江苏省南京市鼓楼区名校联盟2026届高三下学期一模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市鼓楼区名校联盟2026届高三下学期一模数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】依题意，且，，所以.故选：C.2.已知为坐标原点，，，两点在单位圆上，满足，以线段，为邻边作平行四边形，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知以线段，为邻边所作的平行四边形是边长为1的菱形，，所以，所以点P在以O为圆心，半径为的圆上，所以的最大值为.故选：D.3.如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得.由是的中点知，，且，得，所以.则.故选：B.4.棱长为1的正方体中，点在线段上（不与重合），于于，以下结论错误的是（）A.平面；B.线段与线段的长度之和为定值；C.线段长度的最小值为；D.面积的最大值为；【答案】D【解析】对于A：如图，在正方体中，平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，平面且，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，故A正确；对于B：因为平面，平面，所以，所以，所以，即得；又由，，所以，所以，所以，即得，所以，即为定值1，故B正确；对于D，由A知平面，因平面，则有，所以的面积，当且仅当时等号成立，即当时，面积的最大值为，故D错误；对于C，由D知，则，当且仅当时等号成立，即当时，线段长度的最小值为，故C正确.故选：D.5.已知奇函数的定义域为，当时，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令，因为当时，，所以，所以在单调递增，定义域为，对，且，所以是偶函数，对于A、B：因为，即，所以，A、B错误；对于C：因为，即，所以，C正确；对于D：因为，即，所以，D错误.故选：C.6.在中，为边上的中点，且，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，由余弦定理得，而，则，两式联立解得，所以的面积为.故选：D.7.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设为第一象限内的交点，，，焦距为.椭圆的定义：，双曲线的定义：（因在第一象限，），解得：，.在中，，由余弦定理，得，得，即，交叉相乘并整理：，两边除以，结合，，得..当且仅当，即，因，故，则时等号成立，即取最大值.因此，.综上所述，当取最大值时，.故选：C.8.如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（）A.是等比数列，且公比为B.是等比数列，且公比为C.是等差数列，且公差为2D.是等差数列，且公差为4【答案】C【解析】因为与相外切，所以，即，所以，因为每个点均在函数的图像上，可得，所以，即，所以，所以数列是等差数列，且公差为，所以，则，此时数列不是等比数列.故选：C.二、多选题（每小题6分，共18分）9.上饶市某学校从高一的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，⋯，第八组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.以下说法正确的是（）A.第二组的频率为0.016B.第七组的频率为0.06C.估计该校高一800名男生的身高的中位数约为D.估计该校高一800名男生的身高的平均数约为【答案】BCD【解析】对于A，第二组的频率为，故A错误；对于B，由题意得第六组人数为4人，则有第六组的频率为，纵坐标为0.016，所以第七组的满足，故B正确；对于C，由直方图得，身高在第一组的频率为，身高在第二组的频率为，身高在第三组的频率为，身高在第四组的频率为，由于，，设这所学校高一800名男生的身高中位数为，则，则有，解得，故C正确；对于D，设这所学校高一800名男生的身高平均数为，身高在第五组的频率为，身高在第六组的频率为，身高在第七组的频率为，身高在第八组的频率为，则有，故D正确.故选：BCD.10.定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（）A.B.函数为偶函数C.在上单调递减，在上单调递增D.不等式的解集为【答案】AB【解析】令，得，即，故A正确；令，则，即是偶函数，故B正确；当时，因为，所以，因为，所以，则在上单调递增，故C错误；由题意知，且，因此不等式可化为，因为在上单调递增，所以，解不等式得，故D错误．故选：AB.11.双曲线具有丰富的光学性质．例如，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，已知等轴双曲线经过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射后的光线为，双曲线在点处的切线交轴于点，则下列结论正确的是（）A.双曲线的方程为B.过点且垂直于的直线平分C.若，则D.若，则的面积为【答案】BCD【解析】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，所以，解得，得到双曲线的方程为，A错误；对于B，如图，由题知，，所以，若，所以，B正确；对于C，记，所以，又，得到，又，所以，又，由，得，C正确；对于D，因为，，由，得，所以，D正确.故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共15分）12.二项式的展开式中的系数为__________.【答案】70【解析】由题意知二项式的展开式的通项为，令，则的系数为.故答案为：.13.已知直线与函数的图象相切，则实数_____．【答案】【解析】设函数在点处的切线为，函数的定义域为.由，得，所以，所以，解得（舍去）或.又，所以切点为，又切点在直线上，所以，解得.故答案为：.14.一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为．若事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为_____．【答案】【解析】设掷出点的概率分别为；由于成等差数列，且，故；事件“”发生概率为；事件“”发生的概率为；于是；由于，所以.故答案为：.四、解答题（本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分)15.已知数列满足，．（1）证明：数列是等比数列；（2）求的通项公式，并求的前项和．（1）证明：，，两式相减得，，又，数列是首项为2，公比为2的等比数列．（2）解：数列是首项为2，公比为2的等比数列，，，，两式相加得，，，当时，满足上式，数列是首项为4，公差为4的等差数列，即，，解得，．16.已知集合含有个元素，其中，先后两次随机、独立地选取集合的两个子集，记为与．设为集合中元素的个数，（1）若，且，请列举所有满足条件的和；（2）求随机变量的数学期望；（3）设在处取得最大值，试建立与的关系．解：（1）由题意，；；；；；.（2）根据集合的子集个数，可知集合A的可能情况有种；同理，集合B也可能有种.因此，两集合的所有可能情况数为X的所有取值为当时，先从n个元素中选出k个元素，记为，有种可能情况；对于这k个元素中的每个元素，满足时，只可能满足这三种情况之一，有种可能情况.因此，事件“”的所有可能情况数为，则由，可知，则.（3）若，由，，则，矛盾.若，由，可知，当时，满足；当时，满足若，由，即，即，解得，从而，，其中为自然数.17.如图，在直三棱柱中，，，，．若分别为棱上的动点，且，点在平面上的射影为点．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．（1）证明：，，，由余弦定理得，故，故⊥，直三棱柱中，⊥，又，平面，故⊥平面，又平面，所以平面⊥平面；（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，点在平面上的射影为点，，，，设，，故，，故，整理得，又，故，又，解得，设平面的法向量为，则，解得，令得，故，设直线与平面所成角大小为，则，因为，所以，直线与平面所成角的正弦值的取值范围是18.已知函数．（1）求的定义域；（2）当时，（i）若，证明：；（ii）若存在三个极值点，求实数的取值范围．（1）解：由，解得，所以的定义域为（2）当时，（i）证明：若，则，所以，令，则，因为，而，且，则，所以函数在区间上单调递减，又，则当时，，当时，，故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．于是.（ii）解：由题意可知，若，当时，由（i）可知，再由为奇函数可知，当时，．于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，此时存在唯一的极大值点．若，令，则，令，函数，则，故在上单调递增．因为，故存在使得．当时，；当时，．记且，则当或时，单调递减；当时，单调递增．又因为，当时，，当时，，再由为奇函数可知，存在，使得．当或时，单调递增；当或时，单调递减，此时存在两个极大值点和和一个极小值点，共三个极值点．综上所述，实数的取值范围为．19.已