江苏如皋市2025-2026学年度高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏如皋市2025-2026学年度高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合．若，则（）A.2 B.1 C.0 D.-1【答案】B【解析】因为，，，所以.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由于，则成立，等价于成立，充分性：若，且，则，则，所以成立，满足充分性；必要性：若，则成立，其中，且，则可得成立，即成立，满足必要性；故选：C.3.已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】B【解析】因为向量在向量上的投影向量为，所以，即；设向量与向量的夹角为，则，因为，所以.4.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径为（）A.6 B. C. D.【答案】A【解析】因为圆心角为，所以.5.已知与图象交点的横坐标为，则所在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则由题意知，因为，，，，又函数在上的图象是一条连续不断的曲线，所以函数在区间内有零点，即方程有解，所以函数与图象交点的横坐标所在的区间是．6.已知，，则（）A.2 B. C.2或 D.-2【答案】A【解析】因为，①所以，解得，又，所以，又，所以，②联立①②解得，所以.7.已知正数满足，则的最小值为（）A.1 B.5 C.7 D.9【答案】D【解析】因为，所以，即，，则，当且仅当，即时等号成立.8.已知，则（）A.B.的最小正周期为C.的值域为D.的增区间为【答案】C【解析】因为，所以，故A错误；因为，即，所以B错误；因为，所以当时，，当时，，所以函数的值域为，故C正确；由可知，的增区间为，故D错误.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知角的终边经过点，且，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】点的纵坐标为，且．角的终边落在第三象限，又，（负根舍去），，，，，，所以AD正确，BC错误.10.在中，，，与交于点，则（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】因为，，所以，如图，对于A，，正确；设，则，设，又，所以，又，所以，解得，可知，，，故BC正确，D错误.11.定义在上的奇函数在上为减函数，且为偶函数，则（）A.函数的图象关于对称B.C.的解集为D.若，且，则的最小值为【答案】ABD【解析】因为为偶函数，所以，即，故函数的图象关于对称，故A正确；由，用替换可得，故，即函数周期，所以，由函数是上的奇函数知，故B正确；因为在上为减函数且，所以当时，，又函数周期为，所以函数在时，，所以，所以C错误；因为函数图象关于对称，且，，所以，故，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________．【答案】【解析】设，代入点，可得，解得，所以，要使有意义，则，解得，所以函数的定义域为.13.如图，四边形中，为等边三角形，，则______【答案】【解析】因为，所以，即，如图，建立平面直角坐标系，又为等边三角形，所以，则，所以，则.14.记集合中元素个数为．已知集合．若，则___________；若，则可能值的集合为___________．【答案】；【解析】因为，所以，当时，，所以，所以；由，，可得或，当时，由于是方程的一个根，则，因此方程无实根，即；此时方程变为，也无实根，故即方程只有1个根，此时满足题意；当时，即方程有3个根，因为时方程只有1个根，所以，此时，各有1个根，且都不满足方程，所以有相等实数根，即，解得，综上可知，可能值的集合为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，．（1）当时，求的解集；（2）求的值域．解：（1）因为，，所以.所以，因为，所以,因为，所以，所以的解集为（2）令，，则，，在上单调递减，在上单调递增，，，所以，，所以的值域为.16.已知．（1）求的最大值；（2）证明：方程有两个不等正根．解：（1）因为，根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，则时，取得最大值4.（2）令，①当时，，方程无解；②当时，，当时，，，则，根据零点存在定理，连续函数在上有零点，又函数在上单调递增，所以在上单调递增，则在上只有一个零点；同理，当时，，，则，根据零点存在定理，连续函数在上有零点，因为在上单调递减，则在上单调递减，即在上只有一个零点.综上所述，函数在时有两个零点，所以方程有两个不等的正根.17.已知是奇函数．（1）求的值；（2）证明：是增函数；（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为是奇函数，所以，所以，所以（2）由（1）得，.设为上任意两个实数，且，因为，，所以，即，所以是增函数（3）因为是奇函数，，所以.因为是增函数，所以，所以.因为，当且仅当时取等号，所以，所以实数的取值范围为.18.已知和为的两条对称轴，的最小值为．将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．（1）求的解析式；（2）若，求的值；（3）设，若，，使得，求的取值范围．解：（1）因为的最小值为，所以函数的最小正周期.所以，所以.因为，所以.因为，所以，所以，所以，所以，所以.由题意可得，所以.（2）因为，所以，.所以.（3）由题意得，.，单调递增，所以.当时，，.①当时，，不成立，所以不合题意；②当时，，所以，解得；③当时，，所以，解得.综上，的取值范围为.19.设的定义域为，如果，使得，都有，，那么称为上的“函数”．（1）判断和是否是“—函数”，并说明理由；（2）已知“—函数”，其中．①当时，求；②当时，求的值．解：（1）是“函数”，理由如下：因为，即，使得恒成立，所以，即是“函数”；不是