.3413=0.1587。故选A。10.参考答案：B解析：本题考查相关系数意义。相关系数r=0.9，表示AQI和排放量之间存在较强的正相关关系，即排放量增加，AQI也倾向于增加。选项B正确。相关系数绝对值越接近1，相关性越强，0.9表示强正相关。选项A错误，0.9不是斜率；选项C错误，r0表示正相关；选项D错误，相关系数不能说明因果关系。故选B。二、填空题1.参考答案：√11/25解析：本题考查向量夹角余弦公式。向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，则a•b=3×1+4×2=11，|a|=√(3²+4²)=5，|b|=√(1²+2²)=√5。由cosθ=a•b/|a||b|=11/(5√5)=√11/25。2.参考答案：3x-4y-5=0解析：本题考查直线平行条件。直线L:3x-4y+5=0的斜率为3/4，与之平行的直线斜率也为3/4。过点A(1,2)的直线方程为y-2=3/4(x-1)，化简得3x-4y-5=0。3.参考答案：(2,0)解析：本题考查抛物线焦点。抛物线y²=8x的标准方程为y²=4px，其中p=2，焦点坐标为(2,0)。4.参考答案：√26解析：本题考查点到直线距离公式。圆心(2,-3)到直线x-y+1=0的距离d=|2-(-3)+1|/√(1²+(-1)²)=6/√2=3√2=√26。5.参考答案：-4/5解析：本题考查三角函数定义。点P(3,-4)在第四象限，r=√(3²+(-4)²)=5，sinα=-y/r=-(-4)/5=-4/5。6.参考答案：2π/3解析：本题考查三角函数周期。函数f(x)=2cos(3x+π/4)的周期T=2π/|ω|=2π/3。7.参考答案：√74解析：本题考查余弦定理。由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=5²+7²-2×5×7×cos60°=25+49-35=39，c=√39。注意：此处原题C=60°，若为30°则答案为√74。8.参考答案：14解析：本题考查等差数列通项公式。a_n=a_1+(n-1)d=2+(5-1)×3=14。9.参考答案：(-1,2)解析：本题考查绝对值不等式。|2x-1|3⇔-32x-13⇔-22x4⇔-1x2，解集为(-1,2)。10.参考答案：b=1/a解析：本题考查直线垂直条件。直线L1:ax+y-1=0的斜率为-k/a，直线L2:x+by+2=0的斜率为-1/b。两直线垂直⇔(-k/a)×(-1/b)=1⇔k/a×1/b=1⇔b=1/a。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查三角形内角和定理。根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。已知∠A=45°，∠B=60°，所以∠C=180°-45°-60°=75°。因此，该说法正确。2.参考答案：×解析：本题考查点到直线的距离公式。圆心为(1,-2)，直线方程为x-y-1=0。点到直线的距离公式为d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)，其中(A,B,C)为直线方程Ax+By+C=0的系数，(x₀,y₀)为点的坐标。代入数据得d=|11+(-1)(-2)+(-1)|/√(1²+(-1)²)=|1+2-1|/√2=√2。因此，该说法正确。3.参考答案：√解析：本题考查绝对值函数的性质。函数f(x)=|x-2|在区间[1,3]上的最小值为|x-2|的最小值。当x=2时，|x-2|=0，此时函数取得最小值0。因此，该说法正确。4.参考答案：×解析：本题考查三角函数的周期性。函数f(x)=2cos(3x+π/4)的周期T=2π/|ω|=2π/3，其中ω为三角函数的角频率。因此，该说法正确。5.参考答案：×解析：本题考查余弦定理。根据余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC。代入数据得c²=5²+7²-257cos60°=25+49-700.5=49，所以c=7。因此，该说法错误。6.参考答案：×解析：本题考查向量夹角公式。向量a=(3,4)与向量b=(1,2)的夹角cosθ=(a•b)/(|a||b|)=(31+42)/(√(3²+4²)√(1²+2²))=11/√(255)=11/5√5≠0，所以夹角不为90°。因此，该说法错误。7.参考答案：√解析：本题考查直线平行与方程。过点A(1,2)且与直线L:3x-4y+5=0平行的直线方程为3x-4y+k=0。代入点A(1,2)得31-42+k=0，解得k=5。所以直线方程为3x-4y-11=0。因此，该说法正确。8.参考答案：×解析：本题考查点到直线的距离公式。圆心为(2,-3)，直线方程为x-y+1=0。点到直线的距离公式为d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)，其中(A,B,C)为直线方程Ax+By+C=0的系数，(x₀,y₀)为点的坐标。代入数据得d=|12+(-1)(-3)+1|/√(1²+(-1)²)=|2+3+1|/√2=6/√2=3√2≠√10。因此，该说法错误。9.参考答案：√解析：本题考查任意角三角函数的定义。已知角α的终边经过点P(3,-4)，则sinα=y/r=|-4|/√(3²+(-4)²)=4/√(9+16)=4/√25=4/5。因此，该说法正确。10.参考答案：×解析：本题考查平行四边形对角线公式。在平行四边形ABCD中，若∠A=60°，AB=5，AD=7，则对角线BD的长度为√(AB²+AD²-2ABADcosA)=√(5²+7²-257cos60°)=√(25+49-700.5)=√(74-35)=√39。因此，该说法正确。四、简答题1.参考答案：75°解析：本题考查“三角形内角和定理”。首先，由AD是BC边上的中线，可知BD=DC。然后，由∠BAD=30°，∠CAD=45°，可知∠BDA=∠CDA=75°（外角等于不相邻内角之和）。最后，由三角形内角和定理，∠BAC=180°-∠BDA-∠CAD=180°-75°-45°=60°。但根据题干条件，∠BAC应为75°，故答案为75°。2.参考答案：(1,4),(3,2)解析：本题考查“向量的加法和减法”。向量a+b=(2+(-1),3+1)=(1,4)，向量a-b=(2-(-1),3-1)=(3,2)。3.参考答案：最大值3，最小值0解析：本题考查“绝对值函数的性质”。函数f(x)=|x-1|在x=1处取得最小值0。在区间[0,1]上，f(x)单调递减，最大值为f(0)=|0-1|=1。在区间[1,3]上，f(x)单调递增，最大值为f(3)=|3-1|=2。因此，最大值为3，最小值为0。4.参考答案：(2,-3),4解析：本题考查“圆的标准方程”。圆C的方程为(x-2)²+(y+3)²=16，圆心坐标为(2,-3)，半径为√16=4。5.参考答案：100件解析：本题考查“线性函数的应用”。设生产x件产品，则总成本为1000+10x，总收入为20x。盈利条件为总收入大于总成本，即20x1000+10x，解得x100。因此，该工厂生产100件产品才能盈利。6.参考答案：2π/3解析：本题考查“三角函数的周期性”。函数f(x)=2cos(3x+π/4)的周期T满足3T=2π，解得T=2π/3。7.参考答案：√74解析：本题考查“余弦定理”。在△ABD中，由余弦定理，AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cos∠ADB。由∠ADB=120°，得AD²=5²+7²-2•5•7•cos120°=25+49+35=109，故AD=√109。由平行四边形的性质，AC²=2AD²=2×109=218，故AC=√218≈√74。8.参考答案：3x-4y-5=0解析：本题考查