2026年人教版初中数学九年级下册第9单元几何证明练习题及答案

2026年人教版初中数学九年级下册第9单元几何证明练习题及答案第1页共1页2026年人教版初中数学九年级下册第9单元几何证明练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.如图，在△ABC中，AD是角平分线，AB=AC，∠BAC=80°，则∠BAD的度数是（）A.40°B.50°C.60°D.80°参考答案：A2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=70°，∠C=80°，则∠B的度数是（）A.70°B.80°C.90°D.100°参考答案：B3.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6cm，△ABC的周长是24cm，则AC的长度是（）A.6cmB.9cmC.12cmD.18cm参考答案：B4.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD=2cm，DB=4cm，BC=6cm，则DE的长度是（）A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm参考答案：B5.如图，在圆O中，弦AB=8cm，弦AC=6cm，∠BAC=30°，则圆O的半径是（）A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm参考答案：A6.如图，在直角坐标系中，点A(1,2)和点B(3,0)，则线段AB的长度是（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm参考答案：C7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=6cm，AD=4cm，则AC的长度是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm参考答案：C8.如图，在△ABC中，AD是角平分线，AB=AC=10cm，AD=8cm，则△ABC的面积是（）A.32cm²B.40cm²C.48cm²D.64cm²参考答案：B9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=6cm，AB=CD=5cm，则四边形ABCD的周长是（）A.20cmB.22cmC.24cmD.26cm参考答案：C10.如图，在圆O中，弦AB=8cm，弦AC=6cm，∠BAC=60°，则圆O的面积是（）A.16πcm²B.24πcm²C.30πcm²D.36πcm²参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在△ABC中，AD是角平分线，AB=8cm，AC=6cm，∠BAC=60°，则BD______DC。参考答案：42.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=6cm，∠A=70°，则∠C______。参考答案：70°3.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则其侧面积为______πcm²。参考答案：15π4.已知方程x²-5x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______。参考答案：m15且m05.在直角坐标系中，点A(1,2)关于原点对称的点的坐标是______。参考答案：(-1,-2)6.一个圆柱的底面半径为2cm，高为3cm，则其全面积为______πcm²。参考答案：22π7.在直角三角形中，如果一条直角边长为3，另一条直角边长为4，那么斜边长为______。参考答案：58.相似三角形的对应角______，对应边成比例。参考答案：相等9.如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是______。参考答案：平行四边形10.在等腰梯形中，底角______。参考答案：相等三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.如果一个点在角的平分线上，那么这个点到角两边的距离相等。参考答案：√2.在同一个圆中，相等的弦所对的圆心角相等。参考答案：√3.在三角形中，大边对大角，小边对小角。参考答案：√4.如果一个三角形的一个外角等于另一个三角形的一个内角，那么这两个三角形全等。参考答案：×5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=6cm，则四边形ABCD是平行四边形。参考答案：√6.在⊙O中，弦AB=8cm，弦AC=6cm，∠BAC=30°，则BC=√(64+36-2×8×6×cos30°)。参考答案：√7.在△ABC中，AB=5cm，AC=7cm，BC=8cm，则∠A=60°。参考答案：√8.在⊙O中，直径AB=10cm，弦AC=6cm，则∠BAC的正弦值为3/5。参考答案：√9.在△ABC中，AB=5cm，AC=7cm，BC=8cm，则∠B=45°。参考答案：×10.如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是矩形。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知点A(2,3)和点B(-1,5)，求线段AB的长度。参考答案：52.如图，在△ABC中，AD是角平分线，AB=8cm，AC=6cm，∠BAC=60°，求AD的长度。参考答案：33.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=6cm，∠A=60°，∠C=75°，求∠B的度数。参考答案：105°4.如图，在圆O中，弦AB=8cm，弦AC=6cm，∠BAC=30°，求圆心O到弦AB的距离。参考答案：45.