14　大单元周测卷(二)　层级一　教材溯源·基础固本

大单元周测卷(二)大单元二三角函数与解三角形、平面向量层级一教材溯源·基础固本(满分：150分时间：120分钟)一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[人教A版必修第一册P176习题5.1T7]已知α是第一象限角，那么α2是(A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角D[因为α是第一象限角，所以2kπ<α<2kπ＋π2，k∈Z，所以kπ<α2<kπ＋π4，k∈Z，当k为偶数时，α2为第一象限角；当k为奇数时，α2为第三象限角2．[人教B版必修第三册P114复习题C组T3]若非零向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则()A．|2a|>|2a＋b| B．|2a|<|2a＋b|C．|2b|>|a＋2b| D．|2b|<|a＋2b|C[|a＋2b|＝|a＋b＋b|≤|a＋b|＋|b|＝2|b|．由于a，b是非零不共线向量，故a＋b与b不共线，故等号不成立．]3．[人教A版必修第一册P195习题5.3T5]已知sin7π2+α＝35，那么cosαA．－45 B．－3C．35 D．B[因为sin7π2+α＝sin4π-π2+α＝sin-π2+所以cosα＝－35．4．[人教A版必修第二册P61复习参考题6T13]若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为()A．30° B．60°C．120° D．150°C[不妨设e1＝(1，0)，e2＝12，a＝2e1＋e2＝52，32，b＝－3e1＋2e2＝(－2所以a·b＝52，32·(－2，3|a|＝522+|b|＝(-2)2+(设a，b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°．]5．[人教B版必修第三册P50练习AT2改编]如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，其中A>0，ω>0，|φ|<π2，则该函数解析式为(A．y＝32sin2xB．y＝32sinC．y＝32sin2xD．y＝32sinC[由题图知A＝32，T2＝π3＋π所以T＝π，所以ω＝2．所以y＝32sin(2x＋φ)代入点-π6，0可得，2×-π6＋φ＝2k所以φ＝2kπ＋π3，k∈Z又因为|φ|<π2所以φ＝π3所以y＝32sin2x6．[人教A版必修第一册P229习题5.5T14]在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cosA＝(A．31010 B．C．－1010 D．－C[设BC边上的高为AD，则BC＝3AD，又因为B＝π4，所以BD＝AD，DC＝2AD，所以AC＝AD2+DC2＝5AD，AB＝2AD，由余弦定理的推论知cos∠BAC＝7．[人教B版必修第四册P12习题9－1BT6改编]已知△ABC中，a＝bcosC＋csinB，b＝2，则△ABC面积的最大值为()A．3＋1 B．22＋1C．2＋1 D．23＋1C[由已知及正弦定理得，sinA＝sinBcosC＋sinCsinB①，在△ABC中，A＝π－(B＋C)，所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC②，由①②得sinBsinC＝cosBsinC．因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以sinB＝cosB，又B∈(0，π)，所以B＝π4．S△ABC＝12acsinB＝24ac，由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accosπ4≥2ac－2ac×22，整理得ac≤42-2，当且仅当a＝c时，等号成立，则△ABC面积的最大值为12×22×42-2＝12×8．[人教A版必修第二册P52习题6.4T2]已知O，N，P在△ABC所在平面内，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，且PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的()A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心C[因为|OA|＝|OB|＝|OC|，所以点O到△ABC三个顶点的距离相等，所以点O是△ABC的外心；由NA＋NB＋NC＝0，得NB＋NC＝－NA，由向量加法的平行四边形法则可得点N在BC边的中线上，同理可得点N也在AB，AC边的中线上，所以N为三条中线的交点，故点N为△ABC的重心；因为PA·PB＝PB·PC，所以PB·(PA－PC)＝0，即PB·CA＝0，所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为三条高线的交点，故点P为△ABC的垂心．故选C．]二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．[人教B版必修第三册P114复习题C组T1改编]长江某地南北两岸平行．