江苏盐城市五校联盟2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏盐城市五校联盟2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项）1.若复数，则复数的虚部是（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】由，则其虚部为.故选：A.2.已知点，则向量（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，，其中为坐标原点，则.3.在中，，，，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由题意可得，解得.故选：B.4.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】选项A:,,，共线，不能作为基底.选项B:,,,共线,不能作为基底.选项C:是零向量,零向量与任意向量共线,不能作为基底.选项D:,,,不共线,可以作为基底.5.已知向量，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，所以，，则，，，所以.故选B.6.设中的内角所对的边分别为，若，则的形状是（）A.锐角三角形 B.等腰直角三角形C.钝角三角形 D.直角三角形【答案】D【解析】由，利用正弦定理：，整理得，因为，所以，故，故．所以为直角三角形.故选：D．7.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，又，所以，故选：D.8.平面向量满足，，则与夹角取最大值时为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为满足，，所以，所以，所以,由夹角公式得，当且仅当，即时等号成立，因为，在上单调递减，所以，即时，最大为，此时．故选：D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项）9.下列命题正确的是（）A.若，则存在唯一实数使得B.“”是“”的必要不充分条件C.不同向的向量不能比较大小，同向共线的可以D.若点为的重心，则【答案】BD【解析】对于A，当，为非零向量时，不存在实数使得，故A错误；对于B，可以推出，而时，的方向不一定相同，故推不出，故”是“”的必要不充分条件，故B正确；对于C，向量不能比较大小，故C错误；对于D，因为为的重心，则连接并延长交于，则为的中点，故，所以，故D正确;10.下列等式正确的是（）A.B.C.D.若，则【答案】ABD【解析】对于A，，A正确；对于B，2-cos220对于C，，C错误；对于D，，因此，D正确.11.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（）A.三个内角A、B、C满足关系B.的周长为C.若的角平分线与交于D，则的长为D.若E为外接圆上任意一点，则的最大值为【答案】ABD【解析】对于A，由，设，由余弦定理，，又，，则，故A正确；对于B，由，解得，，则的周长为，故B正确；对于C，由，所以，解得，故C错误；对于D，当E在优弧AC上时，设，，则，在中，，由正弦定理，，，因为，所以，当，即时，，即取得最大值；又当点与点重合时，；当点与点重合时，；当E在劣弧AC上时，若相同时，此时小于E在优弧AC上；综上，的最大值为，故D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量不共线，，，，则实数________．【答案】【解析】因为，所以，，则，解得．故答案为：.13.已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则的值为__________．【答案】【解析】由三角函数的定义得，，所以，，所以，所以.故答案为：.14.如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸．博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物．某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为，设为线段上任意一点，则的取值范围是_____．【答案】【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、，设点，其中，，，则，令，其中，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又因为，，故，即.所以的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知向量，，且与的夹角为．（1）求；（2）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．解：（1）因为向量，，且与的夹角为，则，解得.（2）由（1）可得，且，因为与所成的角是锐角，则，解得，且向量与不共线，则，即，因此，实数的取值范围是16.在中，角的对边分别为，已知．（1）求角C的大小；（2）求的值．解：（1），，．（2），，，．17.已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为sinαsinα+所以sinαsin（2）因为，，所以，又，所以，又，所以=418.已知，，分别为三个内角的对边，（1）求角；（2）若，的面积为，求，；（3）若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围.解：（1）因为，由正弦定理知可得，而，，即，又，所以，即，又，则，则.（2）由（1）及题设可得，即，将代入，整理得，则，即（负值舍去），故.（3）因为为的中点，所以，两边平方得，在中，由余弦定理得，即，所以，在中，由正弦定理得，所以，，所以，因为为锐角三角形，所以且，解得，所以，所以，则，所以，所以中线的取值范围是.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角所对的边分别为，．（1）求；（2）若，，且点为的费马点，求；（3）设点为的费马点，，求的最小值