广东省揭阳市勤建学校2025-2026学年高一下学期第二次调研考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省揭阳市勤建学校2025-2026学年高一下学期第二次调研考试试题一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B2.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C3.在中，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A4.若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C5.在中，，则（）A. B. C. D.【答案】B6.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A. B. C. D.【答案】C7.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（）级数名称风速大小（单位：m/s)2轻风1.6~3.33微风3.4~5.44和风5.5~7.95劲风8.0~10.7A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风【答案】A8.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于向量，，下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则【答案】BD10.已知为坐标原点，点，，，，则（）A. B.C. D.【答案】AC11.如图，正方体的棱长为6，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（）A.若平面，则点运动轨迹长度为B.若，则点运动轨迹长度为C.过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为D.三棱锥的外接球表面积为【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.是虚数单位，复数_____________．【答案】13.已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______.【答案】14.已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________．【答案】2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.15.已知复数(i为虚数单位).（1）求复数z的模；（2）求复数z的共轭复数；（3）若z是关于x的方程一个虚根，求实数m的值.解：（1）因为复数；故.（2）.（3）∵z是关于x的方程一个虚根，故；因为m为实数，所以.16.已知平面向量，.（1）若，求的值.（2）若，求的值.解：（1）∵，且，∴，∴，∴.（2）∵，且，∴，∵若，则，这与矛盾.∴，∴，∴.∴.17.记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求B；（2）若的面积为，求c．解：（1）由余弦定理有，对比已知，可得，因为，所以，从而，又因为，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，从而，，而，由正弦定理有，从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.18.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．（1）求的体积；（2）求证：平面；（3）求证：平面．（1）解：因为在四棱锥中，平面，由，，，，所以．（2）证明：因为，，所以，又平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面．（3）证明：取的中点为，又为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，即，又因为平面，平面，所以平面．19.(本题若使用空间向量，相关步骤不得分)如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点.（1）连接，证明：平面.（2）设的中点为，求与平面夹角的正弦值.（1）证明：如图，连接，由于为的外心，故有.因为为中点，，所以，，∵，平面∴平面，∴.同理，.∵，平面，∴平面.（2）解：正四面体棱长，等边中，中线，为