《画法几何及土木工程制图》-2.4投影变换

1.1课程的内容

a

abb

c

cX实形实长实长ma

d

am

b

c

k

kdcbXa

dd

l

k

kcabXc

b

ledd

a

abb

c

cXe

θ实角当直线或平面相对于投影面平行或垂直时，可以较容易求解空间点线面的定位问题（交点和交线）和度量问题（实长、实形和倾角）。2.4.1投影变换概述投影变换的分类

1.变换投影面法（换面法）

几何元素保持不动，改变投影面的位置，使新的投影面与几何元素处于有利解题的位置。

投影面保持不动，将几何元素绕某一轴旋转到相对于投影面处于有利解题的位置。2.旋转法2.4.1投影变换概述VHXV1X1新投影面的选择必须符合以下两个条件：1．新投影面必须和几何元素处于有利解题的位置。2．新投影面必须垂直于原来投影面体系中的一个投影面。XHVX1V12.4.2换面法VHXV1X1Aa

a1

aX1aXaa1

X1V1H不变投影和新投影的连线必垂直于新投影轴。垂直不变新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到原投影轴的距离。坐标值不变aX1Xa

a

aXVH点的一次变换（变换V面）－Z坐标值不变2.4.2换面法--点的一次换面点的一次变换（变换H面）－Y坐标值不变VHXBb

bXbX1X1bX1b1b1bX1H1VXb

b

bXVHH12.4.2换面法--点的一次换面VHXV1Aa

a1

aX1aXaH2X1X2a2aX2H2VIX2a2aX2点的二次变换a1

X1HV1Xa

a

aXaX1VH2.4.2换面法--点的二次换面将投影面倾斜线变换成投影面平行线

将投影面平行线变换成投影面垂直线将投影面倾斜线变换成投影面垂直线将投影面倾斜面变换成投影面垂直面将投影面垂直面变换成投影面平行面将投影面倾斜面变换成投影面平行面2.4.2换面法-六个基本问题目标：将一般位置的直线和平面转换为特殊位置的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有利于求解的特殊位置。Xa

a

aXVHX1b

bbXV1HaX1bX1a1

b1

α将投影面倾斜线变换成投影面平行线

实长H面倾角变换V面变换H面Xa

a

VHb

ba1b1H1VX1β实长V面倾角Xa

a

VHb

bX1V1Ha1b1将投影面平行线变换成投影面垂直线将投影面倾斜线变换成投影面垂直线Xa

a

VHX1b

bV1Ha1

b1

V1H2X2a2b2将投影面倾斜面变换成投影面垂直面Xa

a

VHb

bHV1c

cd

dX1a1

c1

d1

b1

α1变换V面（求α1）H面倾角变换H面（求β1）Xa

a

VHbc

ce

eb

X1c1a1e1b1β1H1VV面倾角将投影面垂直面变换成投影面平行面Xa

a

VHbc

cb

X1HV1a1

c1

b1

实形将投影面倾斜面变换成投影面平行面Xa

a

VHbc

ce

eb

X1H1Vc1a1e1b1H1V2X2a2

b2

c2

e2

实形[例1]求交叉两直线AB、CD间的距离。Xa

a

VHbc

b

X1HV1dcd

a2b2d1

c1

b1

a1

X2H2V1c2d2k2m2k1

m1

m

k

m

k

c'2c1b1a1X2H1V2H1X1Vk1b'2k'2a'2距离XVHa

b

abcc

[例2]求C点到AB直线的距离。k'kXHVVHX2.4.3旋转法

即投影面保持不动，而将几何元素绕某一轴旋转到相对投影面处于有利于解题的位置。当一点绕垂直于投影面的轴旋转时，它的运动轨迹在轴所垂直的投影面上的投影为一个圆，而在轴所平行的投影面上的投影为一平行于投影轴的直线。2.4.3旋转法-点的旋转变换VHO1O2a1aPAA1θθVHXO1

O2

a1aa1

a

θ当直线绕垂直于投影面的轴旋转时，该旋转轴通过直线一端点，直线相对该投影面的倾角保持不变，同时在该投影面上的投影长度也不变。2.4.3旋转法-直线的旋转变换HbBa1aAA1θVHXb

a1aa1

a

θθ

b当平面绕垂直某一投影面的轴旋转时，平面对该投影面的倾角保持不变，平面在该投影面上的投影形状也保持不变。将投影面倾斜线变换成投影面平行线

将投影面平行线变换成投影面垂直线将投影面倾斜线变换成投影面垂直线将投影面倾斜面变换成投影面垂直面将投影面垂直面变换成投影面平行面将投影面倾斜面变换成投影面平行面2.4.3旋转法-六个基本问题目标：将一般位置的直线和平面转换为特殊位置的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有利于求解的特殊位置。Xa

a

VHb

b将投影面倾斜线变换成投影面平行线

a1a1

实长旋转轴Xa

a

VHb

b将投影面平行线变换成投影面垂直线a1a1

(b

)旋转轴将投影面倾斜线变换成投影面垂直线Xa

a

VHb

ba1

a1b1b1

(a1

)旋转轴1旋转轴2两次旋转变换时，必须交替选用垂直H和V面的旋转轴，如同换面法中的两次变换时，必须交替变换HV面一样。将投影面倾斜面变换成投影面垂直面Xa

a

VHb

bc

cd

da1

b1

d1

a1

b1

旋转轴将投影面垂直面变换成投影面平行面Xa

a

VHbc

cb

a1

c2

c1a1旋转轴将投影面倾斜面变换成投影面平行面Xa

a

VHbc

ce