如图所示，江面宽度d＝1km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v1的大小为10km/h，水流的速度v2的大小为4km/h．设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A'在A的正北方，则下列说法正确的是()A．当θ＝120°时，游船航行到达北岸的位置在A'的左侧B．当θ＝120°时，游船航行到达北岸的位置在A'的右侧C．若游船能到达A'处，则cosθ＝－2D．游船到达A'处需要航行的时间为2142ACD[|v1＋v2|2＝v12＋v22＋2v1·v2＝102＋42＋2×10×4cos120°＝76，所以|v1＋v2|因为v1·(v1＋v2)＝|v1||v1＋v2|cos<v1，v1＋v2>，所以cos<v1，v1＋v2>＝v1·＝102+10×4cos120°2019＝41919>又0°≤<v1，v1＋v2>≤180°，所以<v1，v1＋v2><30°．所以游船航行到达北岸的位置在点A'的左侧．设速度v1的方向与竖直方向的夹角为θ0，要使游船航行到达北岸的A'处，必须使θ＝90°＋θ0．因为sinθ0＝410＝25，cosθ0＝所以cosθ＝cos(90°＋θ0)＝－sinθ0＝－25此时需要航行的时间t＝dv1|·cosθ010．[人教B版必修第四册P20复习题B组T1改编]在△ABC中，下列命题正确的是()A．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形B．若sinA＝cosB，则△ABC是直角三角形C．若cosAcosBcosC<0，则△ABC是钝角三角形D．若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC是等边三角形CD[对于A，若sin2A＝sin2B，因为A，B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，所以A＝B或A＋B＝π2所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A为假命题；对于B，若sinA＝cosB＝sinπ2因为A，B∈(0，π)，所以A＝π2－B或A＋π2－B＝所以A＋B＝π2或A－B＝π所以△ABC为直角三角形或钝角三角形，故B为假命题；对于C，若cosAcosBcosC<0，因为A，B，C∈(0，π)，所以A，B，C中有一个为钝角，其余两个为锐角，所以△ABC为钝角三角形，故C正确；对于D，若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，因为cos(A－B)∈(－1，1]，cos(B－C)∈(－1，1]，cos(C－A)∈(－1，1]，所以cos(A－B)＝cos(B－C)＝cos(C－A)＝1，又A，B，C∈(0，π)，所以A－B＝B－C＝C－A＝0，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形，故D正确．]11．[人教B版必修第三册P108拓展阅读改编]已知函数f(x)＝sinx＋sin2x，则()A．f(x)为周期函数B．存在t∈R，使得y＝f(x)的图象关于直线x＝t对称C．f(x)在区间π3D．f(x)的最大值为2AC[由于f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋sin(2x＋4π)＝sinx＋sin2x＝f(x)，故f(x＋2π)＝f(x)，所以T＝2π为f(x)的周期，A正确；函数f(x)＝sinx＋sin2x的定义域为R，定义域关于原点对称，f(－x)＝sin(－x)＋sin(－2x)＝－sinx－sin2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，假设y＝f(x)图象关于x＝t对称，则函数f(x＋t)为偶函数，所以f(t－x)＝f(t＋x)，故f(2t＋x)＝f(t＋t＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4t＋x)＝－f(2t＋x)＝f(x)，又f(2π＋x)＝f(x)，所以x＝π2为函数f(x)图象的对称轴所以f(π＋x)＝f(－x)＝－f(x)，但fπ4＝22＋1，fπ+π4＝－sinπ4＋sinπ所以－f(x)≠f(π＋x)，矛盾，所以y＝f(x)图象不关于x＝t对称，B错误；因为f'(x)＝cosx＋2cos2x，化简整理得f'(x)＝4cos2x＋cosx－2，当x∈π3，3π4时，cos令cosx＝t，得到y＝4t2＋t－2，函数y＝4t2＋t－2的图象为开口向上，对称轴为t＝－18的抛物线若－22<t<12，则y<4×122＋12－所以当x∈π3，3π4时，f'故f(x)在区间π3，34π因为f(x)≤2，当且仅当sinx=1但当sinx＝1，即x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，sin2x＝0≠1，所以f(x)<2，D错误．三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．[人教B版必修第三册P113复习题B组T12改编]已知cos2αsinα-π4＝－22，则cos12[因为cos2αsin所以cos2α即cosα＋sinα＝12．13．