江苏盐城市五校联盟2025-2026学年高二下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏盐城市五校联盟2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.40 B.56 C.168 D.336【答案】B【解析】，故选：B.2.从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（）A.70 B.80 C.90 D.100【答案】C【解析】依题意，不同选法种数是.故选：C.3.从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（）A.84 B.120 C.504 D.720【答案】A【解析】从9个数字中选择3个不同的数，无需再排序，故.故选：A.4.设，则（）A.16 B.31 C.32 D.64【答案】B【解析】当时，x+15=当时，x+15=两式相减得a1+5.已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设向量在基底下坐标为，则.已知在基底下坐标为，即.所以，即，则：，所以向量在基底下的坐标是，故选：B.6.的展开式中的系数是（）A.90 B.100 C.-40 D.【答案】D【解析】由的展开式的通项为，则的展开式中的系数是.故选：D.7.某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A.48 B.54 C.60 D.72【答案】C【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法；按照分步乘法原理，共有种方法；故选：C.8.如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（）A.先增大再减小 B.减小 C.增大 D.先减小再增大【答案】D【解析】以AC中点O为坐标原点，OB，OC分别为x，y轴，建立空间直角坐标系．设所有棱长均为2，则，，，，设平面BDE法向量，则，令，则，故．又平面的法向量，故平面与底面所成锐二面角的平面角的余弦值，又，故在上单调递增，上单调递减，即随着x增大先增大后减小，且在单调递减，所以随着x增大先减小后增大．故选：D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（）A.B.C.与为相交直线或异面直线D.在向量上的投影向量为【答案】BC【解析】因为平面的一个法向量为，直线的方向向量为，则，即，则或，故A不正确；又平面的一个法向量为，所以，即，所以，故B正确；由直线的方向向量为，所以不存在实数使得，故与为相交直线或异面直线，故C正确；在向量上的投影向量为，故D不正确.故选：BC.10.现有3个编号为1，2，3的盒子和3个编号为1，2，3的小球，要求把3个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（）A.没有空盒子的方法共有6种B.所有的放法共有21种C.恰有1个盒子不放球的方法共有9种D.没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子的方法有2种【答案】AD【解析】对于A，没有空盒子即相当于3个编号为1，2，3的小球分别放入3个编号为1，2，3的盒子中的全排列，故方法共有种，A正确；对于B，所有的放法，即每个球都有3种放法，故共有（种）放法，B错误；对于C，恰有1个盒子不放球，即有2个球放入一个盒子中，另一个球放入另一个盒子中，那么先3个盒子选一个作为空盒，在把3个球选出2个绑在一起，在排列，共有（种）放法，C错误；对于D，没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子，则只有以下2种情况：即1号球放入2号盒子，2号球放入3号盒子，3号球放入1号盒子；1号球放入3号盒子，3号球放入2号盒子，2号球放入1号盒子，D正确，故选：AD.11.如图，在正三棱柱中，，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（）A.存在点，使得B.若，，，不共面，则四面体的体积的最大值为C.直线与平面所成的最大角为D.若，则点的轨迹的长为【答案】ABD【解析】对于A选项，当点为中点时，所以，故A正确；对于C选项，当点位于点时，为直线与平面所成角，故C错误；对于B选项，当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远，此时四面体的体积最大，以点为例，此时VP-AB1对于D选项，若，如图，在棱上取点，使，在棱上取点使，在棱上取中点，则B1H=62，则点的轨迹由圆弧，，，构成，且其所在圆的半径依次为，，，，圆心角依次为，，，，圆弧，，，的长分别为，，，，故点的轨迹的长为.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则实数______．【答案】-1【解析】由题意知向量，，，故，故答案为：-113.的展开式中的系数为__________.（用数字作答）【答案】〖祥解〗的展开式的通项为，取，计算得到答案.【解析】的展开式的通项为，则的系数为：.故答案为：.14.如图，在平行六面体中，，，E为的中点，则点E到直线的距离为______．【答案】##【解析】设，，，，则，又，则，，则，而，，，又E是的中点，故，则点E到直线的距离为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，.（1）求；（2）求与的夹角；（3）若与垂直，求实数的值.解：（1）因为，，所以，.（2），，，所以与的夹角为；（3），，因为与垂直，所以，即，解得，此时，与均为非零向量，所以.16.某学校有4名男教师和3名女教师一起去培训，他们的座位在同一排且连在一起.求：（1）4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种?（2）3名女教师互不相邻的坐法有多少种?解：（1）根据题意，先将4名男教师排在一起，有种坐法，将排好的男教师视为一个整体，与3名女教师进行排列，共有种坐法，由分步乘法计数原理，共有种坐法.（2）根据题意，先将4名男教师排好，有种坐法，再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入3名女教师，有种坐法，由分步乘法计数原理，共有种坐法.17.如图，在正四面体中，，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设．（1）用表示；（2）求；（3）求的长．解：（1）.（2）因为，由（1）知，所以.（3）..18.如图，在三棱锥中，平面，且为的中点.（1）求二面角的余弦值；（2）若，在线段上各取一点，设，若平面平面，求的值.解：（1）因为平面，平面，所以，因为，所以，所以两两垂直，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，因为为的中点，所以，设，则，设平面的一个法向量为，则，令，可得；易知平面的一个法向量为，二面角的大小为，易知为锐角，，所以二面角的余弦值为.（2）由，则，，解得，即.因为，所以,且，,,设平面的一个法向量为，则，令，可得，即.,设平面的一个法向