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6cm，AD是高，求AD的长度。参考答案：36.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=6cm，∠A=60°，求四边形ABCD的面积。参考答案：247.如图，在圆O中，直径AB=10cm，弦AC=6cm，求∠BAC的正弦值。参考答案：0.68.如图，在△ABC中，AB=5cm，AC=7cm，BC=8cm，求∠BAC的余弦值。参考答案：0.714五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且AB=AC。求证：BE=CF。参考答案：BE=CF2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=6cm，∠A=60°，∠B=45°。求四边形ABCD的面积。参考答案：12cm²3.如图，在⊙O中，直径AB=10cm，弦AC=6cm，点D在弧AC上，且AD=DC。求∠ADB的度数。参考答案：30°4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=6cm，对角线AC与BD相交于点O，且AO=OC，BO=OD。求证：四边形ABCD是平行四边形。参考答案：四边形ABCD是平行四边形5.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6cm，AD是高，且AD=4cm。求△ABC的面积。参考答案：12cm²6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=6cm，对角线AC与BD相交于点O，且AO=OC，BO=OD。求四边形ABCD的周长。参考答案：20cm7.如图，在⊙O中，直径AB=10cm，弦AC=6cm，点D在弧AC上，且AD=DC。求弦CD的长度。参考答案：3cm8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=6cm，对角线AC与BD相交于点O，且AO=OC，BO=OD。求∠ABC的度数。参考答案：45°标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：A解析：本题考查“角平分线定理”。由题意知，AD是△ABC的角平分线，AB=AC，∠BAC=80°。根据角平分线定理，∠BAD=∠BAC/2=80°/2=40°。故选A。2.参考答案：B解析：本题考查“平行线性质”。由题意知，AD∥BC，∠A=70°，∠C=80°。根据平行线性质，∠B=∠C=80°。故选B。3.参考答案：B解析：本题考查“等腰三角形性质”。由题意知，AB=AC，BC=6cm，△ABC的周长是24cm。设AC=x，则AB=x，BC=6cm，所以x+x+6=24，解得x=9cm。故选B。4.参考答案：B解析：本题考查“相似三角形性质”。由题意知，DE∥BC，AD=2cm，DB=4cm，BC=6cm。根据相似三角形性质，AD/DB=DE/BC，即2/4=DE/6，解得DE=3cm。故选B。5.参考答案：A解析：本题考查“圆的性质”。由题意知，弦AB=8cm，弦AC=6cm，∠BAC=30°。根据圆的性质，圆心角∠BOC=2∠BAC=60°。设圆O的半径为r，则OB=OC=r。在△BOC中，根据余弦定理，r²+r²-2r²cos60°=BC²，即2r²-2r²×1/2=8²，解得r²=32，r=4√2cm。故选A。6.参考答案：C解析：本题考查“两点间距离公式”。由题意知，点A(1,2)和点B(3,0)，则线段AB的长度为√((3-1)²+(0-2)²)=√(2²+(-2)²)=√8=2√2cm。故选C。7.参考答案：C解析：本题考查“平行四边形性质”。由题意知，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=6cm，AD=4cm。根据平行四边形性质，AC=2AO，BD=2BO，且AC=BD。设AO=BO=x，则AC=2x，BD=2x。在△AOB中，根据勾股定理，x²+x²=AB²，即2x²=6²，解得x²=18，x=3√2cm。所以AC=2x=6√2cm。故选C。8.参考答案：B解析：本题考查“等腰三角形面积公式”。由题意知，AD是△ABC的角平分线，AB=AC=10cm，AD=8cm。根据等腰三角形面积公式，S△ABC=1/2×AB×AD=1/2×10×8=40cm²。故选B。9.参考答案：C解析：本题考查“四边形周长计算”。由题意知，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=6cm，AB=CD=5cm。根据平行四边形性质，AD=BC=4cm，AB=CD=5cm。所以四边形ABCD的周长为AD+AB+BC+CD=4+5+6+5=24cm。故选C。10.参考答案：A解析：本题考查“圆的性质”。由题意知，在圆O中，弦AB=8cm，弦AC=6cm，∠BAC=60°。根据圆的性质，圆心角∠BOC=2∠BAC=120°。设圆O的半径为r，则OB=OC=r。在△BOC中，根据余弦定理，r²+r²-2r²cos120°=BC²，即2r²-2r²×(-1/2)=8²，解得r²=16，r=4cm。所以圆O的面积为πr²=π×4²=16πcm²。故选A。二、填空题1.参考答案：4解析：本题考查“角平分线定理”。由角平分线定理知，AD是△ABC的角平分线，所以AB/AC=BD/DC，即8/6=BD/DC，解得BD=4，DC=3。2.参考答案：70°解析：本题考查“平行线性质”。由AD∥BC，得∠A=∠C，又∠A=70°，所以∠C=70°。3.参考答案：15π解析：本题考查“圆锥侧面积公式”。圆锥侧面积S=πrl，其中r=3cm，l=5cm，所以S=π×3×5=15πcm²。4.参考答案：m15且m0解析：本题考查“一元二次方程根的判别式”。方程x²-5x+m=0有两个不相等的实数根，所以判别式Δ=25-4m0，解得m25/4，即m15。5.参考答案：(-1,-2)解析：本题考查“点关于原点对称的坐标”。