[人教B版必修第四册P19复习题A组T3改编]已知△ABC是锐角三角形，且a＝2bsinA，a＝33，c＝5，则b＝________．7[因为a＝2bsinA，所以由正弦定理，得sinA＝2sinBsinA．又sinA≠0，所以sinB＝12又△ABC为锐角三角形，所以B＝π6由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，所以b2＝(33)2＋52－2×33×5×cosπ6＝27＋25－45＝7所以b＝7(负值舍去)．]14．[人教B版必修第三册P113复习题B组T5改编]设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，<a－c，b－c>＝60°，则|c|的最大值为________2[设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则a－c＝CA，b－c＝CB，∠ACB＝<a－c，b－c>＝60°，又cos∠AOB＝a·b|a||b|＝－1当点C，O在线段AB的同侧时，∠AOB＝2∠ACB，则点C为在以O为圆心，1为半径的圆弧上，此时|c|＝1；当点C，O在线段AB的异侧时，∠AOB＋∠ACB＝180°，所以O，A，B，C四点共圆．由|AB|＝(a-b)2＝3，可得2r＝ABsin∠AOB＝2(所以|c|＝|OC|的最大值等于圆的直径2．]四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(13分)[人教B版必修第四册P20复习题A组T5]已知△ABC的周长为2＋1，且sinA＋sinB＝2sinC．(1)求AB的长；(2)若△ABC的面积为16sinC，求C[解](1)依题意sinA＋sinB＝2sinC，由正弦定理整理得a＋b＝2c，△ABC的周长为2＋1，则a＋b＋c＝2c＋c＝2＋1，解得c＝1，即AB＝1．(2)由于△ABC的面积为16sinC，所以12absinC＝16sinC，解得ab＝13，利用余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC，1＝(a＋b)2－2ab－2abcosC，2ab＋2abcosC＝1，解得cosC＝12，由于0<C<π，16．(15分)[人教B版必修第二册P180复习题C组T3]如图所示，△ABC中，AB＝a，AC＝b，D为AB中点，E为CD上一点，且DC＝3EC，AE的延长线与BC的交点为F．(1)用向量a与b表示AE；(2)用向量a与b表示AF，并求出AE∶EF和BF∶FC的值．[解](1)因为DC＝3EC，所以E是线段CD的一个三等分点(靠近C点)，因为D为AB中点，所以CD＝CA＋AD＝12AB－AC＝12a所以DE＝23DC＝－23CD＝23故AE＝AD＋DE＝12a＋23b-13a(2)设AF＝xa＋yb，因为A，E，F三点共线，所以存在λ，使AF＝λAE(λ≠0)．由(1)知AE＝16a＋23b，所以AF＝λ6a＋2λ3b，所以x＝λ因为C，F，B三点共线，所以x＋y＝1，即λ6＋2λ3＝1，解得λ所以x＝15，y＝45，所以AF＝15a＋所以AF＝65AE，即AE＋EF＝65AE，所以AE＝5EF，所以AE∶EF＝BF＝AF－AB＝15a＋45b－a＝－45a＋FC＝AC－AF＝b－15a+45b＝－所以BF＝4FC，所以BF∶FC＝4∶1．综上，AF＝15a＋45b，AE∶EF＝5∶1，BF∶FC＝4∶17．(15分)[人教A版必修第一册P255复习参考题5T21]已知函数f(x)＝sinx+π6＋sinx-π6＋cos(1)求常数a的值；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)求使f(x)≥0成立的x的取值集合．[解](1)由题意，函数f(x)＝sinx+π6＋sinx-π6＋化简得，f(x)＝sinxcosπ6＋cosxsinπ6＋sinxcosπ6－cosxsinπ6＋cos＝3sinx＋cosx＋a＝2sinx+π6因为x∈R，所以x＋π6∈R，所以sinx+π所以f(x)max＝2×1＋a＝1，解得a＝－1．(2)因为由(1)可知f(x)＝2sinx+π6根据三角函数的性质可得，令x＋π6∈2kπ+π2，即2kπ＋π2≤x＋π6≤2kπ＋3π2(k∈解得2kπ＋π3≤x≤2kπ＋4π3(k∈Z所以f(x)的单调递减区间为π3+2kπ，4π(3)由题意，f(x)≥0，即2sinx+π6－1可得sinx+π6所以2kπ＋π6≤x＋π6≤2kπ＋5π6(k∈解得2kπ≤x≤2kπ＋2π3(k∈Z)所以使f(x)≥0成立的x的取值集合是x|218．(17分)[人教A版必修第一册P227例10]如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ＝π3，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记∠POC＝α，当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积．[解]在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα．在Rt△OAD中，DAOA＝tanπ3＝所以OA＝33DA＝33BC＝33sinAB＝OB－OA＝cosα－33sinα设矩形ABCD的面积为S，则S＝AB·BC＝cosα-3＝