点A(1,2)关于原点对称的点的坐标为(-1,-2)。6.参考答案：22π解析：本题考查“圆柱表面积公式”。圆柱全面积S=2πr²+2πrh，其中r=2cm，h=3cm，所以S=2π×2²+2π×2×3=22πcm²。7.参考答案：5解析：本题考查“勾股定理”。在直角三角形中，斜边长c=√(a²+b²)，其中a=3，b=4，所以c=√(3²+4²)=5。8.参考答案：相等解析：本题考查“相似三角形的性质”。相似三角形的对应角相等，对应边成比例。9.参考答案：平行四边形解析：本题考查“平行四边形的判定”。如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。10.参考答案：相等解析：本题考查“等腰梯形的性质”。在等腰梯形中，底角相等。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查“角平分线的性质定理”。根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，这是几何中的基本定理，可以直接判断为正确。2.参考答案：√解析：本题考查“圆中相等的弦所对的圆心角相等”。在同一个圆中，相等的弦所对的圆心角相等，这也是圆的基本性质之一，可以直接判断为正确。3.参考答案：√解析：本题考查“三角形大边对大角，小边对小角的性质”。在三角形中，大边对大角，小边对小角，这是三角形的基本性质，可以直接判断为正确。4.参考答案：×解析：本题考查“三角形全等的判定条件”。两个三角形的一个外角等于另一个三角形的一个内角，并不能保证这两个三角形全等，因为还需要其他条件，如边长相等或另一角相等等，所以判断为错误。5.参考答案：√解析：本题考查“平行四边形的判定条件”。在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，根据平行四边形的判定条件，AD=BC，可以判断四边形ABCD是平行四边形，所以判断为正确。6.参考答案：√解析：本题考查“余弦定理”。在⊙O中，弦AB=8cm，弦AC=6cm，∠BAC=30°，根据余弦定理，BC²=AB²+AC²-2×AB×AC×cos∠BAC，代入数值计算得到BC=√(64+36-2×8×6×cos30°)，可以直接判断为正确。7.参考答案：√解析：本题考查“余弦定理”。在△ABC中，AB=5cm，AC=7cm，BC=8cm，根据余弦定理，cosA=(AB²+AC²-BC²)/(2×AB×AC)，代入数值计算得到cosA=1/2，所以∠A=60°，可以直接判断为正确。8.参考答案：√解析：本题考查“圆中角的正弦值计算”。在⊙O中，直径AB=10cm，弦AC=6cm，根据圆的性质，∠BAC是直径所对的圆周角，所以∠BAC=30°，sin30°=1/2，所以∠BAC的正弦值为3/5，可以直接判断为正确。9.参考答案：×解析：本题考查“三角形内角和定理”。在△ABC中，AB=5cm，AC=7cm，BC=8cm，根据余弦定理，cosB=(AB²+BC²-AC²)/(2×AB×BC)，代入数值计算得到cosB=-1/2，所以∠B=120°，而不是45°，所以判断为错误。10.参考答案：×解析：本题考查“平行四边形的性质”。如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形，但不一定是矩形，所以判断为错误。四、简答题1.参考答案：5解析：本题考查两点间距离公式。根据两点间距离公式，AB的长度为√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]=√[(-1-2)²+(5-3)²]=√[(-3)²+(2)²]=√[9+4]=√13≈5。2.参考答案：3解析：本题考查角平分线定理。根据角平分线定理，AD/DB=AC/BC，即AD/(8-AD)=6/5，解得AD=3cm。3.参考答案：105°解析：本题考查平行线性质。因为AD∥BC，所以∠A+∠B=180°，又∠A=60°，所以∠B=120°。又因为∠B+∠C=180°，所以∠B=180°-75°=105°。4.参考答案：4解析：本题考查垂径定理。根据垂径定理，圆心到弦的距离等于弦心距，即√[(AB/2)²-(AC/2)²]=√[(8/2)²-(6/2)²]=√[4²-3²]=√[16-9]=√7≈4。5.参考答案：3解析：本题考查等腰三角形性质。因为AB=AC，所以AD是等腰三角形的高，也是中线，所以BD=DC=BC/2=6/2=3cm。在直角三角形ABD中，根据勾股定理，AD=√[AB²-BD²]=√[5²-3²]=√[25-9]=√16=4cm。6.参考答案：24解析：本题考查平行四边形面积公式。因为AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形。平行四边形的面积等于底乘以高，即S=BC×AD=6×4=24cm²。7.参考答案：0.6解析：本题考查圆中角与弦的关系。根据圆中角定理，∠BAC的正弦值等于对边BC与斜边AB的比值，即sin∠BAC=BC/AB=6/10=0.6。8.参考答案：0.714解析：本题考查余弦定理。根据余弦定理，cos∠BAC=(AB²+AC²-BC²)/(2×AB×AC)=(5²+7²-8²)/(2×5×7)=0.714。五、应用题1.参考答案：BE=CF解析：本题考查等腰三角形的性质和角平分线的性质。因为AB=AC，所以∠B=∠C。又因为AD是角平分线，所以∠BAD=∠CAD。在Rt△ADE和Rt△CDF中，∠AED=∠DFC=90°，∠BAD=∠CAD，AD=AD，所以Rt△ADE≌Rt△CDF（AAS）。所以BE=CF。2.参考答案：12cm²解析：本题考查平行四边形的性质和三角形的面积计算。因为AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形。所以AB=CD，AD=BC。在△ABD中，∠A=60°，所以△ABD是等边三角形。所以AB=AD=4cm。所以四边形ABCD的面积=AB×AD×sin∠A=4×4×sin60°=12cm²